3.phân phối xác suất của hàm của biến ngẫu nhiên 2 chiều 3.1.Trường hợp rời rạc - cho biến ngẫu nhiên rời rạc 2 chiều (X,Y) và hàm (x,y). Lập bảng phân phối xác suất của Z=(x,y). Ta tiến hành: -tìm tập của Z tương ứng với các giá trị của X,Y; -tìm các xác suất: Ví dụ: cho bảng phân phối xác suất đồng thời của X,Y. Lập bảng phân phối của Z=2X- 3Y+1 GIẢI: tính các giá trị của Z Y X 0 1 2 1 0,1 0,2 0.05 2 0,15 0,25 0,25 Z Y X 0 1 2 1 3 0 -3 2 5 2 -1 *P=P=0,05 *P=P=0,25 *P=P=0,2 *P=P=0,25 *P *P Ta có: Z -3 -1 0 2 3 5 P 0,05 0,25 0,2 0,25 0,1 0,15 Ví dụ 2: cho XP(),YP(), X,Y độc lập. Tìm phân phối xác suất của Z=X+Y GIẢI: Z(Ω)= P (tính độc lập) = = = . Vậy z 3.2. Trường hợp liên tục -Giả sử (X,Y) là biến ngẫu nhiên 2 chiều có hàm mật độ xác suất f(x,y) các hàm U = u(x,y); T = t(x,y) liên tục cùng với các hàm ngược x = x(u,t) của chúng; các đạo hàm riêng ; tồn tại. Liên tục và jacôbi J = Khi đó hàm mật độ của biến ngẫu nhiên 2 chiều (u,t) được xác định: g(u,t) = f(x(u,t), y(u,t)) |J|. (1.1) ví dụ 3: cho biến ngẫu nhiên 2 chiều (X,Y) có hàm mật độ xác suất f(x,y). Chứng tỏ rằng hàm mật độ của T = X+Y là: hay (1.2) Nếu X,y độc lập thì: hoặc (1.3) GIẢI: Xét u=x; t = x+y suy ra x=u, y = t-u Jacobi: J = = 1 Từ công thức (1.1) ta có hàm mật độ đồng thời của (u,t): g(u, t) = f(u, t-u). từ đó hàm mật độ của T: Tương tự ta cũng có: Nếu X, Y độc lập thì: f(u, t-u) = : Tương tự: Ví dụ 4: cho X N(), Y ), độc lập. Chứng minh T = X+Y có phân phối chuẩn N( GIẢI: Trước tiên ta chưng minh cho X N(0, Ta có : - = - .(1.4) Đặt v = = Từ ví dụ 3: . = = = . Chứng tỏ là hàm mật độ phân phối chuẩn N(0, 1+). Với X ); Y = N( (1.6) Từ mệnh đề ta có: Theo chứng minh phần trên: Do đó từ (1.6): Từ ví dụ 4 ta có kết quả: Định lý 1: nếu Định lý 2: X aX+bY+b) với ab . của Z=2X- 3Y+1 GIẢI: tính các giá trị của Z Y X 0 1 2 1 0,1 0,2 0.05 2 0,15 0,25 0,25 Z Y X 0 1 2 1 3 0 -3 2 5 2 -1 *P=P=0,05 *P=P=0,25 *P=P=0,2 *P=P=0,25 *P *P Ta có: Z -3 -1 0 2 3 5 P 0,05. 3. phân phối xác suất của hàm của biến ngẫu nhiên 2 chiều 3. 1.Trường hợp rời rạc - cho biến ngẫu nhiên rời rạc 2 chiều (X,Y). y(u,t)) |J|. (1.1) ví dụ 3: cho biến ngẫu nhiên 2 chiều (X,Y) có hàm mật độ xác suất f(x,y). Chứng tỏ rằng hàm mật độ của T = X+Y là: hay (1.2) Nếu X,y độc lập thì: hoặc (1 .3) GIẢI: Xét u=x; t =