http://violet.vn/thpt-camkhe-phutho Sở giáo dục và đào tạo phú thọ Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 thpt năm học 2001 - 2002 Môn Toán Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi có 01 trang Bi 1. Cho các số nguyên dơng x, y, z thay đổi có tổng là 2002. Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: !!!Pxyz = . Bi 2. Hãy tìm đa thức ( ) f x có bậc thấp nhất nhận giá trị cực đại là 6 tại x=1 và giá trị cự tiểu là 2 tại x=3. Bi 3. Giải hệ phơng trình: log log log log log log 512 8 22 yy zz xx zx xy yz xz yx zy += += += Bi 4. Cho dãy số { } 0 n n x = đợc xây dựng bởi 0 1000x = và 1 12002 2 nn n xx x + =+ với 0n. Chứng minh rằng 6 30 lim 2002 2002 10 và n x xx =<. Bi 5. Cho tam giác ABC biến thiên nhng luôn vuông góc tại A và có đờng cao AH là một đoạn thẳng cố định cho trớc. Gọi E, F thứ tự là hình chiếu của H lên AB và AC. Chứng minh rằng tứ giác EBCF nội tiếp đờng tròn và tâm đờng tròn này nằm trên một đờng thẳng cố định. Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Đề chính thức http://violet.vn/thpt-camkhe-phutho Sở giáo dục và đào tạo phú thọ Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 thpt năm học 2002 - 2003 Môn Toán Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi có 01 trang Bi 1 Cho x là số thực dơng. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có bất đẳng thức: 23 1 2! 3! ! n x x xx ex n >+ + + + + Bi 2 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n tuỳ ý, đa thức sau đây không thể có nhiều hơn một nghiệm thực: () () 1 1 !1!1! nn n x xx Px nn = ++++ Bi 3. Cho hàm số () 1 5 3 x x a yfx aa + == + với a là tham số dơng 1) Tìm tập giá trị của ( ) f x . 2) Tìm a để tập giá trị của ( ) f x không thể chứa bất cứ một số nguyên chẵn nào. Bi 4 Cho phơng trình 432 10 x ax bx ax++++= có ít nhất một nghiệm thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của 22 ab+ Bi 5 Cho đờng tròn: ( ) 22 :30Cx y ax++ = ( ) ( ) ( ) 22 2 2 :1 2 2 3 0 m C m x y ax amy a++= Trong đó a là hằng số thực khác 0, m là tham số thực. Chứng minh ( ) m C luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt và các tiếp tuyến tại mỗi điểm chung ấy luôn vuông góc với nhau. Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Đề chính thức http://violet.vn/thpt-camkhe-phutho Sở giáo dục và đào tạo phú thọ Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 thpt năm học 2003 - 2004 Môn Toán Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi có 01 trang Bài 1 (2,0 điểm). Giải hệ phơng trình: 2 2 2 2 x xy yyx += + = Bài 2 (2,0 điểm) Cho hai đờng tròn ( ) ( ) 11 2 2 ;,;OR OR cắt nhau tại A, B. S là một điểm cố định nằm trên đờng thẳng AB sao cho A nằm giữa S và B, một cát tuyến thay đổi đi qua B cắt các đờng tròn () ( ) 11 2 2 ,,,OR OR lần lợt tại M, N. Đờng thẳng SM cắt đờng tròn ( ) 11 ,OR tại điểm thứ hai P, đờng thẳng SN cắt đờng tròn ( ) 22 ,OR tại điểm thứ hai Q. 1- Chứng minh tứ giác MPQN nội tiếp. 2- Chứng minh đờng tròn ( ) C ngoại tiếp tam giác SPQ luôn đi qua điểm cố định thứ hai khác S. 3- Gọi I là trung điểm của MN, J là giao của SI với đờng tròn ( ) C , chứng minh rằng J luôn thuộc một đờng tròn cố định. Bài 3 (2,0 điểm). Cho a, b, c là các số dơng, chứng minh rằng: 444 333 444 abcabc bcabca + +++ Bài 4 (2,0 điểm) Cho 12 , , , n aa a là n ( ) 2n số nguyên phân biệt. Chứng minh rằng đa thức: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 12 1 n Px xa xa xa= + không thể phân tích đợc thành tích của hai đa thức với hệ số nguyên. Bài 5 (2,0 điểm) Cho dãy số { } 1 n n x = thoả mãn 22 11 1, 1 1 nnn nn xx xx xx + ==+++ với mọi n nguyên dơng. 1- Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn. 2- Tìm giới hạn của dãy số đó. Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Đề chính thức http://violet.vn/thpt-camkhe-phutho Sở giáo dục và đào tạo phú thọ Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 thpt năm học 2004 - 2005 Môn Toán Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi có 01 trang Bài 1 (2,5 điểm) Giải hệ phơng trình sau: 2 2 2 2 2 2 x xy y yyzz zzxx += += += Bài 2 (2,5 điểm) Cho dãy số { } 0 n n u = với 01 2 1 3; 17; 6 nnn uu u uu ++ == = với mọi n tự nhiên. Chứng minh rằng: Với mọi n tự nhiên ta có 2 1 2 n u là một số chính phơng. Bài 3 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có các cạnh BC=a, CA=b, AB=c và bán kính đờng tròn ngoại tiếp là R. Gọi G là trọng tâm tam giác, Các đờng thẳng AG, BG, CG lần lợt cắt đờng tròn ngoại tiếp tại D, E, F tơng ứng. Chứng minh rằng: 31 1 1 111 3 R GD GE GF a b c ++ ++ Bài 4 (2,0 điểm) Cho tam giác ABC, gọi độ dài các cạnh tơng ứng với các đỉnh A, B, C lần lợt là a, b, c; độ dài các đờng cao tơng ứng lần lợt là ,, abc hhh và độ dài các đờng trung tuyến tơng ứng là ,, abc mmm. Chứng minh rằng: 444 10 4 93 aa bb cc hm hm hm S++ Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Đề chính thức http://violet.vn/thpt-camkhe-phutho Sở giáo dục và đào tạo phú thọ Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 thpt năm học 2005 - 2006 Môn Toán Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi có 01 trang Bi 1 (2,0 điểm) Chứng minh rằng các đồ thị của hai hàm số 2 21 1 và y= x yx x = có ba điểm chung phân biệt. Tìm tâm và bán kính đờng tròn đi qua 3 điểm ấy. Bi 2 (2,0 điểm) Chứng minh rằng phơng trình 356 2 xx x + =+ chỉ có hai nghiệm phân biệt và tìm hai nghiệm đó. Bi 3 (2,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị mà tổng x yz + + có thể nhận đợc, với x, y, z là nghiệm của hệ phơng trình: ( ) () () 4 4 4 x yy yz z zx x = = = Bi 4 (2,0 điểm) Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau, ngoại tiếp một hình cầu bán kính r. Gọi h là độ dài đờng cao hạ từ O đến mặt phẳng (ABC). Hỏi rằng trong số những tứ diện nh thế, tứ diện nào có tỉ số giữa h và r đạt giá trị lớn nhất. Bi 5 (2,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành, Gọi K là trung điểm của SC. Mặt phẳng đi qua AK cắt SB, SC tứ tự tại M và N. Đặt 1. . , SAMKN SABCD VV VV = = . Chứng minh: 1 13 38 V V Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Đề chính thức http://violet.vn/thpt-camkhe-phutho Sở giáo dục và đào tạo phú thọ Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 thpt năm học 2006 - 2007 Môn Toán Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi có 01 trang Bi 1 (2,0 điểm) a) Giải bất phơng trình: 27 7.3 6 0 xx + b) Cho 2006 số dơng 1 2 2006 , , , x xx có tổng bằng 2050. Tìm giá trị lớn nhất của tổng 33 3 1 2 2006 Sx x x=+++ Bi 2 (2,0 điểm) a) Tính đạo hàm của hàm số: ( ) 33 11 f xxx = ++ b) Chứng minh bất đẳng thức: 33 333 33 3323++< Bi 3 (2,0 điểm) Chứng minh trong mọi tam giác ta có 43 cos cos .cos 2229 ABC Bi 4 (2,0 điểm) Trong tứ diện ABCD các cạnh DB và DC vuông góc vối nhau và chân đờng vuông góc hạ từ D xuống mặt phẳng (ABC) trùng với trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng ( ) ( ) 22 6 A BBCCA ADBDCD++ ++ Với tứ diện nào thì xảy ra dấu đẳng thức? Bi 5 (2,0 điểm) Cho hai đờng tròn C(I; R) và C'(I'; R') có tâm và bán kính thay đổi nhng luôn tiếp xúc với một đờng thẳng cố định thứ tự tại hai điểm cố định A và A'. Ta nói rằng hai đờng