Bai thi HSG (rất hay)

Đề thi học sinh giỏi huyện Môn: Toán 7 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể giao đề) Đề 1.1 A/ Phần đề chung Câu 1 (1,5điểm): a. (0,75đ) Tính tổng B = 1+5+5 2 +5 3 + +5 2008 +5 2009 b. (0,75đ) Thực hiện phép tính ++ 1 25 1 25 1 :1 5 1 625 1 Câu 2 (2điểm): a. (1đ) Tìm x, y biết : x yxyx 6 132 7 23 5 12 + = = + b. (1đ) Tìm x biết 14 1 13 1 12 1 11 1 10 1 + + + = + + + + + xxxxx Câu 3 (1,5điểm): Vẽ đồ thị hàm số: y = - x 3 2 Câu 4 (3điểm): a. (1,5đ) Hiện nay anh hơn em 8 tuổi. Tuổi của anh cách đây 5 năm và tuổi của em sau 8 năm nữa tỉ lệ với 3 và 4. Hỏi hiện nay anh bao nhiêu tuổi? Em bao nhiêu tuổi? b. (1,5đ) Cho ABC (góc A=90 0 ). Kẻ AH BC, kẻ HP AB và kéo dài để có PE = PH. Kẻ HQ AC và kéo dài để có QF = QH. a./ Chứng minh APE = APH và AQH = AQF b./ Chứng minh 3 điểm E, A, F thẳng hàng. B/ Phần đề riêng Câu 5 A (2điểm): (Dành cho học sinh chuyên toán) a. (1,5đ) Tính tổng S = 1 + 2 + 5 + 14 + + 2 13 1 + n (với n Z + ) b. (0,5đ) Cho đa thức f(x) = x 4 + 2x 3 2x 2 6x + 5 Trong các số sau: 1, -1, 5, -5 số nào là nghiệm của đa thức f(x) Câu 5 B (2điểm): (Dành cho học sinh không chuyên toán) a. (1,5đ) Tìm x Z để A có giá trị nguyên A = 2 25 x x b. (0,5đ) Chứng minh rằng: 7 6 + 7 5 7 4 chia hết cho 55 Đề thi học sinh giỏi huyện Môn: Toán 7 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể giao đề) Đề 1.2 A/ Phần đề chung Câu 1 (1,5điểm) a. (1đ) Tính tổng: M = - ( ) nn 4 4 13.9 4 9.5 4 5.1 4 + 1 b. (0,5đ) Tìm x biết: -4x(x 5) 2x(8 2x) = -3 Câu 2 (1,5điểm) a. (1đ) Tìm x, y, z biết: 216648 333 zyx == và x 2 + y 2 + z 2 = 14 b. (0,5đ) Cho x 1 + x 2 + x 3 + + x 50 + x 51 = 0 và x 1 + x 2 = x 3 + x 4 = x 5 + x 6 = = x 49 + x 50 = 1 tính x 50 Câu 3 (2điểm) a. (1đ) Trên mặt phẳng toạ độ, cho 2 điểm M(-3;2) và N(3;-2). Hãy giải thích vì sao gốc toạ độ O và hai điểm M, N là 3 điểm thẳng hàng? b. (1đ) Cho đa thức: Q(x) = x + + 243 2 2 1 2 1 2 1 2 xxxx x a./ Tìm bậc của đa thức Q(x) b./ Tính Q 2 1 c./ Chứng minh rằng Q(x) nhận giá trị nguyên với mọi số nguyên x Câu 4 (3điểm) a. (1đ) Ba tổ công nhân A, B, C phải sản xuất cùng một số sản phẩm nh nhau. Thời gian 3 tổ hoàn thành kế hoạch theo thứ tự là 14 ngày, 15 ngày và 21 ngày. Tổ A nhiều hơn tổ C là 10 ngời. Hỏi mỗi tổ có bao nhiêu công nhân? (Năng suất lao động của các công nhân là nh nhau) b. (2đ) Cho hình vuông ABCD. Trên nửa mặt phẳng chứa điểm B bờ là đờng thẳng AD vẽ tia AM (M CD) sao cho góc MAD = 20 0 . Cũng trên nửa mặt phẳng này vẽ tia AN (N BC) sao cho góc NAD = 65 0 . Từ B kẻ BH AN (H AN) và trên tia đối của tia HB lấy điểm P sao cho HB = HP chứng minh: a./ Ba điểm N, P, M thẳng hàng b./ Tính các góc của AMN B/ Phần đề riêng Câu 5 A. (2điểm) Dành cho học sinh chuyên a. (1đ) Chứng minh