========================================================= Phần 1: Mở đầu. I) Lý do chọn chuyên đề Trong học toán và giải Toán, việc tìm thêm những lời giải khác của một bài Toán nhiều khi đi đến những điều thú vị. G-Polya (1887 1985) một nhà Toán học và s phạm Mỹ đã khuyên rằng: Ngay khi lời giải mà ta đã tìm đợc là tốt rồi thì tìm đợc một lời giải khác vẫn có lợi. Thật là sung sớng khi thấy rằng kết quả tìm ra đợc xác nhận nhờ hai lý luận khác nhau. Có đợc một chứng cứ rồi chúng ta còn muốn tìm thêm một chứng cứ nữa cũng nh chúng ta muốn sờ vào một vật mà ta đã trông thấy. Chính vì lẽ đó mà tổ Toán trờng THCS Yên Lạc muốn giới thiệu chuyên đề: Giải một bài toán bằng nhiều cách với mong muốn giúp các em học sinh lớp 7 yêu thích Toán học hơn qua những bài toán với những cách giải khác nhau. II) Phạm vi, mục đích của chuyên đề 1) Phạm vi của chuyên đề: Do điều kiện hạn chế về thời gian và khả năng có hạn, chuyên đề chỉ nêu đợc một số ví dụ minh hoạ về Giải một bài toán bằng nhiều cách môn Toán 7. 2) Mục đích của chuyên đề: - Giúp giáo viên và học sinh hiểu đợc tầm quan trọng của việc Giải một bài toán bằng nhiều cách để góp phần nâng cao chất lợng dạy và học Toán. - Biết cách khai thác một cách hợp lý các phơng pháp giải khác nhau cho bài toán tơng tự, vận dụng và tổng quát. Phần 2: Nội dung cụ thể I) Cơ sở lí luận: Thông qua chuyên đề này học sinh biết vận dụng và đợc cung cấp các kiến thức cần thiết về phơng pháp giải Toán, những kinh nghiệm cụ thể trong qua trình tìm tòi lời giải, giúp học sinh rèn luyện các thao tác t duy, phơng pháp suy luận và khả năng sáng tạo. II) Các ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Cho . d dc b ba :CMR -d).c -b;a 0; d c, b, (a, d c b a + = + = Giải Cách 1: d dc b ba 1 d c 1 b a d c b a + = + +=+= Cách 2: d dc b ba dc ba d b d b c a d c b a + = + + + === Cách 3: d dc b ba d)b(cb)d(abdbcbdadbcad d c b a + = + +=++=+== Cách 4: Ta có d dc bd d)b(c bd bdbc bd bdad b.d b).d(a b ba dó Do bc.ad d c b a + = + = + = + = + = + == Cách 5: Đặt ========================================================= 1 )1( .1 )1( d dc b ba :nNê d dc : Và b ba :có Ta md.c mb;am d c b a + = + += + = + = + += + = + = + ==== m d md d dmd m b mb b bmb Ví dụ 2: . 4b-3a 2b5a M :thức biểu của trị giá Tính . 3 2- b a Cho + == Giải Cách 1: 3 2- b a Từ = ba 3 2 = Do đó: . 9 2 3 4 - b) 3 2- 3( 2bb) 3 2- 5( 4b-3a 2b5a M = = + = + = b b b 6 4 Cách 2: . 9 2 9a 2a 2 3- 25a 4b-3a 2b5a M :dó Do a. 2 3- b 3 2- b a Từ == + = + === aa a 2 3 43 Cách 3: . 9 2 3 2- . 6- 2 6b- 2a 4b-2b- 3a-5a 4b-3a 2b5a M :dó Do -2b.3a 3 2- b a Từ ==== + === Cách 4: . 9 2 4 3 2 .3 2 3 2 .5 4.3 2.5 43 25 = + = + = + = + = b a b a b b b a b b b a 4b-3a 2b5a M Ví dụ 3: Cho ABC cân tại A, D là trung điểm của cạnh AB. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho: BE = AB. CMR: CD = 2 1 CE. Giải Cách 1: Hình 1 ========================================================= Gäi F lµ trung ®iÓm cña CE. XÐt AEC cã B, F lÇn lît lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AE, CE. Ta cã: BF = 2 1 AC; BF//AC. Tõ BF//AC, suy ra gãcB 2 = gãcACB ⇒gãcB 1 = gãcB 2 , mµ BD = BF (AB=AC; BF= 2 1 AC; BD= 2 1 AB) ⇒∆BDC=∆BFC(c-g-c) ⇒ CD = CF ⇒CD= 2 1 CE. C¸ch 2: H×nh 2 Gäi M lµ trung ®iÓm cña AC * XÐt ∆AEC cã B, M lµ trung ®iÓm cña AE, AC suy ra BM//EC; BM= 2 1 EC. * Cã ∆ABM=∆ACD(c-g-c) ⇒ BM = CD. Suy ra CD= 2 1 CE. C¸ch 3: H×nh 3 Trªn tia ®èi cña tia CA lÊy ®iÓm H sao cho CH = CA. * XÐt ∆ABH cã D, C lµ trung ®iÓm cña AB vµ AC nªn: CD= 2 1 BH * Mµ ∆ABH=∆ACE(c-g-c) suy ra BH = CE Tõ ®ã CD= 2 1 CE. C¸ch 4: H×nh 4 ========================================================= Trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho CN = CB. * Xét ABN có D, C là trung điểm của AB và BN nên CD= 2 1 AN. * Ta có góc EBC=góc ACN suy ra BCE=CNA(c-g-c) suy ra CE = AN Mà CD = 2 1 AN suy ra CD= 2 1 CE. Ví dụ 4: Cho ABC cân tại A và có góc A bằng 20 0 . Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = BC. Hãy tính số đo góc ACD ? Giải Nhận xét: Hai góc ABC và ACB đều bằng 80 0 . Cách 1: Hình 1 Dựng BMC đều sao cho M và A cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ là BC. * Ta có MAB=MAC(c-c-c) suy ra góc MAB = góc MAC = 10 0 . Suy ra: góc ABM = góc ACM = 80 0 60 0 = 20 0 * Suy ra CAD=ACM(c-g-c) Suy ra: góc DCA = góc MAC = 10 0 . Cách 2: Hình 2 ========================================================= Dùng ∆ABF ®Òu sao cho C vµ F cïng n»m trªn nöa mÆt ph¼ng bê AB. Suy ra: gãc CAF = 40 0 vµ gãc CBF = 20 0 . Mµ ∆ACF c©n t¹i A suy ra gãc AFC = 70 0 vµ gãc BFC = 10 0 . Suy ra: ∆ADC=∆BCF(c-g-c) Suy ra gãc ACD = gãc BFC = 10 0 . C¸ch 3: H×nh 3 Dùng ∆ADH ®Òu sao cho H vµ C n»m trªn hai nöa mÆt ph¼ng ®èi nhau cã bê lµ AB. Suy ra gãcHAC = 80 0 * Cã ∆ABC=∆CAH (c-g-c), suy ra gãc BAC = gãc ACH, AC = HC Mµ gãc BAC = 20 0 nªn gãc ACH = 20 0 . * Cã ∆ACD=∆HCD(c-c-c) Suy ra gãc ACD = gãc HCD Suy ra: Gãc ACD = 10 0 . C¸ch 4: H×nh 4 ========================================================= Dựng ACK đều sao cho K và B nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là AC. Suy ra: Góc DAK = 80 0 . * Có ABC=KAD(c-g-c) suy ra AC = KD, góc BAC = góc AKD, suy ra góc AKD = 20 0 , suy ra góc DKC = 40 0 . * Có DKC cân tại K, suy ra: góc DKC = 70 0 , suy ra góc ACD = 10 0 . Phần 3: Kết luận Chuyên đề: Giải một bài Toán bằng nhiều cách giúp học sinh chủ động lĩnh hội kiến thức hơn, phù hợp với việc đổi mới phơng pháp dạy học hiện nay, phát huy vai trò tích cực học tập của học sinh. Khắc sâu những kiến thức học sinh tự tìm tòi, khám phá để chất lợng của việc học Toán đợc nâng cao. Qua thực tế giảng dạy, chúng tôi thấy rằng: Việc tìm tòi lời giải một bài Toán là yêu cầu rất quan trọng đối với bộ môn Toán, đã có lời giải rồi thì việc tìm thêm lời giải mới cho bài Toán giúp cho giáo viên và học sinh có sự vận dụng linh hoạt hơn với các kiểu và dạng bài tập, làm cho học sinh hứng thú, tích cực học tập hơn. Nhng, đòi hỏi ngời giáo viên cũng nh học sinh học Toán phải có kiến thức cơ bản, vững chắc và phải biết luôn tìm tòi và sáng tạo trong việc học Toán và giải Toán. Trên đây là một số suy nghĩ của chúng tôi trong vấn đề đổi mới phơng pháp dạy học hiện nay, nhất là đối với môn Toán. Chuyên đề này còn hạn chế về thời gian và cha giới thiệu đợc nhiều cách giải cho các bài toán hay, cha đa ra đợc các bài tập có cách suy nghĩ và lời giải tơng tự và không tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tôi mong đợc sự góp ý và bổ sung của đồng nghiệp.