Tổng hợp các cách giải pt (đưa về pt bậc 2)

Cách giải pt hay và bổ ích cho các bạn học sinh lớp 9 . Tài liệu này cũng sẽ bổ ích cho các thầy,cô giáo muốn tìm hiểu thêm kiến thức cho mình

P hương trỡnh bậc hai

1 Định nghĩa và công thức nghiệm của phơng trình bậc hai:

* Định nghĩa: Phơng trình có dạng ax2+bx c 0+ = trong đó x là ẩn a, b, c là các số cho trớc và

a 0≠

* Công thức nghiệm của phơng trình bậc hai:

a) Công thức nghiệm:

Phơng trình ax2+bx c 0+ = (a 0≠ )

2

b 4ac

∆ = −

0 :

∆ < phơng trình vô nghiệm

0

∆ = : phơng trình có nghiệm kép x1,2 = − b

2a .

0

∆ > : phơng trình có 2 nghiệm phân biệt =− + ∆

1 b x

2a ;

− − ∆

=

2 b x

2a

a) Công thức nghiệm thu gọn:

Phơng trình ax2+bx c 0+ = (a 0≠ ) và b = 2b’

∆ =' b' ac2−

∆ <' 0 : phơng trình vô nghiệm

∆ =' 0: phơng trình có nghiệm kép x1,2 = − b'

2a.

0

∆ > : phơng trình có 2 nghiệm phân biệt =− + ∆

1 b' ' x

a ;

− − ∆

=

2 b' ' x

a

2 Hệ thức Vi-ét và ứng dụng:

Định lý Vi-ét:

Nếu x ;x1 2 là hai nghiệm của phơng trình ax2+bx c 0+ = (a 0≠ ) thì :

 = + = −





 = =



1 2

1 2

b

S x x

a c

P x x

a

Định lý Vi-ét đảo:

Nếu hai số x ;x1 2 có tổng x1+x2 =Svà tích x x1 2 =P thì hai số đó là hai nghiệm của phơng trình: X2−SX P 0+ = (Điều kiện tồn tại hai số trên là S2−4P 0≥ )

áp dụng của hệ thức Vi-ét:

- Nếu phơng trình ax2+bx c 0+ = (a 0≠ ) có a + b + c = 0 thì phơng trình có một nghiệm là x 1

= 1, nghiệm còn lại là x2 = c

a

- Nếu phơng trình ax2+bx c 0+ = (a 0≠ ) có a - b + c = 0 thì phơng trình có một nghiệm là x 1

= -1, nghiệm còn lại là x2 = −c

a

- Phân tích một tam thức bậc hai thành nhân tử: Nếu đa thức f(x) ax= 2+bx c+ có hai nghiệm

1 2

x ;x thì nó có thể phân tích thành nhân tử f(x) a(x x )(x x )= − 1 − 2

- Tính giá trị các biểu thức đối xứng của hai nghiệm của phơng trình bậc hai:

1 2 b 1 2 c

S x x ;P x x

( )

+ = + 2− = −

1 2 1 2 1 2

− = + 2− = −

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

Các dạng toán thờng gặp:

1 Dạng 1 Giải phơng trình bậc hai

1.1 Phơng pháp giải:

Cách 1: Giải trực tiếp: Dùng các quy tắc biến đổi phơng trình, biến đổi phơng trình cần

giải về dạng: (mx n)(px q) 0+ + = hoặc (ex d)+ 2 =gtừ đó tìm ra nghiệm của phơng

trình

Cách 2: Vận dụng công thức nghiệm.

Cách 3: Vận dụng hệ thức Vi-ét.