rằng: 222 333 + 333 222 chia hết cho 13 b. (1đ) Tìm số d của phép chia 109 345 cho 7 Câu 5 B. (2điểm) Dành cho học sinh không chuyên a. (1đ) Tìm số nguyên dơng n biết 55 555555 555 5555 22 666666 333 4444 + +++++ ++ +++ = 2 n b. (1đ) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n thì: 3 n+3 + 2 n+3 3 n+2 + 2 n+2 chia hết cho 6 Đề thi học sinh giỏi huyện Môn: Toán 7 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể giao đề) Đề 1.3 A/ Phần đề chung Câu 1 (2,5điểm): a. (1,75đ) Tính tổng: M = 3 1 1 1 761 4 5 4 417 762 139 762 417.762 139 ì ì + b. (0,75đ) Tính giá trị của đa thức sau tại x = -1 x 2 + x 4 + x 6 + x 8 + + x 100 Câu 2 (1điểm): a. (0,5đ) Cho tỉ lệ thức 4 33 = + yx yx tính giá trị của y x b. (0,5đ) Cho tỉ lệ thức d c b a = chứng minh rằng dc dc ba ba 32 32 32 32 + = + Câu 3 (2,5điểm): 2 a. (1,5đ) Cho hàm số y = - x 3 1 và hàm số y = x -4 * Vẽ đồ thị hàm số y = - 3 1 x * Chứng tỏ M(3;-1) là giao của hai đồ thị hàm số trên * Tính độ dài OM (O là gốc toạ độ) b. (1đ) Một ôtô tải và một ôtô con cùng khởi hành từ A B, vận tốc ôtô con là 40km/h, vận tốc ôtô tải là 30km/h. Khi ôtô tải đến B thì ôtô con đã đến B trớc 45 phút. Tính độ dài quãng đờng AB. Câu 4 (2điểm): Cho ABC có góc A = 90 0 , vẽ phân giác BD và CE (D AC ; E AB) chúng cắt nhau tại O. a. (0,5đ) Tính số đo góc BOC b. (1đ) Trên BC lấy điểm M và N sao cho BM = BA; CN = CA chứng minh EN// DM c. (0,5đ) Gọi I là giao của BD và AN chứng minh AIM cân. B/ Phần đề riêng Câu 5 A (2điểm): Dành cho học sinh chuyên a. (1đ) Chứng minh rằng đa thức sau không có nghiệm: P(x) = 2x 2 + 2x + 4 5 b. (1đ) Chứng minh rằng: 24 54 .54 24 .2 10 chia hết cho 72 63 Câu 5 B (2điểm): Dành cho học sinh không chuyên a. (1đ) Tìm nghiệm của đa thức 5x 2 + 10x b. (1đ) Tìm x biết: 5 (x-2)(x+3) = 1 Đề thi học sinh giỏi huyện Môn: Toán 7 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể giao đề) Đề 1.4 A/ Phần đề chung Câu 1 (1,5điểm): a. (0,75đ) Tính tổng M = 5 ) 23 4 5( 47 3 4 47 3 27 23 4 + b. (0,75đ) Cho các số a 1 , a 2 , a 3 a n mỗi số nhận giá trị là 1 hoặc -1 Biết rằng a 1 a 2 + a 2 a 3 + + a n a 1 = 0. Hỏi n có thể bằng 2002 đợc hay không? Câu 2 (2 điểm) a. (1đ) Tìm x biết x yyy 6 61 24 41 18 21 + = + = + b. (1đ) Tìm x, y, z biết 3x = 2y; 7y = 5z và x y + z = 32 Câu 3 (1,5điểm) Cho hình vẽ, đờng thẳng OA là đồ thị hàm số y = f(x) = ax (a 0) a. Tính tỉ số 4 2 o o x y b. Giả sử x 0 = 5 tính diện tích OBC y0 2 1 X0 C B A xo 1 2 3 4 5 y 3 Câu 4 (3điểm) a. (1đ) Một ôtô tải và một ôtô con cùng khởi hành từ A B, vận tốc ôtô con là 40km/h, vận tốc ôtô tải là 30km/h. Khi ôtô tải đến B thì ôtô con đã đến B trớc 45 phút. Tính độ dài quãng đờng AB. b. (2đ) Cho ABC, gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của AC và AB. Trên