KT 1 tiết - Hình học không gian - HH11 (10-11)

KIỂM TRA 1 TIẾT HÌNH HỌC – 11C2 Thời gian làm bài: 60 phút Câu 1 (3,0 điểm): Tứ diện ABCD có ( )AB BCD^ , BCDD vuông cân tại C, 2AB BD a= = a) Chứng minh rằng tam giác ACD là tam giác vuông. (1,0 điểm) b) Tính góc giữa đường thẳng AD và mặt phẳng ( )ABC . (1,0 điểm) c) Chứng minh rằng có một điểm cách đều các đỉnh của tứ diện ABCD. (0,5 điểm) Câu 2 (7,0 điểm): Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, tất cả các cạnh đều bằng a. a) Chứng minh rằng, SA SC SB SD+ = + uur uuur uur uuur (1,0 điểm) b) Chứng minh rằng, ( )SO ABCD^ và SC BD^ (2,0 điểm) c) Tính góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng ( )ABCD (1,0 điểm) d) Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm các cạnh SD,AD,CD. Chứng minh ( )NP SACP (1,0 điểm) e) Tính góc giữa SD và mặt phẳng ( )MNP (1,5 điểm) BÀI GIẢI CHI TIẾT Câu 1 (3,0 điểm): Tứ diện ABCD có ( )AB BCD^ , BCDD vuông cân tại C, 2AB BD a= = a) Chứng minh rằng tam giác ACD là tam giác vuông. (1,0 điểm) b) Tính góc giữa đường thẳng AD và mặt phẳng ( )ABC . (1,0 điểm) c) Chứng minh rằng có một điểm cách đều các đỉnh của tứ diện ABCD. (0,5 điểm) a) Ta có, ( ) ( ) ( ) AB BCD CD AB ABC CD BCD ì ï ^ ï Þ ^ Ì í ï Ì ï î Ngoài ra ta còn có ( )CD AC ABC AB AC A ì ï ^ Ì ï í ï Ç = ï î nên ( )CD ABC^ Vậy, ( )CD AC ABC^ Ì hay tam giác ACD vuông tại C. b) Theo câu a, ( )CD ABC^ nên hình chiếu vuông góc của AD lên ( )ABC là AC do đó góc giữa AD và ( )ABC là · 1 CADj = Tam giác BCD vuông cân tại C có 2 2 2 2 2 2 2CD BC CD BD a= + = = nên CD a= Tam giác ABC vuông tại B có 2 2 3AC AB BC a= + = Tam giác ACD vuông tại C nên · · 0 1 tan 30 3 3 CD a CAD CAD AC a = = = Þ = Vậy, góc giữa AD và ( )ABC là · 0 1 30CADj = = c) Ta có, ABD và ACD là hai tam giác vuông có chung cạnh huyền AD nên nếu gọi I là trung điểm của cạnh AD thì 1 2 IC ID AD IA ID= = = = . Vậy, trung điểm của cạnh AD cách đều các đỉnh của tứ diện ABCD. Câu 2 (7,0 điểm): Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, tất cả các cạnh đều bằng a. a) Chứng minh rằng, SA SC SB SD+ = + uur uuur uur uuur (1,0 điểm) b) Chứng minh rằng, ( )SO ABCD^ và SC BD^ (2,0 điểm) c) Tính góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng ( )ABCD (1,0 điểm) d) Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm các cạnh SD,AD,CD. Chứng minh ( )NP SACP (1) (1,0 điểm) e) Tính góc giữa SD và mặt phẳng ( )MNP (1,5 điểm) Bài giải chi tiết a) SA SC SB SD SA SB SD SC BA CD+ = + Û - = - Û = uur uuur uur uuur uur uur uuur uuur uuur uuur (ABCD là hình vuông nên đẳng thức cuối đúng do đó ta có đpcm) b 1 ) SACD và SBDD đều cân tại S, có chung trung tuyến SO nên ( ) ( ) SO AC ABCD SO BD ABCD ì ï ^ Ì ï í ï ^ Ì ï î Ngoài ra, AC BD OÇ = nên ta có ( )SO ABCD^ b 2 ) AC và BD là hai đường chéo của hình vuông nên AC BD^ , do đó ( ) ( ) ( ) BD SO SAC BD AC SAC BD SAC BD SC SO AC O ì ï ^ Ì ï ï ï ^ Ì Þ ^ Þ ^ í ï ï Ç = ï ï î (vì ( )SC SACÌ ) c) Ta có ( )SO ABCD^ nên hình chiếu vuông góc của SD lên ( )ABCD là OD, do đó góc giữa SD và ( )ABCD là · 2 SDOj = Trong tam giác SBD cân tại S có 2 2 2 2 2BD a SB SD= = + do đó nó vuông cân tại S. Vậy, góc giữa SD và ( )ABCD là · 0 2 45SDOj = = d) Ta có 1 2 ND PD AD CD = = nên theo định lý Thalès đảo ta có ( )NP AC SACÌP Ngoài ra, ( )NP SACÌ/ nên ( )NP SACP e) Gọi I NP OD= Ç , hoàn toàn tương tự câu d ta sẽ chứng minh được ( )MN SACP . Khi đó, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) SAC MN MNP SAC NP MNP MNP SAC MN NP N ì ï Ì ï ï ï Ì Þ í ï ï Ç = ï ï î P P P Mà theo câu b 2 ( )OD SAC^ nên ( )OD MNP^ , từ đó hình chiếu vuông góc của SD lên ( )MNP là MI. Cuối cùng, góc giữa SD và ( )MNP là · 0 0 3 2 90 45IMDj j= = - = . TRA 1 TIẾT HÌNH HỌC – 11 C2 Thời gian làm bài: 60 phút Câu 1 (3,0 điểm): Tứ diện ABCD có ( )AB BCD^ , BCDD vuông cân tại C, 2AB BD a= = a) Chứng minh rằng tam giác ACD là tam giác vuông. (1, 0. SD,AD,CD. Chứng minh ( )NP SACP (1) (1, 0 điểm) e) Tính góc giữa SD và mặt phẳng ( )MNP (1, 5 điểm) Bài giải chi tiết a) SA SC SB SD SA SB SD SC BA CD+ = + Û - = - Û = uur uuur uur uuur uur uur. trung điểm các cạnh SD,AD,CD. Chứng minh ( )NP SACP (1, 0 điểm) e) Tính góc giữa SD và mặt phẳng ( )MNP (1, 5 điểm) BÀI GIẢI CHI TIẾT Câu 1 (3,0 điểm): Tứ diện ABCD có ( )AB BCD^ , BCDD vuông