1 Dạng 1 Giải phơng trình bậc hai

1/ x2+15x 56 0+ =

2/ x2−( 3+ 2)x+ 6 0=

3/ 2x 1 x 1 23x 7

x 2 x 3 x 5x 6

+ − + = −

4/ 2x 1 x 1 25x 1

x 4 x 1 x 5x 4

+ − + = +

2 Dạng 2 Dạng toán giải và biện luận phơng trình

2.1 Phơng pháp giải:

Giải và biện luận phơng trình ax2+bx c 0+ = (a 0≠ )

- Lập ∆ hoặc ∆’

- Phơng trình vô nghiệm ⇔ ∆ <0(hoặc ∆ <' 0)

- Phơng trình có nghiệm kép ⇔ ∆ = 0(hoặc ∆ =' 0)

- Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆ >0(hoặc ∆ >' 0)

- Giải phơng trình, bất phơng trình ẩn là tham số

Ví dụ: Giải và biện luận phơng trình (m 2)x− 2−2(m 1)x m 5 0+ + − =

2.3 Bài tập áp dụng:

1/ (m 1)x− 2+(2m 3)x m 2 0− + + =

2/ (m 1)x+ 2−2(m 2)x m 4 0+ + + =

3/ (m 1)x− 2−2(m 1)x 3m 1 0+ − − =

4/ (m 1)x− 2+ −(2 m)x 1 0− =

3 Dạng 3 Chứng minh phơng trình luôn có nghiệm; vô nghiệm

3.1 Phơng pháp giải:

*Chứng minh phơng trình có nghiệm:

Cách 1: Chứng minh∆ ≥0(hoặc ∆ ≥' 0)

Cách 2: Chứng minh a.c ≤0(a và c trái dấu)

Cách 3: Chứng minh bằng phản chứng

*Chứng minh phơng trình vô nghiệm:

Cách 1: Chứng minh ∆ <0(hoặc ∆ <' 0)

Cách 3: Chứng minh bằng phản chứng

Ví dụ 1: Tìm m để phơng trình x2 + 5x + ( m - 4 ) = 0 có hai nghiệm phân biệt

Ví dụ 2: Cho phơng trình x2 -2( m + 1 )x +4m = 0 Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

Ví dụ 3: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng phơng trình :

2 2 2 2 2 2

b x (b c a )x c 0 vô nghiệm.

3.3 Bài tập áp dụng:

Bài tâp 1 Chứng tỏ rằng các phơng trình sau có nghiệm với mọi m:

a)x2−(m 4)x+ + 5 7 0− =

b)x2−2(m 5)x 6m 3 0− − + =

c) (m 1)x+ 2−2(m 1)x m 3 0− + − =

Bài tập 2: Cho phơng trình x2 + ( 2m - 1 )x - m = 0

a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi m

b) Tìm m để 2 2

1 2 6 1 2

A x = + x − x x đạt giá trị nhỏ nhất

Bài tập 3: Cho phơng trình bậc hai x2 - 2(m + 1)x + m2 + 3 = 0

a)Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt

b) Tìm m để phơng trình có nghiệm là 2, tìm nghiệm còn lại

Bài tâp 4 Chứng tỏ rằng các phơng trình sau vô nghiệm với mọi m:

a)x2+2x m+ 2+ =5 0

b)x2−2(m 1)x 2m− + 2−8m 19 0+ =

Bài tập 5 : Cho a, b, c là ba số dơng khác nhau, có tổng là 12 Chứng minh rằng trong ba phơng

trình sau, có 1 phơng trình có nghiệm, một phơng trình vô nghiệm

+ + =

2

x ax b 0; x2+bx c 0+ = ; x2+cx a 0+ =

4 Dạng 4 Tìm nghiệm nguyên, nghiệm hữu tỉ:

4.1 Phơng pháp giải:

Phơng trình ax2+bx c 0+ = (a, b, c ∈Z,a 0≠ ) có nghiệm hữu tỉ khi và chỉ khi ∆

(hoặc ∆') là số chính phơng

4.2 Các ví dụ:

Ví dụ 1: Tìm nghiệm hữu tỉ của phơng trình x2+mx 5 0,m Z+ = ∈ +

Ví dụ 2: Cho phơng trình x2+mx n 0,m,n Z+ = ∈ + Chứng minh rằng nếu phơng trình có nghiệm hữu

tỉ thì nghiệm đó là số nguyên

4.3 Bài tập áp dụng:

Bài tập 1: Tìm các giá trị nguyên của m để nghiệm của phơng trình x2−(2m 3)x 40 m 0+ + − = là số nguyên

Bài tập 2: Tìm các giá trị tự nhiên của m để nghiệm của phơng trình mx2+2(m 1)x m 4 0− + − = là số hữu tỉ