tia đối của tia MB lấy điểm D sao cho MD = MB, trên tia đối của tia NC lấy điểm E sao cho NE = NC. Chứng minh rằng: Ba điểm E, A, D thẳng hàng A là trung điểm của ED B/ Phần đề riêng Câu 5 A (2điểm) Dành cho học sinh chuyên a. (1đ) So sánh 8 và 5 + 1 b. (1đ) Cho hai đa thức P(x) = x 2 + 2mx + m 2 và Q(x) = x 2 + (2m+1)x + m 2 Tìm m biết P(1) = Q(-1) Câu 5 B (2điểm) Dành cho học sinh không chuyên a. (1đ) So sánh 2 300 và 3 200 b. (1đ) Tính tổng A = 1 + 2 + 2 2 + + 2 2010 Đề thi học sinh giỏi huyện Môn: Toán 7 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể giao đề) Đề 1.5 A/ Phần đề chung Câu 1 (1,5 điểm): (1đ) Tính tổng: A = 11 4 7 4 9 4 11 1 7 1 9 1 + 625 4 125 4 16,0 5 4 625 3 125 3 25 3 6,0 a. (0,5đ) Tìm các số a 1 , a 2 , a 3 , a 9 biết 1 9 7 3 8 2 9 1 93 21 == = = aa aa và a 1 + a 2 + a 3 + + a 9 = 90 Câu 2 (2 điểm) a. (1đ) Tìm x, y biết x y x yy 4 71 5 51 12 31 + = + = + b. (1đ) Chỉ ra các cặp (x;y) thoả mãn 92 22 ++ yxx = 0 Câu 3 (1,5điểm) a. (1đ) Cho hàm số y = f(x) = x + 1 với x -1 -x 1 với x < -1 * Viết biểu thức xác định f * Tìm x khi f(x) = 2 b. (0,5đ) Cho hàm số y = x 5 2 * Vẽ đồ thị hàm số * Tìm trên đồ thị điểm M có tung độ là (-2), xác định hoành độ M (giải bằng tính toán). Câu 4 (3điểm) a. (1đ) Một ôtô dự định đi từ A đến B trong một thời gian dự định với vận tốc 40km/h. Sau khi đi đợc 1/2 quãng đờng AB thì ôtô tăng vận tốc lên 50km/h trên quãng đờng còn lại. Do đó ôtô đến B sớm hơn dự định 18 phút. Tính quãng đờng AB. b. (2đ) Cho ABC vuông cân ở A, M là trung điểm của BC, điểm E nằm giữa M và C. Kẻ BH, CK vuông góc với AE (H và K thuộc đờng thẳng AE). Chứng minh rằng: * BH = AK 4 * MBH = MAK * MHK là tam giác vuông cân B/ Phần đề riêng Câu 5 A (2điểm) Dành cho học sinh chuyên a. (1đ) Tìm các số x, y, z thoả mãn đẳng thức 2 )2( x + 2 )2( +y + zyx ++ = 0 b. (1đ) Tìm x, y, z biết: x + y = x : y = 3(x y) Câu 5 B (2điểm) Dành cho học sinh không chuyên a. (1đ) Tìm x biết: 2 x + 2 x+1 + 2 x+2 + 2 x+3 = 120 b. (1đ) Rút gọn biểu thức sau một cách hợp lí: A = 343 4 7 2 7 4 2 64 )77( 1 49 1 49 1 1 2 2 + + Đáp án 1.5 I. phần đề chung Câu 1 (1,5đ: mỗi ý đúng 0,75đ) a. A = 1 b. áp dụng tính chất của dãy TSBN ta tính đợc a 1 = a 2 = = a 9 = 10 Câu 2 (2điểm: mỗi ý đúng 1đ) a. - áp dụng tính chất dãy TSBN cho tỉ số (1) và (3) đợc tỉ số (4) - Từ tỉ số (4) và tỉ số (2) 12 + 4x = 2.5x x = 2 - Từ đó tính đợc y = - 15 1 b. - Vì 02 2 + xx và 09 2 y x 2 + 2x = 0 và y 2 9 = 0 từ đó tìm các cặp (x;y) Câu 3 (1,5đ) a. (1đ) - Biểu thức xác định f(x) = 1+x - Khi f(x) = 2 1+x = 2 từ đó tìm x b. (0,5đ) - Vẽ đồ thị hàm số y = x 5 2 x 0 5 O (0;0) y 0 2 A (5;2) - Biểu diễn O(0;0); A(5;2) trên mặt phẳng toạ độ OA là đồ thị hàm số y = x 5 2 - M đồ thị y = x 5 2 -2 = x 5 2 x = -5 Câu 