Đề thi học sinh giỏi trên máy tính lớp 9, năm học 2009-2010
Đề thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính Casio Năm học 2009-2010 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- đề số 1 (Thời gian: 150 phút Không kể thời gian phát đề) --------------------------------------------------------------- C ác q uy định : - Thí sinh có thể sử dụng bất kỳ một trong các loại máy tính sau: CASIO f(x)-500A, f(x)-500MS và f(x)- 570MS. - Các kết quả tính toán gần đúng, nếu không có chỉ định cụ thể, đợc ngầm định là chính xác đến 9 chữ số thập phân. Bài 1 (5 điểm) : Thực hin phép tính và cho kt qu di dng phõn s: 4 1 3 1 3 1 3 1 7B, 3 5 2 4 2 5 2 4 2 5 3A + + + += + + + + += Bi 2 (5 điểm) : Thc hin phép tớnh: 526,2077,0:31,2. 20 1 :039,0 2 1 2 += C ì ì+= 4 3 4 3 2 219:38,0 5 2 3 2 1 7:06,0 6 1 18D Bài 3 (5 điểm) : Biết : b a 1 1 1 1 17 15 + + = , trong đó a và b là các số dơng. Hãy tính a và b? Bài 4 (5 điểm) : on thng AB = 44dm c chia thnh cỏc on thng liờn tip AM, MN, NP, PB ln lt t l vi 10; 2; 3 v 5. Tính độ dài các đoạn thẳng đó? Bi 5 (5 điểm) : Tớnh cỏc cnh ca mt hỡnh ch nht. Bit rng ng vuụng gúc k t mt nh n ng chộo chia ng chộo ú thnh 2 on cú di l 9cm v 16cm. Bài 6 (5 điểm) : Cho dãy số .3,2,1,0, 32 )32()32( = + = nu nn n -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Giáo viên: Lê Lơng Hạnh Tổ KHTN - Tr ờng THCS Văn Hoá Đề thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính Casio Năm học 2009-2010 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- a) Tính 8 số hạng đầu tiên của dãy. u 1 = u 2 = u 3 = u 4 = u 5 = u 6 = u 7 = u 8 = b) Lập một công thức truy hồi để tính u n+2 theo u n và u n+1 . c) Lập một quy trình bấm phím liên tục để tính u n . Bài 7 (5 điểm) : Cho P (x) = 3x 3 +17x - 625 a) Tính P ( ) 22 b) Tính a để P (x) + a chia hết cho x+3. Bài 8 (5 Điểm) : Cho đa thức f(x) bậc 4 với hệ số bậc cao nhất của x là 1 và thoả mãn: f(1) = 10, f(2) = 20; f(3) = 30 . Tính 15 10 )8()12( + + ff . Bài 9 (5 điểm) : 1) Một ngời hàng tháng gửi vào ngân hàng số tiền là 100 USD với lãi suất là: 0,35%/ tháng. Hỏi sau 12 tháng ngời ấy nhận đợc bao nhiêu tiền cả gốc lẫn lãi? 2) Một ngời muốn rằng sau một năm phải có 20 000 USD. Hỏi phải gửi vào ngân hàng một khoản tiền (nh nhau) hàng tháng là bao nhiêu, biết rằng lãi suất tiết kiệm là 0,27%/ tháng. Nếu tính ra tiền việt thì mỗi tháng ngời đó phải gửi bao nhiêu tiền. (Biết rằng 100 USD = 1 489 500 đồng). Bài 10 (5 điểm) : Cho tam giỏc ABC cú din tớch S = 27 (vdt) ng dng vi tam giỏc ABC cú din tớch S = 136,6875 (vdt), AB v AB l hai cnh tng ng. Tớnh t s ''BA AB . -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Giáo viên: Lê Lơng Hạnh Tổ KHTN - Tr ờng THCS Văn Hoá Đề thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính Casio Năm học 2009-2010 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Đáp án và h ớng dẫn chấm đề số 1 Bài 1 (5 điểm) : 1) Tính: 5 a b/c 3 + 2 = ữ ữ 4 = + 2 = ữ ữ 5 = + 2 = ữ ữ 4 + 2 = ữ ữ 5 = + 3 = ( 382 233 4 ) SHIFT d/c 382 1782 2)Tính: 1 a b/c 4 + 3 = ữ ữ 1 = + 3 = ữ ữ 1 = + 3 = ữ ữ 1 + 7 = ( 142 43 7 ) SHIFT d/c 142 1037 Bài 2 (5 điểm) : C = 0; D = 2.663157895 Bài 3 (5 điểm) : Ta có a = 7, b = 2 Vì: 2 1 7 1 1 1 2 15 1 1 1 15 2 1 1 15 17 1 17 15 + + = + = + == Bài 4 (5 điểm) : Ta cú 20 44 25321053210 == +++ +++ ==== ABPBNPMNAMPBNPMNAM 10 20 44 ì= AM ; 2 20 44 ì= MN ; 3 20 44 ì= NP ; 5 20 44 ì= PB Vậy AM = 22dm, MN = 4.4dm, NP = 6.6, PB = 11. Bài 5 (5 điểm) : t AB = a, AD = b (a, b > 0) a 2 + b 2 = (9 + 16) 2 = 625 (1) Li cú: a 2 = AH 2 + 9 2 b 2 = AH 2 + 16 2 a 2 - b 2 = 175 (2) T (1) v (2) = =+ 175 625 22 22 ab ab Gii h ny (bng mỏy) vi a, b > 0. Ta đợc a = 15, b = 20. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Giáo viên: Lê Lơng Hạnh Tổ KHTN - Tr ờng THCS Văn Hoá 9 12 A D B C H 16 Đề thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính Casio Năm học 2009-2010 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Vậy độ dài các cạnh của hình chử nhật là 15cm và 20cm. Bài 6 (5 điểm) a) b) Đặt u n+2 =A u n+1 + B u n + C 15 = 4A + B + C Ta có hệ phơng trình : 56 = 15A + 4B + C 209 = 56A + 15B + C Giải hệ trên (bằng máy), ta có A = 4; B = -1; C = 0 Vậy ta có công thức truy hồi : u n+2 =4 u n+1 - u n , với u 1 = 1, u 2 = 4, n =1; 2; 3 . Quy trình tính : 1 Shift sto A 4 Shift sto B alpha C alpha = 4 alpha B - alpha A alpha : alpha A alpha = alpha B alpha : alpha B alpha = alpha C . lặp lại dãy phím = = = Bài 7 (5 điểm) : Quy trình: 3 Alpha X ^3+17 Alpha X - 625 ấn phím CALC , máy hỏi X= ? ấn 22 = (Kết quả : - 509,0344879) Để P(x) + a chia hết cho x + 3 thì a = - P (3) Tinh P (3) : ấn tiếp phím CALC , máy hỏi X=? ấn: 3 = (Kết quả: - 493) Suy ra: a = 493 Bài 8 (5 điểm) : Đặt g(x) = f(x) 10x g(1) =g(2) = g(3) = 0 (*) . Do bậc của f(x) là 4 nên bậc của g(x) là 4 và từ (*) g(x) chia hết cho x - 1; x - 2; x - 3 g(x) = (x - 1)( x - 2)(x - 3)(x - x 0 ). f(x) = g(x) + 10x -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Giáo viên: Lê Lơng Hạnh Tổ KHTN - Tr ờng THCS Văn Hoá u 1 =1 u 2 =4 u 3 =15 u 4 =56 u 5 =209 u 6 =780 u 7 =2911 u 8 =10864 Đề thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính Casio Năm học 2009-2010 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 15 10 )8()12( + + ff = 199915198415 10 )8.