b Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A và giá trị tơng ứng của x.. Cho tam giác ABC có CM là trung tuyến.. Qua điểm D bất kỳ thuộc cạnh AB D khác A, B vẽ đờng thẳng xy song song với CM,
Trang 1đề thi olympic tháng
Môn: Toán 8
Thời gian : 90 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (2 điểm).
Cho các biểu thức
5 4
1 2 2
2 +
−
+ +
=
x x
x x
3 5
10 8 2 2 3
2
−
−
−
+
−
=
x x x
x x B
a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức B
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A và giá trị tơng ứng của x
c) Tìm giá trị của x để A.B < 0
Câu 2: (2 điểm).
Giải các phơng trình sau:
a) x8 −2x4 +x2 −2x+2=0
b)
5
6 40 13
3 15
8
2 6
5
1
2 2
+
−
+ +
−
+ +
x
Câu 3: (1,5 điểm).
Tìm x, y biết
a) 2x2 +y2 +6=4(x−y)
b) (2x−5)3 +27(x−1)3+(8−5x)3 =0
Câu 4: (1,5 điểm).
Cho hai số a, b thoả mãn 2a+b = 6
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P= a.b
Câu 5: (2 điểm)
Cho tam giác ABC có CM là trung tuyến Qua điểm D bất kỳ thuộc cạnh AB (D khác A, B) vẽ
đờng thẳng xy song song với CM, xy cắt các đờng thẳng BC và AC lần lợt tại E và F CMR nếu DA.DB
= DE.DF thì tam giác ADF là tam giác cân và tam giác ABC là tam giác vuông
Câu 6: (1 điểm).
Cho tam giác ABC vuông tại A, G là trọng tâm, BM là đờng phân giác của tam giác ABC Cho
AC
BM ⊥ Chứng minh rằng BM vuông góc với trung tuyến AD
-Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Trang 2Đáp án đề thi olympic
Môn: Toán 8
Câu 1
a) B xác định
−
≠
≠
⇔
≠ +
−
⇔
≠
−
−
−
⇔
1 3
0 ) 1 )(
3 (
0 3 5 2
2 3
x x
x x
x x x
0,5đ
b) Biến đổi
1 ) 2 (
) 1 ( 2
2 +
−
+
=
x
x
Lại có
0 ) 1 (
0 1 1 ) 2 ( 2
2
∀
≥ +
∀
≥ +
−
x x
x
Từ (1) và (2) suy ra A≥0⇒MinA=0⇔x=−1
0,25đ
0,25đ 0,25đ c) Biến đổi
3
2
−
=
x B
A với x≠3;x≠−1
Suy ra
−
≠
⇔
−
≠
≠
−
⇔
−
≠
≠−
⇔
1
3 1
; 3
0 3 1
; 3
0 3
2 0
x
x x
x
x x
x
x B
0,25đ
0,5đ
Câu 2
a) phơng trình đã cho (x−1)2[(x+1)2(x2 +1)2 +1]=0 (1)
do (x+1)2(x2 +1)2 +1≥1 0∀xnên từ (1)suy ra x=1
Vậy nghiệm của pt đã cho là x=1
0,5đ 0,5đ b) Phơng trình đã cho
∈
=
∉
=
⇔
=
−
−
⇔
−
=
−
−
⇔
−
=
−
−
⇔
−
=
−
−
−
⇔
−
=
−
−
+
−
−
+
−
−
⇔
TXD x
TXD x
x x x
x x
x
x x
x x x
x x
x
7 3
0 ) 7 )(
3 ( 5 ) 2 )(
8 ( 5
1 ) 2 )(
8 (
1
5
6 2
1 8 1
5
6 ) 8 )(
5 (
3 )
5 )(
3 (
2 )
3 )(
2 (
1
Vậy nghiệm của pt là x=7
0,25đ
0,5đ 0,25đ
Câu 3 a) Biến đổi pt về dạng
−
=
=
⇔
= + +
−
2
1 0
) 2 ( ) 1 (
y
x y
b) Sử dụng bài toán phụ a+b+c=0⇔a3 +b3 +c3 =3abc 0,5đ
Trang 3Pt đã cho
=
=
=
⇔
=
−
−
−
⇔
5 8 1 2 5 0
) 5 8 )(
3 3 )(
5 2 ( 3
x x
x x
x x
Vậy tập nghiệm của pt là
=
5
8
; 1
; 2
5
S
0,5đ
Câu 4
Từ 2a+b=6⇒b=6−2a thay vào biểu thức P ta có
3
; 2
3 2
9
2
9 ) 2
3 ( 2 2
9 ) 2 6 (
=
=
⇔
=
⇒
≤
−
−
=
−
=
=
b a MaxP
a a
a b a P
0,25đ 0,75đ 0,5đ
Câu 5
áp dụng hệ quả định lý Ta-Lét vào AMC∆
Ta có
MC
DF AM
AD
= (1)
Tơng tự với BDE∆ có
MC
DE MB
DB = (2)
MC
DF DE MB AM
DB AD
=
⇒ Lại có AM=MB; AD.DB=DE.DF (gt)
MC MB
⇒
Khi đó từ (1) có AD=DF⇒∆ADF cân
và ABC∆ có trung tuyến CM = AB⇒∆ABC
2
1
vuông tại C (Đpcm)
h.vẽ 0,25đ (1):0,25đ (2):0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ
Câu 6
Gọi I là giao điểm của BM và AD
H là trung điểm của AC
Ta có HD //AB và HD AB
2
1
=
ADH
∆ có GM//DH nên ta có
MC AM MC
AM
AC AH AM
AD
AG AH AM
=
⇒ +
=
=
=
⇒
=
=
2
2 3
3 2
áp dụng t/c đờng phân giác của tam giác vào ABC∆ có
ABD BD
BC AB
AM
MC AB
2
1
Suy ra phân giác BI đồng thời là đờng cao⇒BM ⊥ AD (đpcm)
h.vẽ:0,25đ 0,25đ
0,25đ 0,25đ
đề thi olympic tháng
Trang 4Môn: Toán 8 (ngoài đội tuyển)
Thời gian : 90 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (2 điểm).
