Giáo án luyện thi đại học Lớp 12 Chơng III. Nguyên hàm và tích phân I. Tóm tắt lý thuyết 1/ Nguyên hàm: a/ Định nghĩa: ( )f x dx = F(x) +C F(x) = f(x) ( C là hằng số ) b/ Tính chất : ( ) ' f (x)dx = f(x) af (x)dx = a f (x)dx [f (x) g(x)]dx = f (x)dx g(x)dx f (t)dt = F(t) + C [u(x)]u '(x)dx = [u(x)] + C c/ Bảng các nguyên hàm Nguyên hàm các hàm số sơ cấp thờng gặp Nguyên hàm các hàm số hợp u = u(x) dx = x +C x dx = 1 1 x + + +C dx x = ln|x|+C x e dx = e x + C x a dx = a ln x a + C (a > 0, a 1) cos xdx = sinx + C sinxdx = -cosx + C 2 cos dx x = tgx + C 2 sin dx x = -cotgx + C du = u +C u du = 1 1 u + + +C du u = ln|u|+C u e du = e u + C u a du = a ln u a + C (a > 0, a 1) cosudu = sinx + C sin udu = -cosu + C 2 cos du u = tgu + C 2 sin du u = -cotgu + C 2/ Tích phân. a/ Định nghĩa: f(x)liên tục trên [a; b] và F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a; b] ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a f x dx F x F b F b= = b/ ý nghĩa: c/ Tính chất. ( ) a a f x dx = 0 ( ) b a f x dx = ( ) a b f x dx ( ) b a kf x dx = k ( ) a b f x dx , k . [ ] ( ) ( ) b a f x g x dx = ( ) b a f x dx ( ) b a g x dx Nguyễn Thị Ngân Thoa Trờng Trung học Chuyên Kon Tum Trang13 Giáo án luyện thi đại học Lớp 12 ( ) c a f x dx = ( ) b a f x dx + ( ) c a f x dx f(x) 0 trên [a; b] ( ) b a f x dx 0. f(x) g(x) trên [a; b] ( ) b a f x dx ( ) b a g x dx m f(x) M trên [a; b] m(b a) ( ) b a f x dx M(b a) t biến thiên trên [a; b] G(t) = ( ) t a f x dx là một nguyên hàm của f(t) và G(a) = 0. 3/ Các ph ơng pháp tính tích phân. 3.1. Ph ơng pháp đổi biến số. Giả sử ta phải tính : ( ) b a g x dx ; trong đó f(x) là một hàm số liên tục trên đoạn [a, b]. a) Dạng I. Định lý 1. Hàm số x = u(t) có đạo hàm liên tục trên đoạn [; ], Hàm số hợp f(u(t)) xác định trên đoạn [; ], u() = a, u() = b,thì ta có ( ) b a f x dx = [ ( )] '( )f u t u t dt . b) Dạng II. Biến đổi f(x) về dạng g(v(x))v(x). Đặt t = v(x), thì dt = v(x)dx. Khi đó f(x)dx = g(v(x))v(x)dx = g(t)dt. Nếu G(t) là một nguyên hàm của g(t) thì G(v(x)) là một nguyên hàm của g(v(x))v(x). Do đó ta có ( ) b a f x dx = ( ( )) '( ) b a g v x v x dx = ( ( )) b a G v x = G(v(b)) G(v(a)) = ( ) ( ) ( ) v b v a G t . 3.2. Ph ơng pháp tích phân từng phần. Định lý. Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] thì ( ) '( ) b a u x v x dx = [ ] ( ) ( ) b a u x v x ( ) '( ) b a v x u x dx hay ( ) b a u x dv = [ ] ( ) ( ) b a u x v x ( ) b a v x du 4. ứ ng dụng hình học vật lý của tích phân. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng y = f(x) ;x = a ; x = b ; trục hoành S = ( ) b a f x dx Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng y = f 1 (x) ; y = f 2 (x); x = a ; x = b ; Ox S = 1 2 ( ) ( ) b a f x f x dx Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quayquanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi các đờng y = f(x) ;x = a ; x = b ; trục hoành : Nguyễn Thị Ngân Thoa Trờng Trung học Chuyên Kon Tum Trang14 Giáo án luyện thi đại học Lớp 12 V = 2 b a y dx = [ ] 2 ( ) b a f x dx Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quayquanh trục tung hình phẳng giới hạn bởi các đờng x= g(x) ;y = a ; y = b ; trục tung : V = 2 b a x dy = [ ] 2 ( ) b a g y dy II. Bài tập : Bài 1 Tính các tích phân sau a/ 2 2 2xdx x x cos sin cos ; b/ 2 tgx gx dx( cot ) ; c/ 2 2 3 2x 2 x dx x cos cos cos ; d/ 2 dx 2x 4 ; e/ 3 2 x dx x 1( ) ; d/ 3 2 x 1 