(10)8(12.10)12( =+=+ +++ gg Bài 9 (5 điểm) : 1) Giả sử ngời đó gửi a đồng vào ngân hàng từ đầu tháng 1 với lãi suất là m%. Cuối tháng 1 số tiền của ngời ấy sẽ là: T 1 = a + am = a(1 + m) Đầu tháng 1 số tiền của ngời ấy sẽ là: a + a(1 + m) = a(m + 2) = [ ] 1)1( 2 + m m a Cuối tháng 2 số tiền của ngời ấy sẽ là: T 2 = [ ] 1)1( 2 + m m a +m [ ] 1)1( 2 + m m a = [ ] 1)1( 2 + m m a (m +1) Tơng tự, cuối tháng thứ n số tiền cả gốc lẫn lãi là: T n = [ ] 1)1( + n m m a (m +1) áp dụng với n=12, a=100, m=0,35%. Ta có quy trình tính: 100 ữ 0.0035 Min x [ ( [ ( 1 + MR ) ] SHIFT x y 12 -1 ) ] x [ ( MR +1 ) ] = (Kết quả: 1227.563434) 2) Giả sử ngời đó gửi vào ngân háng mổi tháng là a USD . Từ công thức T n = [ ] 1)1( + n m m a (m+1) a= ( ) )1](11[ 1 mm mT n ++ ì áp dụng với T=20000; m = 0,27%, n = 12 0.27 ữ 100 = Min x 20000 = ữ [( 1 + MR )] ữ [( [( 1 + MR )] SHIFT x y 12 1 )] = (Kết quả: 1637.639629) Đổi ra tiền Việt: x 1489500 ữ 100 = (Kết quả: 24 392 642.28) Bài 10 (5 điểm) : Theo tính chất đồng dạng của tam giác ta có: 6875,136 27 '''''' 2 == = S S BA AB BA AB S S ấn mỏy: 27 ữ 136,6875 = (Kt qu : 0.4444) SIHFT 1/x (Kt qu: 2,25) Đổi ra phõn s: 225 ab/c 100 = 2 1 4 SIHFT d/c (Kt qu 9 4 ) 9 4 ''4 9'' == BA AB AB BA -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Giáo viên: Lê Lơng Hạnh Tổ KHTN - Tr ờng THCS Văn Hoá Đề thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính Casio Năm học 2009-2010 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- đề số 2 (Thời gian: 150 phút Không kể thời gian phát đề) --------------------------------------------------------------- C ác q uy định : - Thí sinh có thể sử dụng bất kỳ một trong các loại máy tính sau: CASIO f(x)-500A, f(x)-500MS và f(x)- 570MS. - Các kết quả tính toán gần đúng, nếu không có chỉ định cụ thể, đợc ngầm định là chính xác đến 9 chữ số thập phân. Bi 1 (5 Điểm) : Tớnh kt qu ca biu thc M, bit 7,5% ca nú bng: 8 7 1: 20 3 5 2 217 3 1 110 17 6 55 7 8 ì Bài 2 (5 điểm) : Tìm giá trị của x, y trong các phơng trình sau: 1) 2 1 2 1 3 1 4 4 1 3 1 2 1 1 4 + + + = + + + + xx 2) 6 1 4 1 2 5 1 3 1 1 + + + + + yy =1 Bài 3 (5 điểm) : Tính và làm tròn đến 4 chữ số thập phân: 8363,1 5 1323 245 = + ++ = xkhi x xxxx C Bài 4 (5 điểm) : Tam giác ABC vuông tại A và có các cạnh AB =3dm, AC = 4dm. Một đờng thẳng đi qua trọng tâm của tam giác đó và cắt các cạnh AB, AC tại các điểm tơng ứng D và E. Tính diện tích tam giác ADE nếu AE=3dm. Bài 5 (5 điểm) : Cho đa thức f(x) bậc 2003 và f(k) = 1 )( 2 + = k k kf với k =1; 2; 3; 4; . ; 2004. Hãy tính f(2005). Bài 6 (5 điểm) : Cho dãy số:u 1 =1, u 2 = 0 , u n+2 = u n+1 - u n (n =1 ; 2 ; 3 ; 4 ; .) a) Hãy lập một quy trình bấm phím liên tục để tính giá trị của : u n+2 b) Sử dụng quy trình trên, tính giá trị của u 2 , u 3 , u 4 , u 5 , u 6 , u 7 . c) Tìm quy luật của dãy trên, từ đó tìm u 100 . Bài 7 (5 điểm) : Nêu một phơng pháp kết hợp trên máy và giấy để tìm số d của phép chia: 2345678901234 cho 4567. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Giáo viên: Lê Lơng Hạnh Tổ KHTN - Tr ờng THCS Văn Hoá Đề thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính Casio Năm học 2009-2010 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bài 8 (5 điểm) : 1) Hiện nay dân số của quốc gia B là a ngời; Tỉ lệ tăng dân số mỗi năm là m%. Hãy xây dựng công thức tính số dân của quốc gia B đến hết năm thứ n. 2) Dân số nớc ta tính đến năm 2001 là 76,3 triệu ngời. Hỏi đến năm 2010 dân số nớc ta là bao nhiêu nếu tỷ lệ tăng dân số trung bình mỗi năm là 1,2%. 3) Đến năm 2020 dân số nớc ta có khoảng 100 triệu ngời. Hỏi tỉ lệ tăng dân số trung bình mỗi năm là bao nhiêu. Bài 9 (5 điểm) : Tìm thơng và d trong phép chia x 7 - 2x 5 - 3x 4 +x-1 cho x-5. Bài 10 (5 điểm) : a) Điền dấu (<) hoặc (>) vào ô trống 1) 3333 9 .321 ++++ 10 3 2) 4444 9 .321 ++++ 10 3 3) 5555 9 .321 ++++ 10 5 4) 6666 9 .321 ++++ 10 6 5) 7777 9 .321 ++++ 10 37 6) 8888 9 .321 ++++ 10 8 7) 9999 9 .321 ++++ 10 9 8) 10101010 9 .321 ++++ 10 10 b) Số nào lớn hơn nnnn 9 .321 ++++ hay 10 n Đáp án và h ớng dẫn chấm đề số 2 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Giáo viên: Lê Lơng Hạnh Tổ KHTN - Tr ờng THCS Văn Hoá Đề thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính Casio Năm học 2009-2010 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Câu 1 (5 điểm) : M= 200 Câu 2 (5 điểm) : 1) Đặt 2 1 2 1 3 1 4 1 ; 4 1 3 1 2 1 1 1 + + + = + + + BA Ta có : 4 + Ax = Bx. Suy ra: x = AB 4 Tính trên máy: 1 a b/c 4 + 3 = ữ ữ 1 = + 2 = ữ ữ 1 = + 1 = ữ ữ 1 = Min ( 43 30 = A ) 1 a b/c 2 + 2 = ữ ữ 1 = + 3 = ữ ữ 1 = + 4 = ữ ữ 1= ( ) 73 17 = B - MR ữ ữ 4 = (x = 1459 12556 1459 884 8 = ) 2) Đáp số: y = 29 24 Câu 3 (5 điểm) : Quy trình ấn phím: 3 x 1.8363 MIN SHIFT x y 5 - 2 x MR SHIFT x y 4 + 3 x MR SHIFT x y 3 MR +1 = (Kết quả: 7.462147481) Câu 4 (5 điểm) : Gi G l trng tõm ca tam giỏc ABC, AM l ng trung tuyn ca tam giỏc. T B v C ln lt h BK v CF xung ng thng AM (BK, CF song song vi DE): Xột ABK cú DG//BK )1( AG AK AD AB = ACF cú EG//CF )2( AG AF AE AC = T (1) v (2) AG MFGMKMGM AG GFGKAG AG AFAK AE AC AD AB ++ += ++ = + =+ 2 2 3 2 2 =+= AG GM ( vỡ - BKM= CMF MK = MF ) -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Giáo viên: Lê Lơng Hạnh Tổ KHTN - Tr ờng THCS Văn Hoá A E D G K B M C F Đề thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính Casio Năm học 2009-2010 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- =+ AE AC AD AB 3 3 3 43 =+ AD AD = ) 3 4 3( 3 S( ADE) = ) 3 4 3(2 3 .3. 2 1 = AEAD Đáp số: 2.7 dm 2 Câu 5 (5 điểm) : Xét đa thức g(x) = (x + 1)f(x) - x 2 . Khi đó: Bậc của đa thức g(x) là 2004 và g(x) = 0 ứng với k = 1; 2; 3; ; 2004. nên: g(x) =a(x - 1)(x - 2) .(x - 2004). Từ g(-1) = -1 -1 = a(-2)(-3) (-2005) a = !2005 1 Do đó g(x)= !2005 )2004) .(2)(1( xxx Vậy: 2006.2005 20051 12005 2005)2005( )2005( 32 + = + + = g f Bài 6 ( 5 điểm) : ấn phím 0 MIN + 1 = Lặp lại dãy phím: Shift MX ì 1 + / + MR = ta đợc dãy tuần hoàn: 1; 0; -1; -1; 0; 1; 1; 0 . với chu kỳ (1; 0; -1; -1; 0; 1) Vậy u 100 = -1 Bài 7 ( 5 điểm) : Tìm số d của phép chia 2345678901234 cho 4567. Ta tìm số d của phép chia 234567890 cho 4567 đợc kết quả: 2203 Tiếp tục tìm số d của phép chia 22031234 cho 4567 đợc kết quả cuối cùng là 26. Bài 8 ( 5 điểm) 1) Gọi A i là số dân sau năm thứ i. Sau 1, năm dân số của quốc gia B là: A 1 = a + ma = a(1 + m) Sau 2, năm dân số của quốc gia B là : A 2 = a(1 + m) + m . a(1 + m) = a(1 + m) 2 Tơng tự sau n năm, dân số sẽ là: A n = a . (1 + m) n-1 + m . a . (1 + m) n-1 = a . (1 + m) n (1) 2) Dân số nớc ta : áp dụng với n = 9, a = 76,3 triệu, m = 1,2%. Ta có quy trình bấm phím: 76,3 x [( 1 + 1,2 ữ 100 )] shift x y 9 = (Kết quả: 84,94721606 triệu ngời). -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Giáo viên: Lê Lơng Hạnh Tổ KHTN - Tr ờng THCS Văn Hoá Đề thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính Casio Năm học 2009-2010 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3) Từ công thức (1) suy ra m = 1 n n a A (2) áp dụng: A n =100, n = 19, a = 76,3. Ta có quy trình tính sau: 100 : 76,3 = shift x 1/y 19 = x 1000 = (Kết quả: 1,433852166) Làm tròn ta có: m = 1,4%. Bài 9 ( 5 điểm ): Ta có c = -5, a 0 = 1, a 1 = 0, a 2 = -2, a 3 = -3, a 4 = 0, a 5 = 0, a 6 = 1, a 7 = -1, b 0 = a 0 = 1. áp dụng lợc đồ Horner tìm các hệ số của đa thức thơng và số d: ấn phím: 5 +/- Min 1 x MR + 0 = (-5)Ghi: -5 x MR + 2 +/- = (23) Ghi: 23 x MR + 3 +/- = (-118) Ghi: -118 x MR + 0 = (590) Ghi: 590 x MR + 0 = (-2950) Ghi: -2950 x MR + 1 = (14751) Ghi: 14751 x MR + 1 +/- = (-73756) Ghi: -73756 Vậy: x 7 - 2x 5 3x 4 + x - 1 = (x + 5)( x 6 - 5x 5 + 23x 4 - 118x 3 + 590x 2 - 2950x + 14751) - 73756 Bài 10 ( 5 điểm) : a) 1) 3333 9 .321 ++++ > 10 3 2) 4444 9 .321 ++++ > 10 3 3) 5555 9 .321 ++++ > 10 5 4) 6666 9 .321 ++++ < 10 6 5) 7777 9 .321 ++++ < 10 7 6) 8888 9 .321 ++++ < 10 8 7) 9999 9 .321 ++++ < 10 9 8) 10101010 9 .321 ++++ < 10 10 b) Đặt A n = nnnn 9 .321 ++++ Xét n > 6. Từ 0 < a < 1 => a n < a m với n > m. Xét 1 10 9 . 10 2 10 1 10 9 . 10 2 10 1 10 666 < ++ + < ++ + = nnn n n A Do đó: A n < 10 n với mọi n > 6. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Giáo viên: Lê Lơng Hạnh Tổ KHTN - Tr ờng THCS Văn Hoá . của đa thức g(x) là 2004 và g(x) = 0 ứng với k = 1; 2; 3; ; 2004. nên: g(x) =a(x - 1 )( x - 2) .(x - 2004). Từ g( -1) = -1 -1 = a(-2 )(- 3) (- 2005) a. (Kết quả: - 493) Suy ra: a = 493 Bài 8 (5 điểm) : Đặt g(x) = f(x) 10x g (1 ) =g(2) = g(3) = 0 (* ) . Do bậc của f(x) là 4 nên bậc của g(x)