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x2 +x−6
b) x−1+x n+ 3 −x n
Câu 2: (1,5 điểm).
Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức sau với x+y=2005
xy y
y x
x
xy y
y x
x
P
2 ) 6 ( ) 6 (
) 3 ( 2 ) 5 ( ) 5 (
+ + + +
− + + + +
=
Câu 3: (3 điểm).
Giải các phơng trình sau:
) 16 4 ( 3
32 6
12
4 8
4
8
1
2
2
=
−
+
−
− +
+
x
x x
x x
x
b) x3 +12=3x2 +4x
Câu 4: (2 điểm).
a) Tìm giá trị nguyên của x để A biết rằng B A=10x2 −7x−5 và B=2x−3
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
5
1 4
2 +
+
=
x
x M
Câu 5: (1,5 điểm)
Cho tứ giác ABCD, đờng thẳng qua A song song với BC cắt BD tại P, đờng thẳng qua B song song với AD cắt AC tại Q Chứng minh rằng PQ song song với CD
-Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Đáp án đề thi olympic tháng
Trang 5Môn: Toán 8 (ngoài đội tuyển)
b)
) 1 )(
1 (
) 1 )(
1 ( ) 1 (
) 1 ( ) 1 (
1 2
2 3
+ + +
−
=
+ +
− +
−
=
− +
−
=
+
n n n
x x x x
x x x x x
x x
0,25đ 0,5đ
Câu 2
Biến đổi
) 0 6 (
; 1
) 6 )(
(
) 1 )(
6 (
) 6 )(
(
6 ) ( ) ( 6 ) (
) ( 6 ) (
6 ) ( 5 ) ( 2 2 2
≠ + + +
− +
=
+ + +
− + + +
=
+ + +
− +
− + + +
=
+ + +
− + + +
=
y x y x
y x P
y x y x
y x y x P
y x y x
y x y x y
x P
y x y
x
y x y
x P
Thay x+y=2005 ta có
2005
2004
=
P
0,25đ
0,25đ
0,25đ 0,25đ 0,5đ
Câu 3
a) ĐKXĐ
2
1
±
≠
x
Biến đổi pt về dạng
TXD x
x
x x x x x
∈
−
=
⇔
−
=
⇔
= +
+ +
− +
26 3
3 26
0 32 ) 2 1 ( 8 ) 2 1 )(
8 1 (
Vậy nghiệm của pt là
26
3
−
=
x
0,25đ 0,5đ
0,25đ
b) pt đã cho
=
−
=
=
⇔
=
− +
−
⇔
=
−
−
−
⇔
3 2 2
0 ) 3 )(
2 )(
2 (
0 ) 3 ( 4 ) 3 ( 2
x x x
x x x
x x
x
Vậy tập nghiệm của pt là S ={2;−2;3}
0,25đ 0,25đ
0,5đ
Câu 4
a) xét
3 2
7 4 5
− + +
=
x
x B A
Để A thì B 72x−3⇒2x−3∈{±1;±7}⇒x∈{−2;1;2;5}
0,5đ 0,5đ b) Biến đổi
Trang 6
2 1
1 5
) 2 ( 1
5
) 4 4 ( 5
2 2 2
2 2
=
⇔
=
⇒
≤
⇒ +
−
−
=
+
+
−
− +
=
x MaxM
M x
x M
x
x x x
0,75đ
Câu 5
áp dụng hệ quả định lý Ta-Lét vào
+ AOD∆ có
OD
OB OA
OQ = (1)
+ BOC∆ có
OB
OP OC
OA = (2) Nhân vế với vế của (1) và (2) ta đợc
OD
OP OC
OQ = ⇒ //CD (hệ quả định lý Ta-Lét)
(đpcm)
h.vẽ 0,25đ 0,25đ
0,25đ
0,75đ