Bài tập 3: Tìm các giá trị tự nhiên của m sao cho phơng trình mx2−(m 1) x m 0− 2 + = có các nghiệm

đều nguyên

Bài tập 4: Giả sử p = p abc= là một số nguyên tố có ba chữ số Chứng minh rằng phơng trình

+ + =

2

ax bx c 0 không có nghiệm hữu tỉ

5 Dạng 5 Lập phơng trình bậc hai nhận hai số cho trớc là nghiệm và tìm hai số biết tổng và tích của chúng:

5.1 Phơng pháp giải:

* Lập phơng trình bậc hai nhận hai số cho trớc là nghiệm:

- Tính S x= +1 x2và tích P x x= 1 2nếu cho trớc x ,x1 2

- Ta có x ,x1 2 là hai nghiệm của phơng trình: X2−SX P 0+ =

*Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:

- Hai số cần tìm là hai nghiệm của phơng trình: X2−SX P 0+ = (với S, P là tổng

và tích của hai số đó

- Giải phơng trình X2−SX P 0+ = .

Ví dụ 1: Lập phơng trình bậc hai có các nghiệm bằng 5+ 3và 5− 3.

Ví dụ 2: Lập phơng trình bậc hai có một nghiệm bằng 7− 2.

Ví dụ 3: Tìm hai số x, y biết

a) x + y = 11 và xy = 28 b) x - y = 5 và xy = 66

Ví dụ 4: Tìm hai số x y biết x2 + y2 = 25 và xy = 12

5.3 Bài tập áp dụng:

Bài tập 1 Lập phơng trình bậc hai có các nghiệm bằng:

a/ 2 3và -2 3 a/ 7+ 3 và 7− 3

c/ 3 2 5− và 3 2 5+ d/ 7 1+ và 7 1−

Bài tập 2 Lập phơng trình bậc hai có một nghiệm bằng:

c/ +

−

2 3

− +

5 7

5 7

Bài tập 3: Tìm hai số x, y biết

a/ x + y = 2 7 và xy = 48 b/ x - y = 4 5 và xy = 11

6 Dạng 6 Tính giá trị của biểu thức đối xứng giữa các nghiệm:

6.1 Phơng pháp giải:

- Chứng tỏ ∆ ≥0(hoặc ∆ ≥' 0 hoặc a và c trái dấu)

- Tính tổng S, tích P

- Biểu thị biểu thức đối xứng giữa các nghiệm theo S, P

Chú ý: x12+x22 =(x1+x2)2−2x x1 2 =S2−2P

x12−x22 =(x1+x2)2−4x x1 2 =S2−4P

x31+x32 =(x1+x2)3−3x x x1 2( 1+x2)=S 3SP3−

6.2 Các ví dụ:

Ví dụ 1: Gọi x ,x1 2 là hai nghiệm của phơng trình: x2−3x 1 0+ = Không giải phơng trình hãy tính:

a/ +

1 2

1 1

x x b/ x12+x22

Ví dụ 2: Gọi x ,x1 2 là hai nghiệm của phơng trình: 3x2+ − =x 5 0 Không giải phơng trình, hãy tính:

a/ x13+x32 b/ (x x1− 2)2

6.3 Bài tập áp dụng:

Bài tập 1 Gọi x ,x1 2 là hai nghiệm của phơng trình: x2+5x 2 0+ = Không giải phơng trình, hãy

tính:

a/ x12+x22 b/ 1 + 2

2 1

x x

x x

Bài tập 2 Gọi x ,x1 2 là hai nghiệm của phơng trình: 2x2−3x 7 0− = Không giải phơng trình, hãy

tính:

a/ +

x 2 x 2 b/ x x1− 2

Bài tập 3 Gọi x ,x1 2 là hai nghiệm của phơng trình: x2−2(m 3)x 2m 4 0− − + = (m là tham số) Tính

giá trị của biểu thức sau theo m:

a/ 1 + 2

2 1

x x

x x b/ x12−x22

7 Dạng 7 Tìm biểu thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc tham số:

7.1 Phơng pháp giải:

- Tìm điều kiện của tham số để a 0≠ và ∆ ≥0(hoặc ∆ ≥' 0)