tròn này cắt nhau theo góc nếu hai tiếp tuyến với hai đờng tròn tại giao điểm của chúng tạo với nhau một góc . a) Chứng minh rằng hai đờng tròn (C) và (C') cắt nhau theo góc khi và chỉ khi 22 2 '''cos I IRRRR = + II' b) Tìm tập hợp giao điểm M của (C) và (C') Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Đề chính thức http://violet.vn/thpt-camkhe-phutho Sở giáo dục và đào tạo phú thọ Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 thpt năm học 2007 - 2008 Môn Toán Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi có 01 trang Câu 1 (1,5 điểm) Giải phơng trình: 23 3244 10xx x+ += Câu 2 (2,0 điểm) Giải hệ phơng trình: 32 32 32 31 2 3 31 2 3 31 2 3 x yyy yzzz zxxx = + = + = + Câu 3 (1,5 điểm) Cho tam giác ABC, đờng tròn tâm I nội tiếptam giác tiếp xúc với cạnh BC tại D, kẻ đờng kính DM của đờng tròn, đờng thẳng AM cắt cạnh BC tại N. Chứng minh rằng BN=CD. Câu 4 (2,0 điểm) Cho dãy số { } 1 n n x = thảo mãn 11 13 , 621 n n n x xx x + == + với mọi n nguyên dơng. 1) Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn và tính giới hạn đó. 2) Tìm số hạng tổng quát của dãy số đã cho. Câu 5 (1,0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên dơng n sao cho bất đẳng thức ( ) 22 2 2 12 1 12 1 nn nn x xxxxxxx +++ + +++ thoả mãn với mọi số thực 12, , , n x xxx Câu 6 (2,0 điểm) Cho tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối bằng nhau từng đôi một. Gọi I, J lần lợt là trung điểm của các cạnhk BC và AD. 1) Chứng minh rằng IJ là đờng vuông góc chung của BC và AD. 2) Tìm tập hợp các điểm M sao cho tổng MA+MB+MC+MD nhỏ nhất. Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Đề chính thức http://violet.vn/thpt-camkhe-phutho Sở giáo dục và đào tạo Phú thọ Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 thpt năm học 2008-2009 Môn Toán Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề Đề thi có 01 trang Cõu 1 (2,0 im) Gii bt phng trỡnh () () 4 2 2 21 0 log 2 25 x x xx + Cõu 2 (2,0 im) Gii h phng trỡnh () 33 22 82 33 1 x xy y xy =+ =+ Cõu 3 (2,0 im) Cho hai tia Ox, Oy vuụng gúc vi nhau to O. Trờn tia Ox, Oy ln lt ly cỏc im A, B khụng trựng vi O sao cho din tớch tam giỏc OAB bng S cho trc. K OH vuụng gúc vi AB ( ) HAB , gi 12 ,OO ln lt l tõm ng trũn ni tip cỏc tam giỏc OHA v OHB, ng thng 12 OO ln lt ct OA, OB ti I, J. 1) Chng minh tam giỏc OIJ l tam giỏc cõn. 2) Xỏc nh v trớ cỏc im A, B sao cho din tớch tam giỏc OIJ ln nht. Cõu 4 (2,0 im) Cho dóy s ( ) n x tho món ( ) ( ) ( ) 11 1, 1 2 3 1 nnnnn xx xx x x + == ++++ vi mi n nguyờn dng, t () 1 1 1, 2,3 2 n n i i yn x = == + . Tỡm lim n y . Cõu 5 (2,0 im) Cho hỡnh chúp S.ABC, t im O nm trong tam giỏc ABC v cỏc ng thng ln lt song song vi cỏc cnh SA, SB, SC v ct cỏc mt (SBC), (SCA), (SAB) tng ng ti cỏc im D, E, F. 1) Chng minh rng 1 OD OE OF SA SB SC ++= 2) Xỏc nh v trớ ca im O th tớch ca hỡnh chúp O.DEF t giỏ tr ln nht. Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. chớnh thc . Sở giáo dục và đào tạo phú thọ Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 thpt năm học 2001 - 2002 Môn Toán Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi có 01 trang Bi. tên thí sinh: Số báo danh: Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Đề chính thức http://violet.vn/thpt-camkhe-phutho Sở giáo dục và đào tạo phú thọ Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp. tên thí sinh: Số báo danh: Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Đề chính thức http://violet.vn/thpt-camkhe-phutho Sở giáo dục và đào tạo phú thọ Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp