Tổng hợp bài tiểu luận môn tối ưu phi tuyến

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM LỚP TOÁN VB2-K2 TỔNG HỢP BÀI TIỂU LUẬN TỐI ƯU PHI TUYẾN Năm học 2014 TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH                     MÔN: QUY HOẠCH PHI TUYẾN ĐỀ TÀI: CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA HÀM LỒI – HÀM LÕM HVTH: 1. Trịnh Cẩm Vân 2. Nguyễn Thị Bích Hồng 3. Ngô Thị Duy Bình Lớp Toán -Văn bằng 2- khóa 2 1 Chƣơng 4: HÀM LỒI VÀ HÀM LÕM I. Định nghĩa 1) Định nghĩa hàm lồi Một hàm số  xác định trên tập n R được gọi là lồi tại x  nếu           0 1 1 1 1 x x x x x xx                             được gọi là lồi trên  nếu nó lồi tại mọi x . Trường hợp đặc biệt: nếu  là tập lồi, n R thì ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 1: Một hàm số  xác định trên tập lồi  gọi là lồi trên  nếu và chỉ nếu         12 1 2 1 2 , 11 01 xx x x x x                     Ví dụ:   2 xx   là hàm lồi trên R. Hàm lồi  trên R Hàm lồi  trên   1,    Hình 4.1: Hàm lồi trên các tập con của n RR 2 2) Định nghĩa hàm lõm Một hàm số  xác định trên tập n R được gọi là lõm tại x  nếu           0 1 1 1 1 x x x x x xx                             được gọi là lõm trên  nếu nó lõm tại mọi x . Trường hợp đặc biệt: nếu  là tập lồi, n R thì ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 2: Một hàm số  xác định trên tập lồi  gọi là lõm trên  nếu và chỉ nếu         12 1 2 1 2 , 11 01 xx x x x x                     Ví dụ:   2 xx   là hàm lõm trên R. Chú ý:  lõm tại x  (lõm trên Γ) khi và chỉ khi   lồi tại x  (lồi trên Γ). Hàm lõm  trên R Hàm lõm  trên   0,1 Hình 4.2: Hàm lõm trên các tập con của RR n  . 3) Bài toán 1: Chứng minh rằng:   , n x cx x R     là hàm tuyến tính    x  vừa lồi vừa lõm trên n R . Chứng minh:    Vì   x  là hàm tuyến tính nên 12 , n x x R ;   0,1   và   12 1 n x x R     ta có: 3         1 2 1 2 11f x x f x f x                            1 2 1 2 1 2 1 2 11 11 f x x f x f x f x x f x f x                             Vậy   x  vừa lồi vừa lõm trên n R .    Vì   x  là hàm lồi trên n R nên           12 1 2 1 2 , 1 1 1 01 n x x R x x x x                     Vì   x  là hàm lõm trên n R nên           12 1 2 1 2 , 1 1 2 01 n x x R x x x x                     Từ (1) và (2) suy ra         1 2 1 2 11f x x f x f x            Vậy   x  là hàm tuyến tính. 4) Định nghĩa hàm lồi ngặt Một hàm số  xác định trên tập n R được gọi là lồi ngặt tại x  (với x tùy ý trên  ) nếu           11 01 1 x xx x x x x xx                               được gọi là lồi ngặt trên  nếu nó lồi ngặt tại mọi x . Ví dụ: hàm  trên hình 4.1b) là hàm lồi ngặt. 5) Định nghĩa hàm lõm ngặt Một hàm số  xác định trên tập n R được gọi là lõm ngặt tại x  (với x tùy ý trên  ) nếu           11 01 1 x xx x x x x xx                              4  được gọi là lõm ngặt trên  nếu nó lõm ngặt tại mọi x . Ví dụ: hàm  trên hình 4.2 a), 4.2 b) là hàm lõm ngặt. Chú ý: - Nếu một hàm lồi ngặt (lõm ngặt) trên tập n R thì hàm đó lồi (lõm) trên Γ, chiều ngược lại thì không. Ví dụ: một hàm hằng trên n R đều lồi và lõm trên n R , nhưng nó không lồi ngặt và lõm ngặt trên n R . Thật vậy, dễ dàng thấy tất cả những hàm tuyến tính   x cx   trên n R thì không lồi ngặt và lõm ngặt trên n R . - Một hàm véctơ n chiều ƒ xác định trên tập Γ trong n R gọi là lồi tại x  , lồi trên Γ, nếu mỗi hàm thành phần , 1, , i f i m lồi tại x  , lồi trên Γ. II. Các tính chất cơ bản 1) Định lý 1 (Các phép toán với các hàm lồi) Cho U là một tập lồi trong không gian n R . Khi đó 1. Nếu f và g là các hàm lồi trên U thì f + g cũng là hàm lồi trên U . Nếu f hoặc g là hàm lồi ngặt thì tổng f + g cũng là hàm lồi ngặt. 2. Nếu f là hàm lồi (lồi ngặt) trên U và µ là một số thực dương thì µf là một hàm lồi (lồi ngặt) trên U . 3. Nếu f là một hàm lồi (lồi ngặt) trên U và V là tập con lồi của U . Khi đó hạn chế f |V của hàm f lên V cũng là một hàm lồi (lồi ngặt) trên V . 2) Định lý 2 Cho   1 ,, m f f f là hàm véc tơ m chiều xác định trên n R . Nếu ƒ lồi tại x  (lồi trên Γ) thì mỗi một tổ hợp tuyến tính không âm của các hàm thành phần i f     ,0x pf x p   là hàm lồi tại x (lồi trên Γ). Chứng minh: Lấy 10,   x , và  xx  )1( . Ta có :     xxpfxx   )1()1(   )()()1( xfxfp   (do f lồi tại x và 0p ) 5 )()()1( )()()1( xx xpfxpf     Vậy   x  là hàm lồi tại x (lồi trên Γ). 3) Bài toán 2 Cho  là một hàm số xác định trên tập lồi n R . Chứng minh rằng  lồi, lõm, lồi ngặt, hoặc lõm ngặt trên Γ nếu và chỉ nếu với mọi 12 ,xx , hàm số  xác định trên đoạn thẳng   0,1 là     1 2 1 xx           lồi, lõm, lồi ngặt, hoặc lõm ngặt trên   0,1 . 4) Định lý 3 Cho một hàm số  xác định trên một tập lồi n R , điều kiện cần và đủ để  lồi trên  là tập trên đồ thị của  :     1 , / , , ( ) n G x x R x R            là tập lồi trên 1n R . Chứng minh: (Điều kiện đủ) Giả sử  G lồi. Lấy  21 ,xx 11 [ , ( )]x x G    và 22 [ , ( )]x x G    Vì  G lồi nên 1 2 1 2 [(1 ) ,(1 ) ( ) ( )]x x x x G            ( 10   ) Hay 1 2 1 2 [(1 ) ] (1 ) ( ) ( )x x x x            ( 10   ) Vậy  là hàm lồi trên  (Điều kiện cần) Giả sử  lồi trên  . Lấy 11 ,xG    và 22 ,xG    . Vì  lồi trên  nên 1 2 1 2 [(1 ) ] (1 ) ( ) ( )x x x x            ( 10   ) 12 (1 )       1 2 1 2 (1 ) ,(1 )x x G               Vậy G  là tập lồi trên 1n R . (đpcm) 5) Hệ quả 1 Cho một hàm số  xác định trên tập lồi n R , điều kiện cần và đủ để  lồi trên  là tập dưới đồ thị của  :     1 , / , , ( ) n H x x R x R            là tập lồi trên 1n R . 6 Hình 4.3: a) Tập trên đồ thị của hàm lồi  là tập lồi G  b) Tập dưới đồ thị của hàm lõm  là tập lồi H  6) Định lý 4 Cho  là hàm số xác định trên tập lồi n R . Điều kiện cần để  lồi trên  là tập   / , ( ) n x x x R          lồi với mọi số thực  . Chứng minh: Cho  lồi trên  . Lấy   12 , ; 0,1xx     ta có: 1 2 1 2 [(1 ) ] (1 ) ( ) ( )x x x x            ( 10   ) (1 )         12 (1 )xx       Vậy   là tập lồi. Tiếp theo ta chứng minh   lồi với mọi số thực  . Xét hàm  trên R :   3 xx    không lồi trên R. Tập     1 3 3 / , / ,x x x x x x          là tập lồi với mọi  (hiển nhiên) 7) Hệ quả 2 7 Cho  là hàm số xác định trên tập lồi n R . Điều kiện cần để  lõm trên  là tập   / , ( ) n x x x R          lồi với mọi số thực  . Hình 4.4: a) Hàm lồi  liên kết tập lồi   . b) Hàm không lồi  liên kết tập lồi   . c) Hàm lõm  liên kết tập lồi   . 