Bài tiểu luận tối ưu phi tuyến nhóm 8

Lớp: Toán VB2- K2 Nhóm thực hiện: 1/ Ma Xuân Út, 2/ Lê Thị Diễm Kiều, 3/ Nguyễn Văn Tùng ( Hàm Khả Vi) Môn Chuyên đề: Lý thuyết tối ưu phi tuyến CHỦ ĐỀ: HÀM KHẢ VI Nhóm thực hiện: 1. Ma Xuân Út 2. Lê Thị Diễm Kiều 3. Nguyễn Văn Tùng Hàm Khả Vi Lớp: Toán VB2- K2 Nhóm thực hiện: 1/ Ma Xuân Út, 2/ Lê Thị Diễm Kiều, 3/ Nguyễn Văn Tùng ( Hàm Khả Vi) Định Lý Giá Trị Trung Bình và Định Lý Hàm Ẩn I. HÀM KHẢ VI VÀ ĐẠO HÀM BẬC HAI 1. Hàm khả vi: Cho D là tập mở trong n R và   12 : D , f , , , p p f R f f f Ta nói f khả vi tại xD nếu tồn tại ánh xạ ánh xạ tuyến tính : np x t R R , và tồn tại hàm : V R p x   với V là một lân cận nào đó của 0 n R sao cho n hR mà x h D thì:       () x f x h f x t h h h        0 lim 0 p n R R h h    Trong đó:   12 , , , n h h h h 1 2 2 1 n i i hh       Ánh xạ tuyến tính x t nếu có sẽ duy nhất và được gọi là đạo hàm của f tại x và ta đặt là   / fx 2. Đạo hàm riêng và Gradien của hàm số: Xét hàm số f xác định trên tập mở n DR , cho xD , f được gọi là có đạo hàm riêng tại x ứng với biến thứ i (i 1, n ) nếu tồn tại giới hạn sau:     1 2 1 1 1 2 0 , x , x , , x , , x , x , , x lim i i i n n f x x f x       Ta đặt giá trị này là   i fx x   và gọi là đạo hàm riêng của f tại theo biến thứ i tại x Nếu f có các đạo hàm riêng theo các biến thứ i (i 1, n ) tại x. Một vectơ n chiều mà các thành phần của nó là các đạo hàm riêng của f tại ( 1, , ) i x i n được gọi là Gradien của f tại x và ta kí hiệu:   ,fx nghĩa là:         12 , , , n f x f x f x fx x x x           Lớp: Toán VB2- K2 Nhóm thực hiện: 1/ Ma Xuân Út, 2/ Lê Thị Diễm Kiều, 3/ Nguyễn Văn Tùng ( Hàm Khả Vi) 3. Định lý: Cho f là hàm xác định trên tập mở n DR và xD Nếu f khả vi tại x thì f liên tục tại x và tồn tại vector Gadien   fx (và nó là duy nhất), nhưng không có điều kiện ngược lại tức là f liên tục tại x thì chưa chắc khả vi tại x Nếu các đạo hàm riêng của hàm f theo các biến thứ i   1, ,in liên tục,   fx tồn tại và liên tục tại x thì f khả vi tại x 4. Sự khả vi của hàm có giá trị vectơ: Cho D là tập mở trong n R và   12 : D , f , , , p p f R f f f khi đó f khả vi tại xD nếu và chỉ nếu 12 , , , p f f f khả vi tại x 5. Đạo hàm riêng và ma trận Jacobi của hàm véc tơ: Cho D là tập mở trong n R và   12 : D , f , , , m m f R f f f , cho   12 , x , x n x x D hàm f được gọi là có đạo riêng tại x nếu các hàm thành phần 12 , f , f m f có đạo hàm riêng theo tất cả các biến   1, , i x i n tại điểm x Khi đó, đạo hàm của f tại x ký hiệu là   / fx có ma trận biểu diễn:                     1 1 1 12 2 2 2 / 12 12 n n m m m n f x f x f x x x x f x f x f x fx x x x f x f x f x x x x                               Ma trận cấp mn của   / fx được gọi là ma trận Jacobi của f tại x 6. Định lý đạo hàm của hàm hợp Cho U là tập mở trong n R , V là tập mở trong p R , cho xU   12 : , , , , p f U V f f f f   12 g : V , g , g , , g k k Rg và     g f x g f x   Giả sử f khả vi tại x , g khả vi tại   fx Khi đó gf khả vi tại x và         / // .g f x g f x f x   7. Đạo hàm bậc hai và Ma trận Hess: +Cho D là tập mở trong n R và   12 : D , f , , , p p f R f f f khả vi tại xD +Ánh xạ đạo hàm / f có các thành phần cho bởi ma trận