PHềNG GIO DC O TO QUN TY H Kè THI HC SINH GII LP 9, VềNG II ,CPQUN Nm hc 2010-2011 Môn thi : Toán Ngày thi: 28/12/2010 Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1 ( 4 điểm) Tính giá trị của biểu thức: 20112010 2 += xxM biết 213:313313 21027)21027(21027)21027( + ++ ++ = x Câu 2 ( 4 điểm) a) Chứng minh rằng với mọi n là số nguyên dơng thì biểu thức : )23(6)15(5 nnnnn ++ chia hết cho 91 b) Tìm số tự nhiên x biết : 2012 2010 1 )1( 2 10 1 6 1 3 1 1 = + +++++ xx Câu 3 (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 33 6 33 6 33 6 xz z zy y yx x A + + + + + = trong đó x, y, z là các số dơng thoả mãn 1 =++ zxzxyzyzxyxy Câu 4 (6 điểm) Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm A(-3;0) và B(-1; 0). Lấy điểm M và N thay đổi trên trục tung sao cho BNAM . a) Chứng minh rằng ANMB và OM.ON có giá trị không đổi. b) Chứng minh rằng đờng tròn đờng kính MN luôn đi qua 2 điểm cố định. Tìm toạ độ 2 điểm đó Câu 5 (4 điểm) Cho đờng tròn (O;R) đựng đờng tròn (O;R) sao cho O nằm trên đờng tròn (O;R). Dây AB của đờng tròn (O;R) di động và tiếp xúc với với đờng tròn (O;R) tại C. Xác định vị trí của dây AB để 22 BCAC + đạt giá trị lớn nhất. Hết - Giám thị không giải thích đề thi PHềNG GIO DC O TO QUN TY H Kè THI HC SINH GII LP 9, VềNG II, CP QUN Nm hc 2010-2011 Tõy H ngy 28 thỏng 12 nm 2010 HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN TOÁN I.Hướng dẫn chung: - Làm tròn toàn bài đến 0,5 điểm - Bài hình không vẽ hoặc hình vẽ không khớp với chứng minh không chấm điểm - Học sinh làm cách khác đúng cho điểm tương đương - Từng phần thiếu giải thích trừ 0,25đ, từng bài thiếu giải thích chỉ trừ điểm 1 lần II. Thang điểm và đáp án: Câu Đáp án Thang điểm 1 (4đ) ( ) ( ) 213:313313 21027210272102721027 + ++− +−−−+ = x Tính 21027 + ; 21027 − ; 21027 − ; 21027 + Và 4132313313 2 += ++− ⇒ ( ) 2132313313 += ++− Nên ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 213:2132 25252525 22 ++ +−−−+ =x = ( )( ) ( )( ) [ ] 2 22252525 −+−+ = 2 246 =46 Vậy ( )( ) 925652011120112010 2 =+−=−+= xxxxM 1đ 1đ 1đ 1đ 2 (4đ) a) )23(6)15(5 nnnnn +−+ = 7)512()1825( nnnn −−− )23(6)15(5 nnnnn +−+ = 13)518()1225( nnnn −−− b) )1.( 2 5.4 2 4.3 2 3.2 2 2.1 2 )1( 2 10 1 6 1 3 1 1 + +++++= + +++++ xxxx 1 2 ) 1 11 5 1 4 1 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1.