- Tính tổng S, tích P

- Khử tham số trong S và P để có đợc hệ thức liên hệ giữa S và P không phụ

thuộc vào tham số

- Thay S x= 1+x ;P x x2 = 1 2 vào hệ thức vừa tìm đợc

7.2 Các ví dụ:

Ví dụ 1: Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của phơng trình x2−2mx 4m 5 0+ − = không

phụ thuộc tham số m

Ví dụ 2: Cho phơng trình x2- ax + a - 1 = 0 có 2 nghiệm x x1, 2

a) Không giải phơng trình hãy tính giá trị biểu thức

2 2

1 2

2 2

1 2 2 1

M

x x x x

+ −

=

+

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của phơng trình không phụ thuộc tham số a?

6.3 Bài tập áp dụng:

Bài tập 1 Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của phơng trình không phụ thuộc tham số m:

− + − =

2

x 4mx 4m 2 0

Bài tập 2 Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của phơng trình không phụ thuộc tham số m:

− + − − =

2

2x (m 1)x m 2 0

Bài tập 3 Gọi x ,x1 2 là hai nghiệm của phơng trình: 2x2−(m 5)x m− − 2− =3 0 Hãy tìm hệ thức liên

hệ giữa x ,x1 2độc lập với tham số m

8 Dạng 8 Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có nghiệm thỏa điều kiện thoả mãn điều kiện cho trớc:

8.1 Phơng pháp giải:

Cách 1 (Vận dụng công thức nghiệm)

- Giải phơng trình, tìm đợc các nghiệm theo tham số

- Thay các nghiệm tìm đợc vào điều kiện cho trớc của nghiệm, để tìm đợc giá trị

của tham số

- Kết luận

Cách 2 (Vận dụng công thức nghiệm)

- Tìm điều kiện của tham số để ∆ ≥0(hoặc ∆ ≥' 0)

- Tính S, P kết hợp với điều kiện cho trớc của nghiệm, để tìm đợc giá trị của

tham số

- Kết luận

8.2 Các ví dụ:

Ví dụ 1 Cho phơng trình x2+(2m 1)x m− + 2− − =m 6 0 (m là tham số) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x ,x1 2 thoả mãn x12+x22 =17

Ví dụ 2 Định m để phơng trình x2−2(m 1)x 2m 1 0− + + = có hai nghiệm bằng nhau và tìm nghiệm

đó

Ví dụ 3 Cho phơng trình (m 1)x+ 2−2mx m 2 0+ − = (m là tham số) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x ,x1 2 thoả mãn x12+x22 = +x1 x2+1

Ví dụ 4 Xét phơng trình mx2+ (2m -1) x + m -2 = 0 (1) với m là tham số Tìm m để phơng trình có

2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn 2 2

1 2 1 2 4

x + − x x x =

8.3 Bài tập áp dụng:

Bài tập 1 Cho phơng trình x2−2(m 1)x m− + 2−2m 0= (m là tham số) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x ,x1 2 thoả mãn x12+x22− −x x1 2 =6

Bài tập 2 Cho phơng trình x2−2(m 1)x m+ + 2+2m 15 0− = (m là tham số) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt, nghiệm này gấp 3 lần nghiệm kia

Bài tập 3 Cho phơng trình x2−2(m 1)x m− + 2−2m 8 0− = (m là tham số) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x ,x1 2 sao cho − <13 x1<x2<10

Bài tập 4 Cho phơng trình x2+2(m 1)x m− + 2−2m 5 0+ = (m là tham số) Tìm m để phơng trình có

hai nghiệm phân biệt x ,x1 2 sao cho x12+x22 đạt giá trị nhỏ nhất

9 Dạng 9 Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có hai nghiệm trái dấu, cùng dấu, cùng dơng, cùng âm

9.1 Phơng pháp giải:

Phơng trình ax2+bx c 0+ = (a 0≠ )

- Phơng trình có hai nghiệm trái dấu ⇔ ac 0 <

- Phơng trình có hai nghiệm cùng dấu ∆ ≥

⇔  = >



0 c

a

- Phơng trình có hai nghiệm cùng dơng



∆ ≥

 −



⇔ = >



 = >



0 b

a c

a

- Phơng trình có hai nghiệm cùng âm



∆ ≥

 −



⇔ = <



 = >



0 b

a c

a

9.2 Các ví dụ:

Ví dụ 1 Cho phơng trình x2−10x m− 2 =0 (1) Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi giá trị của m≠0 Nghiệm mang dấu nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn?