Jacobi ở trên Ta nói ánh xạ đạo hàm / f khả vi tại xD nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính A sao cho với n hR mà x h D thì: Lớp: Toán VB2- K2 Nhóm thực hiện: 1/ Ma Xuân Út, 2/ Lê Thị Diễm Kiều, 3/ Nguyễn Văn Tùng ( Hàm Khả Vi)         // .f h x f x h A x h h      Với  xác định gần 0 n R và   0 lim 0 np n R RR h    Ánh xạ tuyến tính A nếu có sẽ duy nhất và đặt     2 A f x Gọi là đạo hàm bậc hai của f tại x Ma trận cấp nn của     2 fx được gọi là ma trận Hessian mà các thành phần thứ ,ij (hàng i , cột j ) của nó cho bởi       2 2 , ij ij fx fx xx      , 1, ,i j n 8. Định lý: Cho D là tập mở trong n R và   12 : D , f , , , p p f R f f f , f khả vi tại xD Khi đó: i) f khả vi tại x f khả vi bậc hai tại x ii) f có các đạo hàm riêng liên tục tại xf khả vi bậc hai tại x iii) 2 f liên tục tại x nếu chỉ nếu các đạo hàm riêng bậc 2 của các hàm thành phần   22 , kk i j j i ff x x x x x       , 1,i j n 9. Ghi chú:   , 1, i fx in x    được gọi là đạo hàm riêng cấp 1 của f tại x   2 , , j 1, ij fx in xx    được gọi là đạo hàm riêng cấp 2 của f tại x Tương tự, ta tính được đạo hàm riêng cấp k của f tại x (nếu tồn tại) 10. Ghi chú: i) Cho D là tập mở trong nk RR , f xác định và khả vi trên D Cho   ,x y D ta xác định được:         12 , y , y , y , y , , , n f x f x f x f x x x x x                     12 , y , y , y , y , , , k f x f x f x f x y y y x             và       ,, ,, f x y f x y f x y xy       Lớp: Toán VB2- K2 Nhóm thực hiện: 1/ Ma Xuân Út, 2/ Lê Thị Diễm Kiều, 3/ Nguyễn Văn Tùng ( Hàm Khả Vi) ii) Cho f là hàm có giá trị vectơ ,   12 , , , m f f f f , f xác định trên tập mở D trong nk RR , f khả vi tại   ,x y D ta xác định được:                   1 1 1 12 2 2 2 12 12 , y , y , y , y , y , y , y , y , y n n m m m n f x f x f x x x x f x f x f x d x x x f x f x f x x x x                                                 1 1 1 12 2 2 2 12 12 , y , y , y , y , y , y , y , y , y k k m m m k f x f x f x y y y f x f x f x d y y y f x f x f x y y y                               và     ,,f x y f x y d xy       II. ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH ĐỊNH LÝ TAYLOR’S: 1. Định lý giá trị trung bình: Cho f là một hàm khả vi được xác định trên tập mở lồi D trong n R và 12 ,x x D thì:         2 1 1 2 1 2 1 f x f x f x x x x x          với: , 0 1R     2. Định lý Taylor’s: (Hàm bậc hai) Cho f là một hàm có đạo bậc hai được xác định trên tập mở lồi D trong n R và 12 ,x x D . Khi đó:               2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 x x f x x x x x f x f x f x x x              Với ,R   01   3. Định lý hàm ẩn: Lớp: Toán VB2- K2 Nhóm thực hiện: 1/ Ma Xuân Út, 2/ Lê Thị Diễm Kiều, 3/ Nguyễn Văn Tùng ( Hàm Khả Vi) Lấy f là hàm vectơ m  chiều được xác định trên tập mở A trong   nm RR và f có đạo hàm riêng cấp 1liên tục tại   ,yxA với   x, 0fy và   ,f x y y   không suy biến. Khi đó tồn tại một quả cầu mở   ,B x y  với bán kính 0   trong mn R  , một tập mở D trong n R chứa x , và e là một hàm không gian véctơ m - chiều, có đạo hàm riêng cấp 1 liên tục trên D sao cho   ,f x y y   không suy biến     ,,x y B x y   ,   y e x và   , e 0f x x    với xD III. CÁC VÍ DỤ: 1/ Cho