(2 + = + −++−+−+−+−= x x xx Vậy 2012 2010 1 1 2 = + x x ⇒ 2012 4022 1 2 = + x x ⇒ x=2011 1đ 1đ 3 (2đ) Áp dụng BĐT Cô si cho 2 số 33 6 yx x + và 4 33 yx + Ta có: 33 6 yx x + + 4 33 yx + 4 .2 33 33 6 yx yx x + + ≥ = 3 x Tương tự 33 6 zy y + + 4 33 zy + 4 .2 33 33 6 zy zy y + + ≥ = 3 y 33 6 xz z + + 4 33 xz + 4 .2 33 33 6 yx xz z + + ≥ = 3 z Suy ra 33 6 33 6 33 6 xz z zy y yx x + + + + + + 4 33 yx + + 4 33 zy + + 4 33 xz + 333 zyx ++≥ 33 6 33 6 33 6 xz z zy y yx x A + + + + + = 2 333 zyx ++ ≥ (1) Mặt khác [ ] 0)()()( 233233233 ≥−+−+− xzzyyx với x, y, z dương ⇒ 0222 333333333333 ≥+−++−++− xxzzzzyyyyxx ⇒ ( ) ( ) 333333333 22 xzzyyxzyx ++≥++ ⇒ ( ) ( ) 333333333 xzzyyxzyx ++≥++ ⇒ 1 333 =++≥++ zxzxyzyzxyxyzyx (2) Từ (1) và (2) suy ra 33 6 33 6 33 6 xz z zy y yx x + + + + + 2 1 ≥ Dấu bằng xảy ra khi 3 3 1 === zyx Vậy GTNN của A là 2 1 4 (6đ) B Q O P J A I M N a) ∆ AMB có B là trực tâm nên MB là đường cao hay ANMB ⊥ . Gọi P, Q là chân các đường cao hạ từ M, N. MBO ∆ ~ MNP ∆ ⇒ MN MB MP MO = ⇒ MO.MN=MB.MP MBQ∆ ~ MAP∆ ⇒ MA MB MP MQ = ⇒ MB.MP=MQ.MA Hay MO.MN=MQ.MA ABQ∆ ~ AMO ∆ ⇒ AM AB AO AQ = ⇒ AQ.AM=AO.AB Xét OM.ON=OM(MN-OM)=OM.MN- 2 OM =MQ.MA- 2 OM =(MA-AQ).MA- 2 OM = ( ) MAAQOMMA . 22 −− = ABAOAO . 2 − =AO(AO-AB)=AO.OB=3 Vậy OM.ON có giá trị không đổi b) Gọi I, J là giao điểm của đường tròn đường kính MN với trục Ox ⇒ MN đi qua trung điểm của IJ. Tức O là trung điểm của IJ 1 đ 2 đ 1,5 đ MOJ∆ ~ ION∆ ⇒ ON OJ OI MO = ⇒ OI.OJ=OM.ON=3 ⇒ OI=OJ= 3± Vậy ( ) 0;3 − I ; ( ) 0;3J là 2 điểm cố định mà đường tròn đường kính MN đi qua. 1,5 đ Gọi H là trung điểm của dây AB, K là hình 1đ 5 (4đ) O A O' B H C K chiếu của O trên CO’. Ta có OHCK là hình chữ nhật. 22222 2222 22 22222 2222 2222 22 2222 2222 '2)2'('2 )4'.4'('2 '.442 2'.4'2'222 ))'('(222 )''(2)(2 22 .2.2 )()( RRHORRR HOHORRRR HORHOR HOHORRRHOR HORRHOR KOOOHOR HCAH HCHBHCHBHCAHHCAH HCHBHCAHBCAC +≤−−+= +−−+= +−= −+−+−= −−+−= −+−= += −++++= −++=+ Vậy 22 BCAC + đạt giá trị lớn nhất khi R’-2HO=0 hay 2 'R HO = Khi đó có 2 vị trí của dây AB là 2 tiếp tuyến chung ngoài của đường tròn (O’;R’) và đường tròn ) 2 ' ;( R O 2 đ 1 đ . nhật. 22222 2222 22 22222 2222 2222 22 2222 2222 '2)2'('2 )4'.4'('2 '.442 2'.4'2'222 ))'('(222 )''(2)(2 22 .2.2 )()( RRHORRR HOHORRRR HORHOR HOHORRRHOR HORRHOR KOOOHOR HCAH HCHBHCHBHCAHHCAH HCHBHCAHBCAC +≤−−+= +−−+= +−= −+−+−= −−+−= −+−= += −++++= −++=+ Vậy 22 BCAC + đạt giá trị lớn nhất khi R’- 2HO= 0 hay. dơng thoả mãn 1 =++ zxzxyzyzxyxy Câu 4 (6 điểm) Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm A(-3;0) và B(-1; 0). Lấy điểm M và N thay đổi trên trục tung sao cho BNAM . a) Chứng minh rằng ANMB . Bài hình không vẽ ho c hình vẽ không khớp với chứng minh không chấm điểm - Học sinh làm cách khác đúng cho điểm tương đương - Từng phần thi u giải thích trừ 0,25đ, từng bài thi u giải thích chỉ