Ví dụ 2: Cho phơng trình x2 − ( m − 1) x m − 2 + − = m 2 0 (với m là tham số) Chứng minh rằng phơng trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu ∀ m

Ví dụ 3 Cho phơng trình x2−2(m+1)x m+ 2−4m+ =5 0 Định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều dơng

Ví dụ 4 Cho phơng trình x2−(2m−5)x m+ 2+6m− =2 0 Định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều âm

9.3 Bài tập áp dụng:

Bài tập 1 Cho phơng trình x2−3(m−1)x+2m− =5 0 (m là tham số) Định m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu

Bài tập 2 Cho phơng trình x2+(m−3)x m+ − =2 0 (m là tham số) Định m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu

Bài tập 3 Cho phơng trình x2−(2m−3)x m+ 2−2m− =3 0 (m là tham số) Định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều dơng

Bài tập 4 Cho phơng trình x2−2mx+4m+ =5 0 (m là tham số) Định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều âm

Bài tập 5 Cho phơng trình x2− − + =3x m 5 0 (m là tham số) Định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt lớn hơn -3

Bài tập 6 Cho phơng trình 1, 2x2−2x m+ − =1 0 (m là tham số) Định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2

10 Dạng 10 Tìm điều kiện của tham số để hai phơng trình có quan hệ giữa các nghiệm 10.1 Phơng pháp giải:

Bài toán: Xác định tham số để một nghiệm của phơng trình ax2+bx c 0+ = (

a 0 ≠ ) bằng k (k>0) của một nghiệm phơng trình mx2+nx q 0+ = (m 0≠ )

Giải: Giả sử phơng trình mx2+nx q 0+ = có nghiệm x0 ; phơng trình

+ + =

2

ax bx c 0có nghiệm kx0

Ta có mx20+nx0+ =q 0; a(kx )0 2+b(kx ) c 00 + = Từ đó ta đợc đáp số bài toán

Chú ý: K=1 là hai phơng trình có một nghiệm chung.

10.2 Các ví dụ

Ví dụ 1: Tìm m để hai phơng trình sau x2 + mx + = 1 0 (1) và x2+ + = x m 0 (2) có nghiệm chung tìm nghiệm chung đó

Ví dụ 2: Tìm các giá trị của m để một nghiệm của phơng trình: x2 − 9 x m + = 0(1) gấp 2 lần một nghiệm của phơng trình x2 − 6 x m + = 0(2)

10.3 Bài tập áp dụng:

Bài tập 1: Với giá trị nào của m thì hai phơng trình sau: 2 x2 + (3 m + 1) x − = 9 0 và

2

6 x + (7 m − 1) x − = 19 0 có ít nhất một nghiệm chung Tìm nhiệm chung đó

Bài tập 2: Tìm m để hai phơng trình sau có nghiệm chung x2+ + x ( m − = 2) 0 và

2 ( 2) 8 0

Bài tập 3: Tìm các giá trị của m để một nghiệm của phơng trình: x2 − − x 5 m = 0 gấp 3 lần một nghiệm của phơng trình x2 + − = x m 0

Bài tập 4: Tìm các giá trị của m để một nghiệm của phơng trình: x2 − 2 x m + = 0 bằng 3

2 một nghiệm của phơng trình x2 + 4 x + 4 m = 0

11 Dạng 11 Giải phơng trình bậc cao quy về phơng trình bậc hai.

11.1 Phơng pháp giải:

Phơng trình bậc n là phơng trình đợc đa về dạng: 1

1 1 0 0

Trong đó n nguyên dơng; a a a0, , , ,1 2 an là các số thực cho trớc an ≠ 0 và x là ẩn

Phơng trình bậc n thờng đợc giải bằng cách quy về các phơng trình bậc nhất và

bậc hai

Các phơng pháp giải thờng sử dụng là

- Đa về phơng trình tích

- Đặt ẩn phụ

- Đa hai vế về luỹ thừa cùng bậc

Một số dạng bậc cao thờng gặp:

1 Phơng trình trùng phơng ax4 + bx2 + = c 0 ( a ≠ 0 )

Cách giải: Đặt y x y = 2( ≥ 0 ) , đa về phơng trình trung gian:

2 Phơng trình bậc ba ax3+ bx2 + + = cx d 0khi biết một nghiệm x.

Cách giải: - Đoán nghiệm x x = 0 của phơng trình

- Đa phơng trình về dạng tích 2

0 1 1 1

3 Phơng trình dạng ( x a x b x c x d + )( + )( + )( + ) = e với a b c d + = +

Cách giải: Đặt y = + ( x a x b )( + ), ta có ( x c x d + )( + ) = + y cd ab −

Phơng trình đa đợc về phơng trình bậc hai ẩn y

4 Phơng trình dạng ( x a + )4 + + ( x b )4 = c

Cách giải: Đặt

2

a b

y x = + + , Phơng trình đa đợc về phơng trình

trùng phơng ẩn y

5 Phơng trình dạng ( x a x b x c x d + )( + )( + )( + ) = ex2 trong đó ab =cd ;

abcd ≠ 0

Cách giải: x ≠ 0vì abcd ≠ 0 Chia 2 vế phơng trình cho x2 , ta đợc:

( )( ) ( )( )

.

e

( x ab a b x ).( cd c d ) e

Đặt ab

x

x

Phơng trình đa đợc về phơng trình bậc hai ẩn y

6 Phơng trình dạng ax4 + bx3 + cx2 ± kbx k a + 2 = 0 (với ka ≠ 0)

Cách giải: x ≠ 0 vì ka ≠ 0 Chia 2 vế phơng trình cho x2 ,ta đợc:

2 2

2 0

kb k a

2 2 2

( k ) ( k ) 0

y x

x

= ± thì 2 2 2

k

x

Phơng trình đa đợc về phơng trình bậc hai ẩn y

7 Phơng trình dạng x4 = ax2+ bx c +

Cách giải: Đa về dạng ( x2 + m )2 = (2 m a x + ) 2 + bx c m + + 2 trong đó

Chú ý: Giá trị m thoả mãn:

2 4(2 )( 2)

m a



8 Phơng trình đối xứng P(x) = 1

1 1 0 0

0

1 1

2 2

n

n

n

−

−

=



 =



 =





Nếu n = 2k, thì phơng trình gọi là đối xứng bậc chẵn; nếu n = 2k + 1, ta goi

ph-ơng trình là đối xứng bậc lẻ

• Với n = 2k, ta giải phơng trình đối xứng bậc chẵn nh sau:

- Chia cả hai vế cho xk

- Đặt 1

t x

x

= + , rồi quy về phơng trình bậc k (tức là đã giải đợc phơng trình)

• Với n = 2k + 1, ta giải phơng trình đối xứng bậc lẻ nh sau:

- Ta có nhận xét: Một phơng trình đối xứng bậc lẻ nhận x = -1 làm 1

nghiệm Do đó ta chia P(x) cho x + 1 , ta đợc phơng trình thơng Q(x) = 0 đây là

phơng trình đối xứng bậc chẵn (đã biết cách giải)

11.2 Các ví dụ

Ví dụ 1: Giải phơng trình x4 − 7 x2 + = 12 0.

Ví dụ 2: Giải phơng trình x3− 6 x2 + 10 x − = 5 0.

Ví dụ 3: Giải phơng trình ( x − 4)( x − 5)( x − 6)( x − = 7) 1680.

Ví dụ 4: Giải phơng trình ( x + 3)4 + + ( x 5)4 = 16.

Ví dụ 5: Giải phơng trình 4( x + 5)( x + 6)( x + 10)( x + 12) 3 = x2.

Ví dụ 6: Giải phơng trình x4 − 3 x3− 14 x2 − 6 x + = 4 0.

Ví dụ 7: Giải phơng trình x4 = 20 x + 21.