8) Bài toán 3 Cho  là hàm số xác định trên tập lồi n R . Chứng minh rằng: điều kiện cần và đủ để  lồi trên  là với mọi số nguyên 1m  ,       1 1 1 1 11 1 , , , , 0 (*) 1 m m m m mm m xx p p p x p x p x p x pp                    Chứng minh: (Điều kiện cần) Chứng minh qui nạp theo k + 2k  ta có bất đẳng thức đúng sau:       2 12 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 , ,0 1 xx p p p x p x p x p x pp                + Giả sử bất đẳng thức (*) đúng với 1km nghĩa là ta có bất thức đúng sau:       11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 , , , , 0 1 m mm m m m m xx p p p x p x p x p x pp                          8 +Chứng minh bất đẳng thức (*) đúng với km . Đặt , 1 i i m p p p               11 ,, 1 1 1 11 m m m i m i m i i m m i m m i i i i p x p x p p x p x p p x                        1 , 11 1 mm m i i m m i i ii p x p p x p x                   (đpcm) (Điều kiện đủ) Hiển nhiên Bất đẳng thức (*) ở trên gọi là bất đẳng thức Jensen. 9) Định lý 5 Nếu   i iI   là một họ các hàm số (hữu hạn hoặc vô hạn) lồi và bị chặn trên trên tập lồi n R thì hàm số   sup ( ) i iI xx    là một hàm lồi trên  . Chứng minh: Vì mỗi i  là hàm lồi trên  nên tập trên đồ thị của mỗi i  })(,,/),{(    xRxxG i i là các tập lồi trên 1n R  (định lý 2) {( , )/ , , ( ) , } i i iI G x x R x i I              {( , )/ , , ( ) }x x R x         cũng là một tập lồi trên 1n R  . Mà giao của các tập lồi này là tập trên đồ thị của  . Vậy  là một hàm lồi trên  (định lý 2). (đpcm) 10) Hệ quả 3 Nếu   i iI   là một họ các hàm số (hữu hạn hoặc vô hạn) lõm và bị chặn dưới trên tập lồi n R thì hàm số   inf ( ) i iI xx    là một hàm lõm trên  . Chú ý: - Hàm  là lồi trên tập lồi n R thì không nhất thiết là hàm liên tục. Ví dụ: trên nữa đoạn thẳng }1,/{  xRxx , hàm số 2 2, 1 () ( ) , 1 x x xx        là một hàm lồi trên  ( tập trên đồ thị của  là tập lồi trên  ), nhưng không liên tục tại 1x  (     1 lim 1 x x    ) (hình 4.1b). - Tuy nhiên, nếu  là một tập lồi mở, thì hàm lồi  trên  liên tục. [...]... TỐI ƯU ĐIỂM YÊN NGỰA CỦA BÀI TOÁN QUY HOẠCH PHI TUYẾN KHÔNG KHẢ VI Mục đích của chương này là tìm các tiêu chí tối ưu của các điểm yên ngựa (điểm dừng) cho bài toán qui hoạch phi tuyến Minh họa bằng ví dụ đơn giản sau Hãy xem xét các vấn đề cực tiểu của hàm  trên tập X  x / x  ,  x  2  0 ;    x    x  cho giải pháp x  2 , thì hàm cực tiểu là  x  4 Các điểm yên ngựa 2 tối ưu cho bài. .. hàm cực tiểu trên là một trường hợp đặc biệt của hàm cực tiểu tổng quát 1.6.9, đẳng thức vector k chiều h (x) = 0 Lý do cho điều này là trong trường hợp khả vi không có ý nghĩa tối ưu cho đẳng thức phi tuyến Xem 5.8.2, 6.4.2, 6.4.8) 2 Bài toán cực tiểu địa phương (LMP) Tìm x trong X , nếu nó tồn tại, như vậy đối với quả cầu mở B ( x) ; x với bán kính   0 , x  B ( x)  X   (x)   ( x) 3 Bài toán... tối ưu của các phương trình vi phân Đây là một vấn đề quy hoạch trong R n , không phải là lồi, và do đó các kết quả của chương này không áp dụng.Tuy nhiên các điều kiện tối ưu của chương 7 và 11 dựa chủ yếu trên tuyến tính và không lồi, để áp dụng trong các bài toán điều khiển tối ưu được mà phải mô tả bởi phương trình vi phân phi tuyến 3 II Một số kết quả cơ bản cho bài toán cực tiều hóa và cực tiểu. .. các tiêu chuẩn tối ưu của chương này trên giả thiết vi phân Tiếp theo chương 7 và 11, sẽ thiết lập các tiêu chí tối ưu liên quan đến hàm lũy thừa I Các bài toán cực tiểu và điểm yên ngựa (điểm dừng) Các tiêu chí tối ưu của chương này liên quan các giải pháp vấn đề cực tiểu, vấn đề cực tiểu địa phương, và hai điểm yên ngựa với nhau Chúng tôi định nghĩa vấn đề dưới đây 1 Cho X 0 là một tập hợp con của R... nguyên tắc tối thiểu, tối đa giống như Pontryagin của nguyên tắc [Pontryagin et al 62] Nguyên tắc Pontryagin là một điều kiện tối ưu cần thiết cho việc điều khiển tối ưu hệ thống của các phương trình vi phân Như vậy, nó là một điều kiện tối ưu cần thiết cho bài toán quy hoạch, không phải trong R n ,nhưng trong một tập khác Gần hơn [Halkin 66, Canon et al 66, MangasarianFromovitz 67] một nguyên tắc tối thiểu... điểm cực tiểu tại  x, u  với x  R , và u cực đại với u  R Đối với những vấn đề trên, các điểm yên ngựa tối ưu xảy ra khi điều kiện cần và đủ cho tiêu chuẩn tối ưu x một giải pháp cực tiểu Điều này không xảy ra với mọi trường hợp Chúng ta sẽ rõ điều kiện điểm yên ngựa trên là một điều kiện tối ưu đủ với điêu kiện lồi Tuy nhiên để thiết lập điều kiện cần thiết cho các điểm yên ngựa trên, chúng ta không... minh trên:   x     y    III Tiêu chuẩn tối ưu đủ Các tiêu chí tối ưu chủ yếu phát triển ở đây (1 và 2 dưới đây) đòi hỏi không có giả định lồi trong bài toán cực tiểu MP 5.1.1 Những tiêu chí này khá đơn giản để có được và không cần phải phức tạp máy móc để lấy được Kết quả đầu tiên của loại hình này đã thu được trong [Uzawa 58] 1 Định lý tối ưu đủ Nếu  x, u  là một giải pháp của KTSP 5.1.4,... của bài toán FJSP 5.1.3 0  r g ( x), x  X 0 [vì r0  0 and r g ( x)  0 ] Mâu thuẫn với tính chất ràng buộc của Karlin Do đó r0  0 Chúng ta tóm tắt trong hình 5.4-1 hệ thức giữa nghiệm của bài toán khác nhau trong chương này Hình 5.4.1: Hệ thức giữa nghiệm của Bài toán cực tiểu hoá địa phương (LMP ) 5.1.2, Bài toán cực tiểu hoá ( MP ) 5.1.1, Bài toán saddle point Fritz John ( FJSP ) 5.1.3, Bài. .. chuẩn tính tối ưu điểm yên ngựa Kuhn-Tucker với sự có mặt của các ràng buộc đẳng thức 12 tuyến tính Để làm điều này, chúng ta lấy tập X 0 của bài toán MP 5 1 1 là toàn bộ không gian R n 5.4.8 Định lý tiêu chuẩn tối ưu điểm yên ngựa Kuhn-Tucker với sự có mặt của ràng buộc đẳng thức tuyến tính Gọi  , g theo thứ tự là hàm bằng số và hàm vectơ m - chiều mà đều lồi trên R n Cho h là hàm vectơ tuyến tính... ở bài toán cực tiểu hoá mà không làm thay đổi nghiệm x Hơn nữa, đôi khi chúng ta thiết lập định lý cho các hàng độc lập tuyến tính của B, chúng ta có thể giới thiệu lại các hàng phụ thuộc tuyến tính Bk (mà không thay đổi bài toán cực tiểu hoá) và đặt vk  0 trong bài toán yên ngựa Với 2 điều trên, tồn tại r0  R, r  Rm , s  Rk , (r0 , r )  0, (r0 , r, s)  0 thỏa r g ( x)  0 và giải đáp cho bài . CHUẨN TỐI ƯU ĐIỂM YÊN NGỰA CỦA BÀI TOÁN QUY HOẠCH PHI TUYẾN KHÔNG KHẢ VI Mục đích của chương này là tìm các tiêu chí tối ưu của các điểm yên ngựa (điểm dừng) cho bài toán qui hoạch phi tuyến. . ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM LỚP TOÁN VB2-K2 TỔNG HỢP BÀI TIỂU LUẬN TỐI ƯU PHI TUYẾN Năm học 2014 TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ. (x) = 0 . Lý do cho điều này là trong trường hợp khả vi không có ý nghĩa tối ưu cho đẳng thức phi tuyến. Xem 5.8.2, 6.4.2, 6.4.8) 2. Bài toán cực tiểu địa phương (LMP) Tìm x trong X , nếu