4 (3điểm) a. (1đ) 18 phút = )( 10 3 60 18 h= - Gọi vận tốc và thời gian dự định đi nửa quãng đờng trớc là v 1 ; t 1 , vận tốc và thời gian đã đi nửa quãng đờng sau là v 2 ; t 2 . - Cùng một quãng đờng vận tốc và thời gian là 2 đại lợng TLN do đó: V 1 t 1 = v 2 t 2 3 100 21 12 2 1 1 2 = == tt vv t v t v 5 M K H B A C E 2 3 1 = t (giờ) thời gian dự định đi cả quãng đờng AB là 3 giờ - Quãng đờng AB dài 40 . 3 = 120 (km) b. (2đ) - HAB = KCA (CH GN) BH = AK - MHB = MKA (c.g.c) MHK cân vì MH = MK (1) Có MHA = MKC (c.c.c) góc AMH = góc CMK từ đó góc HMK = 90 0 (2) Từ (1) và (2) MHK vuông cân tại M II. Phần đề riêng Câu 5 A (2đ) a. (1đ) Vì 2 )2(x 0 với x 2 )2( +y 0 với y zyx ++ 0 với x, y, z Đẳng thức xảy ra =++ =+ = 0 0)2( 0)2( 2 2 xyx y x = = = 0 2 2 z y x b. (1đ)Từ x + y = 3(x-y) = x : y 2y(2y x) = 0 mà y 0 nên 2y x = 0 x = 2y Từ đó x = 3 4 ; y = 3 2 Câu 5 B (2đ) a. (1đ) - Đặt 2 x làm TSC rút gọn - Biến đổi 120 dới dạng luỹ thừa cơ số 2 rồi tìm x b. (1đ) Biến đổi tử vào mẫu rồi rút gọn đợc A = 4 1 6 đáp án đề 1.4 I. Phần đề chung Câu 1 (1,5đ) a. (0,75đ) - Biến đổi M dới dạng một tổng - Đặt a= 23 1 ; b= 47 1 - Rút gọn rồi thay giá trị của a, b vào đợc A = 119 b. (0,75đ) Xét giá trị của mỗi tích a 1 a 2 , a 2 a 3 , a n a 1 số tích có giá trị bằng 1 bằng số tích có giá trị bằng -1 và bằng 2 n vì 2002 2 n = 2002 Câu 2 (2đ) a. (1đ) Tìm x biết x yyy 6 61 24 41 18 21 )3()2()1( + = + = + - áp dụng tính chất dãy TSBN cho tỉ số (1) và (3) đợc tỉ số (4) - Xét mối quan hệ giữa tỉ số (4) và (2) 6x = 2 . 24 = 48 x = 8 b. (1đ) - Đa về dạng f e d c b a == - áp dụng tính chất dãy TSBN tính x, y, z Câu 3 (1,5đ) a. (0,75đ) - Trên mặt phẳng toạ độ ta thấy điểm B(x 0 ;y 0 ) đồ thị hàm số y = f(x) = ax y 0 = ax 0 0 0 x y = a Mà A(2;1) a = 0 0 2 1 x y = 4 2 4 2 0 0 0 0 == x y x y b. (0,75đ) - OBC vuông tại C S OBC = BCOC. 2 1 = 0 . 2 1 yOC Với x 0 = 5 2 5 5 2 1 = OBC S = 6,25 (đvdt) Câu 4 (3đ) a. (1đ) - Đổi 45 phút = hh 4 3 60 45 = - Gọi vận tốc của ôtô tải và ôtô con là v 1 và v 2 (km/h) tơng ứng với thời gian là t 1 và t 2 (h). Ta có v 1 .t 1 = v 2 .t 2 - Vì vận tốc và thời gian là hai đại lợng TLN 1 2 2 1 t t v v = ; t 2 t 1 = 4 3 - Tính đợc t 2 = 4 3 . 4 = 3 (h) t 1 = )( 4 9 3 4 3 h= S = v 2 . t 2 = 3 . 30 = 90km b. (2đ) 7 - MAD = MCB (c.g.c) góc D = góc B AD // BC (1) - NAE = NBC (c.g.c) góc E = góc C AE // BC (2) Từ (1) và (2) E, A, D thẳng hàng - Từ chứng minh trên A là trung điểm của ED II. Phần đề riêng Câu 5 A (2đ) a. (1đ) So sánh 8 và 15 + ta có 2 < 5 2 + 6 < 5 + 6 = 5 + 5 + 1 8 < ( 2 )15 + 58 < + 1 b. (1đ) - Thay giá trị của x vào 2 đa thức - Cho 2 đa thức bằng nhau ta tính đợc m = - 4 1 Câu 5 B (2đ) a. (1đ) Ta có 2 1003300 )2(= 3 1002200 )3(= 3 200 > 2 300 b. (1đ) - Nhân hai vế của tổng