f : 22 ,   12 ,f f f định bởi:     22 1/3 22 1 sin y ,0 , 0 , 0 x x x y xy f x y xy                2 22 2 /3 22 2 y sin x sin y , 0 , 0 , 0 xy f x y xy xy            a) Xét sự khả vi của f tại   0, 0 . Tính   / 0, 0f b) Xét tính liên tục của đạo hàm / f tại mọi   2 ,,xy đặc biệt tại   0, 0 2/ Cho f : 22 ,   12 ,f f f định bởi:     2 22 1/3 22 1 sin y ,0 , 0 , 0 x xy x y f x y xy xy                2 2 2 1/3 22 2 1 y sinx cos , 0 , 0 , 0 yx x y xy f x y xy            a) Xét sự khả vi của ánh xạ đạo hàm / f tại   0, 0 . Tính     2 0, 0f b) Xét tính liên tục của ánh xạ đạo hàm bậc hai   2 f tại   0, 0 Lớp: Toán VB2- K2 Nhóm thực hiện: 1/ Ma Xuân Út, 2/ Lê Thị Diễm Kiều, 3/ Nguyễn Văn Tùng ( Hàm Khả Vi) Giải: Bài 1: a) Xét sự khả vi của ánh xạ đạo hàm / f tại   0, 0 Ta có:       11 1 00 , 0 0 , 0 0, 0 lim lim 1 ss f s f f s x s s              11 1 00 0, t 0, 0 0 .sin 0, 0 lim lim 0 tt ff f t y t t                        11 1 1 1 22 , 0 , 0 1 22 ,0 22 3 55 , 0 , 0 2 2 2 2 66 1 lim , lim , 0, 0 0 , 0 0, 0 1 .sin lim .sin . lim lim 0 s t s t st s t s t ff s t f s t f s t xy st st ss st st s t s t s t s t                           (vì:         22 1 22 6 55 2 2 2 2 66 . 11 00 22 st st st s t s t        theo định lý giới hạn kẹp)       22 1 22 6 5 , 0 , 0 22 6 11 lim lim 0 22 s t s t st st st        Vậy   1 ,yfx khả vi tại   0, 0        22 2 00 , 0 0, 0 0.sin 0, 0 lim lim 0 ss f s f f s x s s        Lớp: Toán VB2- K2 Nhóm thực hiện: 1/ Ma Xuân Út, 2/ Lê Thị Diễm Kiều, 3/ Nguyễn Văn Tùng ( Hàm Khả Vi)       22 2 00 0, t 0, 0 sin 0, 0 lim lim 1 tt ff f t y t t                      22 2 2 2 22 , 0 , 0 2 2 22 ,0 22 3 23 7 22 ,0 22 6 3 22 ,0 1 lim , lim , 0, 0 0, 0 0, 0 1 t .sin s lim sin sin t . sins lim , sin 3! t lim 3!. s t s t st st st ff s t f s t f s t xy st tt st st t t t tt st st t st                                               2 7 22 6 .sin s 0 st        +/ 3 22 ,0 lim 0 3!. st t st        (vì: 2 3 2 2 2 2 2 0 tt t t s t s t   theo định lý giới hạn kẹp) +/   2 7 ,0 22 6 t .sins lim 0 st st         (vì:         1 22 2 2 1 22 3 71 2 2 2 2 66 t . s 0 st st s t s t       và theo định lý giới hạn kẹp)   32 7 22 ,0 22 6 . lim 0 6 st t t s st st             Vậy   2 ,yfx khả vi tại   0, 0           11 / 22 0, 0 0, 0 10 0; 0 01 0, 0 0, 0 ff xy f ff xy               Lớp: Toán VB2- K2 Nhóm thực hiện: 1/ Ma Xuân Út, 2/ Lê Thị Diễm Kiều, 3/ Nguyễn Văn Tùng ( Hàm Khả Vi) b) Xét tính liên tục của đạo hàm / f tại mọi   2 ,,xy   14 2 2 2 2 2 1 33 1 2 1 sin .( ) sin ( ) 3 0, 0 1 f y x y x y x y x f x              14 2 2 2 2 1 33 1 2 cos .( ) sin ( ) 3 0, 0 0 f x y x y xy y x y y f y           1 f x   liên tục tại   0, 0       11 ,0 lim , 0, 0 1 xy ff xy xx               11 , 0 , 0 2 2 2 2 33 sin lim lim 0 x y x y yy x y x y    (vì:         12 2 2 2 2 33 2 22 3 1 22 3 . 