dx x x 1 ( )+ + . Bài 2 : Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số : a/ f(x) = x 3 x 2 +2x1 biết F(1)=4; b/ f(x) =x+ 1 x x + biết F(1) = 0 ; c/ f(x) = 2 4 x x 5 x + + biết F(1) =2. Bài 3 : Tính các tích phân sau : a/ 1 4 2 0 dx x 4x 3 + + ; b/ 16 0 dx x 9 x + ; c/ 3 4 2 2 x dx x 1 ; e/ 1 2 3 0 xdx x 1( ) + . Bài 4 : Tính các tích phân sau : a/ 1 3 0 x 1 xdx ; b/ e 2 1 dx x 1 xln ; c/ 3 x 2x 0 e dx 1 e ln + ; d/ 2 x x 1 e dx e 1 . Bài 5 : Tính các tích phân sau : a/ 1 2 0 dx x 1 x( ) ; b/ 1 3 2 0 x 1 x ; c/ 2 2 1 dx x 1 x + ; d/ 4 2 4 3 x 4dx x . Bài 6 : Tính các tích phân sau : a/ 4 0 1 tgx dxln( ) + ; b/ 3 2 2 1 1 x dx x + ; c/ e 2 1 1 x x( ) ln ; d/ 2 3 2 1 1 x dx x ln( )+ . Bài 7 : Tính các tích phân sau : a/ 2 0 x 1 x dxsin ln( cos ) + ; b/ 2 2 0 x xdxcos ; c/ 2 4 0 xdxsin ; d/ 2 0 dx 1 x xsin cos + + . Bài 8 : Tính các tích phân sau : a/ 0 x x 1 dx x 2 x 3 sin cos sin cos + + + ; b/ 7 3 3 2 0 x dx 1 x + ; c/ 1 0 xdx 2x 1 + ; d/ 2 2 3 0 x xdxsin cos . Bài 9 : Tính các tích phân sau : a/ 2 2 0 xdx 11 7 x x cos sin cos ; b/ ( ) 2 e 2 e 1 1 dx x x ln ln ; c/ 2 3 0 xdx 1 x cos cos + ; d/ 4 x 1 e dx . Bài 10 : Tính các tích phân sau : a/ 2 2 2 2 x 1 dx x x 1 + + ; b/ 1 3 2 0 4x 1 dx x 2x x 2 + + + . c/ 2 0 x 2 x dx 4 x 3 x cos sin cos sin + + ; d/ 2 2 1 x dx x ln ; Bài 11: Tính các tích phân sau : Nguyễn Thị Ngân Thoa Trờng Trung học Chuyên Kon Tum Trang15 Giáo án luyện thi đại học Lớp 12 a/ cos sin 2 6 4 0 x dx x ; b/ sin ( ) 1 9 2 0 x dx 2x 1 + ; c/ cos 2 n 0 xdx ; d/ ln( 2 5 2 2 x x 1 dx + + Bài 12 : Tính các tích phân sau : a/ sin cos 2 0 x xdx 9 4 x + ; b/ ( cos ) sin 2 2 2 x x dx 4 x + ; c/ 1 n 0 x 1 xdx ; d/ ( ) 1 2 2 1 dx 1 x + . Bài 13 : Tính các tích phân sau a/ sin cos 2 3 0 4 xdx 1 x + ; b/ 1 2 1 dx 1 x 1 x + + + ; c/ ln( ) 1 2 0 x x x 1 dx+ + ; d/ ( ) e 2 1 2 lnxdx x 1 + . Bài 14 : Tính các tích phân sau a/ sin sin cos 2 2 x 3 0 e x xdx ; b/ ( ) ( ) 2 x 1 2 0 x 1 e dx x 1 + + ; c/ ( ) 7 2 3 0 x 1 dx 3x 1 + + ; d/ 1 3 0 3dx 1 x + Bài 15 : Tính các tích phân sau a/ ( ) ( ) 2 2 3 2 2 x dx x 1 x 4x 3 + ; b/ 1 0 1 x dx 1 x + ;c/ ( 4 1 dx x 1 x + ;d/ ( ) 8 2 4 2x 1 dx x 4x x 2 + + + Bài 16 : Tính các tích phân sau: a/ 4 0 cos2x dx 1 2sin2x + ; b/ 3 2 3 dx 3 x + ; c/ ( ) 2 2 0 x 2x 3 sinxdx + ; d/ ( ) 3 2 6 ln sinx dx cos x . Bài 17 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng sau : a/ y = 12x và y = x 3 3x 2 +1 b/ y 2 =2x và y = 2x2 c/ y = xln 2 x ; y = 0 ; x = 1 và x = e . d/ y=6x và y = 5 x Bài 18 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng sau : a/ y = |x 2 1| và y = |x| +5 b/ y 2 = 6x và x 2 +y 2 =16 c/ y = x 2 +2 và y = x d/ y = x 2 2x+2 (P) và tiếp tuyến của (P) tại M(3;5)và trục Oy Bài 19 : Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đờng y = x(4x) ;y=0 quanh trục Ox . Bài 20 : Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đờng y = x 2 +4x và y=x quanh trục Ox Bài 21 : Tính diện tích hình phẳng xác định bởi: a/ y = x 2 2x + 3, y = x 5 ; b/ y = 2x 3 x 2 8x + 1, y = 6. Bài 22 Tính thể tích hình tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đờng sau quay quanh trục Ox: y = x 3 + 1, y = 0, x = 1, x = 0. Nguyễn Thị Ngân Thoa Trờng Trung học Chuyên Kon Tum Trang16 . thì ( ) '( ) b a u x v x dx = [ ] ( ) ( ) b a u x v x ( ) '( ) b a v x u x dx hay ( ) b a u x dv = [ ] ( ) ( ) b a u x v x ( ) b a v x du 4. ứ ng dụng hình học vật