với A với 2 - Lấy 2A A rút gọn đợc A = 2 12 2010 đáp án 1.3 I. Phần đề chung Câu 1 (2,5đ) a. (2đ) - Biến đổi M dới dạng một tổng rồi đặt a = 1 417 ; b = 762 1 ; c = 139 1 - Rút gọn rồi thay giá trị a, b, c vào ta tính đợc M = 762 3 b. (0,5đ) (-1) 2 + (-1) 4 + (-1) 6 + + (-1) 100 = 1 + 1 +1 + + 1 = 50 A B N M 8 C E D Câu 2 (1đ) a. (0,5đ) áp dụng tính chất của tỉ lệ thức bcad d c b a == 9 7 = y x b. (0,5đ) Từ dc dc ba ba dc ba dc ba d b c a d b c a d c b a 32 32 32 32 32 32 32 32 3 3 2 2 + = + = + + ==== Câu 3 (2,5đ) a. (1,5đ) * Vẽ đồ thị hàm số y = - 3 1 x * Từ 2 hàm số trên ta đợc phơng trình hoành độ - 3 1 x = x -4 - Thay điểm M(3; -1) vào phơng trình hoành độ ta đợc - 3 1 . 3 = 3 4 = -1 M(3; -1) là giao của 2 đồ thị hàm số trên. * Trên mặt phẳng toạ độ ta thấy OMP vuông tại P 22222 31 +=+= PMOPOM 1091 =+=OM (đvđd) b. (1đ) - Đổi 45 phút = hh 4 3 60 45 = - Gọi vận tốc của ôtô tải và ôtô con là v 1 và v 2 (km/h) tơng ứng với thời gian là t 1 và t 2 (h). Ta có v 1 .t 1 = v 2 .t 2 - Vì vận tốc và thời gian là hai đại lợng TLN 1 2 2 1 t t v v = ; t 2 t 1 = 4 3 - Tính đợc t 2 = 4 3 . 4 = 3 (h) T 1 = )( 4 9 3 4 3 h= S = v 2 . t 2 = 3 . 30 = 90km Câu 4 (2đ) a. (0,5đ) Có góc B + góc C = 90 0 góc OBC + góc BCO = 0 0 45 2 90 = (BD, CE là phân giác) góc BOC = 180 0 45 0 = 135 0 9 b. (1đ) ABD = MBD (c.g.c) góc A = góc M = 90 0 DM BC (1) ECN = ECA (c.g.c) góc A = góc N = 90 0 EN BC (2) Từ (1) và (2) EN // DM c. (0,5đ) IBA = IBM (c.g.c) IA = IM thay IAM cân tại I II. Phần đề riêng Câu 5 A (2đ) a. (1đ) P(x) = (x+1) 2 + x 2 + 4 1 4 1 với x vậy P(x) không có nghiệm b. (1đ) 24 54 . 54 24 . 2 10 = (2 3 .3) 54 . (2.3 3 ) 24 . 2 10 = 2 196 . 3 126 72 63 = (2 3 . 3 2 ) 63 = 2 189 . 3 126 Từ đó suy ra 24 54 . 54 24 . 2 10 72 63 Câu 5 B (2đ) a. (1đ) Cho 5x 2 + 10x = 0 5x(x + 10) = 0 =+ = 010 05 x x = = 10 0 x x Nghiệm của đa thức là x = 0 hoặc x = -10 b. (1đ) 5 (x-2)(x+3) = 1 = 5 0 (x-2)(x+3) = 0 = = =+ = 3 2 03 02 x x x x Vậy x = 2 hoặc x = -3 đáp án 1.2 I. Phần đề chung Câu 1 (1,5đ) a. (1đ)- Đa dấu ra ngoài dấu ngoặc - Tách một phân số thành hiệu 2 phân số rồi rút gọn đợc A = 1 1 n b. (0,5đ) Biến đổi rồi rút gọn ta đợc x = - 4 3 Câu 2 (1,5đ) O I E A D C M N B 10 . Đề thi học sinh giỏi huyện Môn: Toán 7 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể giao đề) Đề 1.1 A/ Phần. giá trị nguyên A = 2 25 x x b. (0,5đ) Chứng minh rằng: 7 6 + 7 5 7 4 chia hết cho 55 Đề thi học sinh giỏi huyện Môn: Toán 7 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể giao đề) Đề 1.2 A/ Phần. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n thì: 3 n+3 + 2 n+3 3 n+2 + 2 n+2 chia hết cho 6 Đề thi học sinh giỏi huyện Môn: Toán 7 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể giao đề) Đề 1.3 A/ Phần