0 y x y x y y xy xy                và theo định lý giới hạn kẹp)         22 44 , 0 , 0 2 2 2 2 33 2 x sin 2 x lim lim 0 33 x y x y yy x y x y    (vì:       2 2 4 4 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 22 0 333 xy x y y x y x y x y   và theo định lý giới hạn kẹp)       11 ,0 lim , 1 0, 0 1 xy ff xy xx        (vì:   2 4 22 3 2 2 0 3 3 xy xy   và theo định lý giới hạn kẹp) Do đó 1 f x   liên tục tại   0, 0 1 f y   liên tục tại   0, 0     11 , 0, 0 0 ff xy yy          1 ,0 22 3 x . cosy lim 0 xy xy    (vì:           1 22 2 1 22 6 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 cos cos cos 0 cos x y y x y x y x y y x y x y x y          và theo định lý giới hạn kẹp) Lớp: Toán VB2- K2 Nhóm thực hiện: 1/ Ma Xuân Út, 2/ Lê Thị Diễm Kiều, 3/ Nguyễn Văn Tùng ( Hàm Khả Vi)         2 44 , 0 , 0 2 2 2 2 33 2 x y . sin y 2 xy lim lim 0 33 x y x y x y x y    (vì:                 1 2 2 2 2 2 2 2 1 22 6 4 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 0 3 3 3 3 x y x y xy xy xy x y x y x y x y x y            và theo định lý giới hạn kẹp)       11 ,0 lim , 0 0, 0 0 xy ff xy yy        Do đó   1 , f xy y   liên tục tại   0, 0 Tương tự hàm   2 ,f x y :     25 2 2 2 2 2 2 2 33 2 22 25 2 2 2 2 33 2 , cos .( ) sin x 2 x ( ) 3 cos 4 1 sinx 3 ( ) ( ) f x y y x x y y x y x yx xy x y x y                3 2 25 2 2 2 2 33 2 y .sin x 4 1 , cos sin x 3 ( ) ( ) f x y y y y x y x y           22 , ; , ff x y x y xy   liên tục   22 x0y    Tại   0, 0   2 , f xy x   liên tục tại   0, 0 khi và chỉ khi:     22 , 0 , 0 lim , lim 0, 0 x y x y ff xy xx         2 2 ,0 22 3 cos / lim 0 xy yx xy    (vì:     2 1 22 3 2 22 3 cos 0 yx xy xy     và theo định lý giới hạn kẹp)         22 2 55 , 0 , 0 2 2 2 2 33 4 sin 4 x / lim lim 0 33 x y x y yy xy x y x y      (vì:     1 22 22 3 5 22 3 44 0 33 xy xy xy     và theo định lý giới hạn kẹp)       22 ,0 lim , 0 0, 0 0 xy ff xy xx        Do đó 2 f x   liên tục tại   0, 0 [...]... riêng bậc 2  f1 2 x 2 liên tục tại  0 , 0   f1 2  lim x,y 0 x 2  f1 2  x, y   x 2  0, 0  Nhóm thực hiện: 1/ Ma Xuân Út, 2/ Lê Thị Diễm Kiều, 3/ Nguyễn Văn Tùng (Hàm Khả Vi) Lớp: Toán VB2- K2  f2 2 x 2 liên tục tại  0 , 0   f2 2  lim x,y 0 x 2  f2 2  x, y   x 2  0, 0  Nhóm thực hiện: 1/ Ma Xuân Út, 2/ Lê Thị Diễm Kiều, 3/ Nguyễn Văn Tùng (Hàm Khả Vi) ... 0, t   x t 0 1  s, t    f1 x  0, 0  s  f1  f1  s, 0    f1 x  0, 0  t s t 2   f1  f  f1  f1  s, t   1  0, 0    0 , 0  s   0 , 0  t   2 x x xy  x  2 1 2 2 Nhóm thực hiện: 1/ Ma Xuân Út, 2/ Lê Thị Diễm Kiều, 3/ Nguyễn Văn Tùng (Hàm Khả Vi) Lớp: Toán VB2- K2 Nếu lim  1  s , t   0  2 yx  0, 0   lim s 0 2 y  0, 0  2 Đặt :  0, t   y  lim t... x   5  3 3 2  y 4 x 3 2  5  0 3 1 2  y 2  và theo định lý giới hạn kẹp) 3 1 liên tục tại  0 , 0  liên tục trên / f  lim  x , y  0 3 4 1 f2 Do đó 5  5  2 2  x, y  Vậy  y 2 4 R 2 Bài 2: a/ Xét sự khả vi của ánh xạ đạo hàm Ta có: f : R  R ; f   f , f  2 f / tại  0 , 0  2 1   f1  x /  f  x, y     f2   x Xét sự khả vi  f1  x, y     x, y  y  f2  f1  . Nhóm thực hiện: 1/ Ma Xuân Út, 2/ Lê Thị Diễm Kiều, 3/ Nguyễn Văn Tùng ( Hàm Khả Vi) Môn Chuyên đề: Lý thuyết tối ưu phi tuyến CHỦ ĐỀ: HÀM KHẢ VI Nhóm. nói ánh xạ đạo hàm / f khả vi tại xD nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính A sao cho với n hR mà x h D thì: Lớp: Toán VB2- K2 Nhóm thực hiện: 1/ Ma Xuân Út, 2/ Lê Thị Diễm Kiều, 3/ Nguyễn.  2 f tại   0, 0 Lớp: Toán VB2- K2 Nhóm thực hiện: 1/ Ma Xuân Út, 2/ Lê Thị Diễm Kiều, 3/ Nguyễn Văn Tùng ( Hàm Khả Vi) Giải: Bài 1: a) Xét sự khả vi của ánh xạ đạo hàm / f