Bộ đề thi, bài tập toán tuổi thơ lớp 8 cực hay, đã có đáp án. Tôi đã sưu tập được bộ đề thi + đáp án của các trường, huyện, các tỉnh qua các năm học nhằm chia sẻ với quý thầy cô. Bộ đề+ đáp án này dành cho giáo viên ôn tập cho học sinh, cũng như học sinh tự ôn tập để nâng cao và chuẩn bị cho kỳ thi toán tuổi thơ cấp huyện, tỉnh. Bạn có thể liên hệ mình qua gmail: vandungldcgmail.com để được chia sẻ miễn phí
phòng gd-đt đức thọ đề thi olympic toán 8 năm học 2012-2013 Đề thi chính thức Thời gian làm bài 120 phút Câu 1: Cho biểu thức = + ữ + + 2 2 2 2 2 2 4xy 1 1 A : y x y x y 2xy x a) Tìm điều kiện x, y để giá trị của A đợc xác định b) Rút gọn A c) Nếu x, y là các số thực thỏa mãn + + = 2 2 3x y 2x 2y 1 , hãy tìm các giá trị nguyên đơng của A ? Lời giải : a) ĐKXĐ của A là: + + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 y x 0 y x y 2xy x 0 y 0 1 1 0 y x y 2xy x b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + = = = + + + 2 2 2 2 2 y x y x 4xy 2y 4xy A : . 2x 2xy y x y x y x 2y y x y x c) ĐK cần: Từ điều kiện ( ) + + = + + + + + = 2 2 2 2 2 3x y 2x 2y 1 2x 2xy x 2xy y 2 x y 1 2 ( ) ( ) ( ) + + + + = + + + = 2 2 2 2 2x 2xy x y 2 x y 1 2 2x 2xy x y 1 2 ( ) + = + 2 2 2x 2xy 2 x y 1 2 . Do đó 0 < A 2 nên giá trị A cần tìm là { } A 1;2 ĐK đủ: Với A = 1 ( ) 2 x y 1 1 + = Xét x y 1 1 x y + = = (loại vì x y) Xét x y 1 1 x y 2 + = = thay vào + + = 2 2 3x y 2x 2y 1 đợc ( ) ( ) 2 2 3 y 2 y 2 y 2 2y 1 + + = ( ) 2 2 2 3 2 y 2y 3 2 2 4y 12y 7 0 4y 12y 9 2 2y 3 2 2y 3 2 3 2 y 2 + = = + = + = = = = 3 2 2 1 y x 2 2 + = = ; 3 2 2 1 y x 2 2 = = Với A = 2 ( ) 2 x y 1 0 x y 1 0 x y 1 + = + = = thay vào + + = 2 2 3x y 2x 2y 1 đợc ( ) ( ) 2 2 3 y 1 y 2 y 1 2y 1 + + = ( ) 2 y 0 (loại) 1 4y 6y 0 2y 2y 3 0 x 3 2 y 2 = = = = = Vậy A = 1 khi ( ) 2 1 3 2 2 1 3 2 x;y ; ; ; 2 2 2 2 + ữ ữ ữ ữ A = 2 khi ( ) 3 1 x;y ; 2 2 ữ Câu 2: a) Giải phơng trình sau + = + 2 2 2 2 x 17 x 15 x 13 x 11 2008 2010 2012 2014 b) Tìm các số x, y, z biết + + = + + 2 2 2 x y z xy yz zx và + + = 2012 2012 2012 2013 x y z 3 Lời giải : a) Phơng trình tơng đơng + = + 2 2 2 2 x 17 x 15 x 13 x 11 1 1 1 1 2008 2010 2012 2014 ( ) + = + + = ữ 2 2 2 2 2 x 2025 x 2025 x 2025 x 2025 1 1 1 1 x 2025 0 2008 2010 2012 2014 2008 2010 2012 2014 Vì > 1 1 2008 2012 và > 1 1 2010 2014 nên + > 1 1 1 1 0 2008 2010 2012 2014 Do đó ta có = = 2 x 2025 0 x 45 . Tập nghiệm của phơng trình là: { } = S 45;45 b) Từ giả thiết + + = + + + + = 2 2 2 2 2 2 x y z xy yz zx 2x 2y 2z 2xy 2yz 2zx 0 ( ) ( ) ( ) + + = = = = = = 2 2 2 x y y z z x 0 x y y z z x 0 x y z Do đó 2012 2012 2012 2013 2012 2013 x y z 3 3x 3 x 3+ + = = = . Vậy x = y = z = 3; x = y = z = -3 Câu 3: a) Cho phơng trình = + 4x 1 m 3 x 1 , với m là tham số. Tìm m để phơng trình có nghiệm dơng b) Chứng minh rằng nếu + + a b c 3 thì + + + + 3 3 3 4 4 4 a b c a b c Lời giải : a) ĐKXĐ: x 1. Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) = + = + = + + 4x 1 m 3 4x 1 x 1 m 3 4x 1 x m 3 m 3 x 1 ( ) ( ) ( ) = + + = +4x 1 x m 3 m 3 x m 1 m 2 Nếu m = 1 thì 0 = 3 nên phơng trình vô nghiệm Nếu m 1 thì + = m 2 x m 1 . Để phơng trình có nghiệm dơng thì +) ( ) ( ) + + > + + > + > ữ + > + > 2 2 2 m 2 1 m 1 9 1 9 m 1 m m 2 0 m m 0 m m 2 m 1 0 4 4 2 4 m 2 0 m 1 + > 1 3 m 2 2 m < -2; m > 1. Vậy giá trị m cần tìm là m < -2; m > 1 b) Ta dễ dàng chứng minh đợc + + 4 4 3 3 a b a b ab . Thật vậy ( ) ( ) ( ) ( ) + + 4 4 3 3 3 3 3 3 a b a b ab a a b b a b 0 a b a b 0 ( ) ( ) ( ) + + + + ữ 2 2 2 2 2 2 b 3b a b a ab b 0 a b a 0 2 4 đúng với mọi a, b Chứng minh tơng tự ta cũng có + + 4 4 3 3 b c b c bc và + + 4 4 3 3 c a c a ca Do đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + + + + + + + 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 a b c a b b c c a a b c ( ) ( ) ( ) + + + + + + + + = + + + + + + + + 3 3 3 3 3 3 4 4 4 3 3 3 a b ab b c bc c a ca a b c a a b c b a b c c a b c ( ) ( ) + + + + 3 3 3 a b c a b c . Mặt khác ( ) ( ) + + + + + + 4 4 4 a b c 3 a b c a b c Do đó ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + + + + + 4 4 4 3 3 3 a b c a b c a b c a b c + + + + 3 3 3 4 4 4 a b c a b c Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 Câu 4: Cho đoạn thẳng AB, gọi O là trung điểm của AB. Vẽ về một phía của AB các tia Ax, By vuông góc với AB. Lấy điểm C trên tia Ax, điểm D trên tia By sao cho ã = 0 COD 90 a) Chứng minh rằng ACO BOD và OCD BOD b) Kẻ OI CD (I CD), gọi K là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng IK // AC c) Gọi E là giao điểm của OD với IK. Chứng minh rằng IE = BD Lời giải : a) Xét ACO và BOD có A B O K I C y D x E ã ã ã ã ã = = = 0 CAO OBD 90 (gt) AOC BDO (cùng phụ BOD) ACO BOD (g g) = = = CO AO CO OD CO OD OD BD AO BD OB BD (Vì AO = OB) Xét OCD và BOD có ã ã = = = 0 CO OD OB BD COD OBD 90 (gt) OCD BOD (c g c) b) Ta có ACO BOD ã ã =ACO BOD OCD BOD ã ã =DCO BOD . Do đó ã ã =ACO DCO Xét CAO ( ã = 0 CAO 90 ) và CIO ( ả = 0 CIO 90 ) có: ã ã = ACO DCO CO chung CAO = CIO (Cạnh huyền góc nhọn) CA = CI. Chứng minh tơng tự ta cũng có DBO = DIO (Cạnh huyền góc nhọn) DB = DI Mặt khác CA AB (gt) DB AB (gt) CA // DB = = DK DB DI AK CA CI (Hệ quả của định lí TaLets) Từ đó ta có = DK DI AK CI suy ra IK // AC (Định lí đảo định lí TaLes) c) Theo câu b) ta có IK // AC mà AC // BD nên IK // BD ả ã =IED BDE (so le) Mặt khác DBO = DIO (Cạnh huyền góc nhọn) ã ả =BDE IDE . Do đó ả ả =IED IDE IED cân tại I IE = ID mà ID = BD (Theo câu b). Vậy IE = BD Câu 5: Cho + = + + + + + + + + + + + 2 n 2013 2 3 n 1 2014 2 2 2 2 2 2 2 2 2 S 2013 1 2013 1 2013 1 2013 1 2013 1 So sánh S với 1 1006 Lời giải : Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) + = = = + + + 2 2 x y 1 x y 1 x x 2x x x 2x y 1 y 1 y 1 y 1 y 1 y 1 y 1 y 1 Lần lợt thay x bởi 2; 2 2 ; 2 3 ; ; 2 2014 và y bởi 2013; 2013 2 ; 2 2 2013 ; ; 2013 2 2013 đợc = + + + = 2 2013 2014 2 2 3 2014 2015 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 S 2013 1 2013 1 2013 1 2013 1 2013 1 2013 1 = < 2014 2015 2 1 2 1 1006 1006 2013 1 . Vậy < 1 S 1006 Lời giải: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn . x 11 1 1 1 1 20 08 2010 2012 2014 ( ) + = + + = ữ 2 2 2 2 2 x 2 025 x 2 025 x 2 025 x 2 025 1 1 1 1 x 2 025 0 20 08 2010 2012 2014 20 08 2010 2012 2014 Vì > 1 1 20 08 2012 và > 1. phòng gd-đt đức thọ đề thi olympic toán 8 năm học 2012-2013 Đề thi chính thức Thời gian làm bài 120 phút Câu 1: Cho biểu thức = + ữ . 1 2010 2014 nên + > 1 1 1 1 0 20 08 2010 2012 2014 Do đó ta có = = 2 x 2 025 0 x 45 . Tập nghiệm của phơng trình là: { } = S 45;45 b) Từ giả thi t + + = + + + + = 2 2 2 2 2 2 x