Ví dụ 8.1: Giải phơng trình 2 x4 + 3 x3− 16 x2 + 3 x + = 2 0 (1)

Ví dụ 8.2: Giải phơng trình x7 − 2 x6 + 3 x5 − − + x4 x3 3 x2 − 2 x + = 1 0 (1)

11.3 Bài tập áp dụng:

Bài tập 1: Giải các phơng trình sau:

a)9 x4 − 12 x2 + = 4 0 b) 6 x4 − 8 x2 + = 3 0

Bài tập 2: Giải các phơng trình sau:

a)2 x3+ x2 + 2 x + = 3 0 b) x3− 8 x2+ 21 x − = 18 0

Bài tập 3: Giải các phơng trình sau:

a)( x − 1)( x − 3)( x − 5)( x − = 7) 20

b)( x + 6)( x + 2)( x + 3)( x − = 1) 13

Bài tập 4: Giải các phơng trình sau:

a)( x + 3)4 + + ( x 5)4 = 2 b)( x − 1)4 + + ( x 3)4 = 626

Bài tập 5: Giải các phơng trình sau:

a)( x + 4)( x + 6)( x − 2)( x − 12) 25 = x2

b)( x + 18)( x + 15)( x + 12)( x + 10) 2 = x2

Bài tập 6: Giải các phơng trình sau:

a) 2 x4 + 3 x3 − 16 x2+ 3 x + = 2 0

b) x4 − 4 x3 − 9 x2 + 8 x + = 4 0

Bài tập 7: Giải các phơng trình sau:

a)x4 = 3 x2+ 10 x + 4.

b)x4 = 8 x + 7.

Bài tập 8: Giải các phơng trình sau:

a) x4 + 6 x3 + 11 x2 + 6 x + = 1 0

b) 6 x4 + 5 x3 − 38 x2 + 5 x + = 6 0

c) x7 − 2 x6 + 3 x5 − 4 x4 − 4 x3+ 3 x2 − 2 x + = 1 0

d) x5+ 2 x4 − 5 x3− 5 x2 + 2 x + = 1 0

12 Dạng 12 Giải phơng trình chứa ẩn ở mẫu quy về phơng trình bậc hai.

12.1 Phơng pháp giải:

Cách giải:

- Tìm Điều kiện xác định của phơng trình

- Quy đồng hai vế của phơng trình rồi khử mẫu

- Giải phơng trình vừa nhận đợc

Trong các giá trị của ẩn vừa tìm đợc các giá trị nào thoả mãn Điều kiện xác định

của phơng trình chính là nghiệm của phơng trình đã cho

Chú ý: Trờng hợp sau khi đa về dạng nguyên mà dẫn đến phải giải phơng trình

bậc cao, phức tạp chúng ta chuyển hớng tìm cách đặt ẩn phụ để đa về phơng trình quen

Một số dạng phơng trình chứa ẩn ở mẫu thờng gặp

1 Phơng trình dạng: 2 mx 2 mx p p ( 0)

Cách giải: x ≠ 0 vì do p ≠ 0

Do đó, chia tử và mẫu của mỗi phân thức ở vế trái cho x ≠ 0, ta đợc

p

Đặt y = c

ax b

x

+ + , ta có c

x

+ + = − +

Phơng trình trở thành m m

p

Phơng trình (*) đa đợc về phơng trình bậc hai ẩn y

2 Phơng trình dạng:

2 2 2

2

( )

a x

x c

±

Cách giải:

2

2 2 2

( )

2

Đặt y = x2

x a ± , Phơng trình đa đợc về phơng trình bậc hai ẩn y:

12.2 Các ví dụ:

Ví dụ 1: Giải phơng trình + + − =

+

2x 5 3x 2 4

Ví dụ 2: Giải phơng trình + =

3x 5x 2 3x x 2

Ví dụ 3: Giải phơng trình + =

+

2 2

2

25x

(x 5)

12.3 Bài tập áp dụng:

Bài tập 1: Giải các phơng trình sau:

a) 2x 1 x 1 23x 7

x 2 x 3 x 5x 6

+ − + = −

2x 1 x 1 5x 1

x 4 x 1 x 5x 4

+ − + = +

Bài tập 2: Giải các phơng trình sau:

4x 8x 7 4x 10x 7

Bài tập 3: Giải các phơng trình sau:

−

2 2

2

4x

25x (x 3)