sử dụng điểm sống giải toán

Vận dụng ñiểm “sống” trên ñường ñể giải toán Giáo viên Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 1 I. CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG Bài 1: Tìm toạ ñộ hình chiếu của ñiểm ( ) 3;9 M = lên ñường thẳng ( ) : 2 5 10 0 d x y − + = Nhận xét: Phương pháp thường áp dụng: - Bài toán này ta viết ñường thẳng (D) ñi qua ñiểm M và vuông góc với (d) - Gọi M’ là giao ñiểm của (D) và (d) Giải bài toán này theo quan ñiểm chọn ñiểm “sống” trên (d) Gọi ( ) ( ) ' 5 ;2 2 M m m d = + ∈ ñây là ñiểm “Sống” trên (d) (Các em có thể ñặt câu hỏi tại sao toạ ñộ ñiểm M’ như vậy có ñúng không ? Vì tôi chọn như vậy ñể toạ ñộ ñiểm M’ không có phân số khi thực hiện chắc dể hơn: Có thể em ñể ý một tí sẻ thấy ñược cách chọn nhé hoặc có thể gọi trực tiếp 5 10 ' ; 2 m M m −   =     ( ) ' 5 3;2 7 MM m m = − − uuuuur VTPT của ñường thẳng (d): ( ) ( ) 2; 5 d n = − uuur suy ra VTCP của (D) là ( ) 5;2 a = r M’ là hình chiếu của ñiểm M ( ) ( ) ( ) ' 5. 5 3 2 2 7 0 29 29 0 1 d MM a m m m m ⇔ ⊥ ⇔ − + − = ⇔ − = ⇔ = uuuuur uuur Suy ra toạ ñộ ñiểm M’ cần tìm là: ( ) ' 5; 4 M = Bài 2: Tìm toạ ñộ ñiểm M’ ñối xứng với ñiểm ( ) 3;9 M = qua ñường thẳng (d) ( ) : 2 5 10 0 d x y − + = Nhận xét: Cần tìm toạ ñộ 1 A là hình chiếu vuông góc của ñiểm M lên (d) (giống bài toán 1). ñiểm M’ ñối xứng với ñiểm M qua (d) suy ra 1 A là trung ñiểm của MM’. Hướng dẫn giải: Gọi ( ) ( ) 1 5 ;2 2 A m m d = + ∈ tương tự bài toán 1 ta có ( ) 1 5;4 A = ðiểm M’ ñối xứng với ñiểm M qua (d) thì 1 A là trung ñiểm của MM’ suy ra toạ ñộ ñiểm M ( ) 1 1 ' ' ' ' 2 10 3 7 ' 7; 1 2 8 9 1 M A M M M A M M x x x x M y y y y = −  = − =   ⇔ ⇒ = −   = − = − = −    Lời bình: Nếu bài toán này giải theo cách viết phương trình ñường thẳng (D) qua ñiểm M và vuông góc với (d); tìm toạ ñộ ñiểm A 1 là giao ñiểm của (d) và (D). Cuối cùng áp dụng công thức toạ ñộ trung ñiểm suy ra ñiểm M’. Nếu ta làm theo ñiểm sống trên (d) có vẻ như nhẹ nhàn hơn. Vận dụng ñiểm “sống” trên ñường ñể giải toán Giáo viên Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 2 Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ ñộ (Oxy) Cho hai ñường thẳng (d 1 ); (d 2 ) lần lượt có phương trình : ( ) ( ) 1 2 : 5 0; : 2 7 0 d x y d x y + + = + − = và ñiểm ( ) 2;3 A = . Tìm toạ ñộ ñiểm B, C lần lượt trên (d 1 ); (d 2 ) sao cho tam giác ABC có trọng tâm ( ) 2;0 G = Hướng dẫn giải: Gọi ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 ; 5 ; 7 2 '; ' B t t d C t t d = − − ∈ = − ∈ ðiểm G là trọng tâm tam giác ABC nên 3 ' 3 1 3 ' 2 ' 1 A B C G A B C G x x x x t t t y y y y t t t + + = − = − = −    ⇔ ⇔    + + = − = − =    Vậy ( ) ( ) 1;4 , 5;1 B C = − = Lời bình: Nếu bài toán này không sử dụng ñiểm “sống” trên ñường thẳng thì giải quyết rất khó khăn Bài 4: Cho ( ) ( ) 1 2 : 3 2 4 0; : 2 1 0 x y x y ∆ + − = ∆ + + = và ñiểm ( ) 2;1 M = . Viết phương trình ñường thẳng (d) ñi qua ñiểm M và cắt ( ) ( ) 1 2 ; ∆ ∆ lần lượt tại A, B sao cho M là trung ñiểm của AB. Hướng dẫn giải: ðiểm ( ) ( ) 1 ; 1 A A t t ∈ ∆ ⇒ = + , ñiểm ( ) ( ) 2 '; 2 ' 1 B B t t ∈ ∆ ⇒ = − − ( ) 2;1 M = là trung ñiểm của AB nên 10 2 ' 4 3 2 2 ' 2 2 ' 3 A B M A B M t x x x t t y y y t t t  =  + = + =    ⇔ ⇔    + = − =    =   Suy ra 10 13 2 7 8 20 ; . ; ; 3 3 3 3 3 3 A B AB       = = − ⇒ = − −             uuur (d) ñi qua A và nhận AB uuur làm VTCP có phương trình là 2 1 5 2 8 0 2 5 x y x y − − = ⇔ − − = Lời bình: Lời giải trên rất hiệu quả và ngắn gọn , có thể giải cách viết ñường thẳng có hệ số góc k và ñi qua ñiểm M, nhưng phải xét trường hợp ñường thẳng 2 0 x − = có thoả ñề bài yêu cầu hay không? (Qua ñây muốn nhắc nhở các bạn học sinh một kiến thức nhỏ hay bỏ qua: ñường thẳng có hệ số góc k là ñường thẳng có dạng: y kx b = + ; ñặt biệt ñường thẳng 0 x m − = không có hệ số góc; cho nên viết phương trình ñường thẳng ñi qua một ñiểm mà các em gọi hệ số k có khi bị thiếu trường hợp ñấy) Vận dụng ñiểm “sống” trên ñường ñể giải toán Giáo viên Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 3 H M A C B Bài tập nhỏ: Cho hai ñường thẳng ( ) ( ) 1 2 : 2 0; : 2 0 d x y d x y − + = + − = và ñiểm ( ) 1;2 M = . Viết phương trình ñường thẳng (D) ñi qua ñiểm M và cắt 2 ñường thẳng ( ) ( ) 1 2 ; d d lần lượt tại 2 ñiểm A, B sao cho MA MB = . Bài 5: Cho ( ) ( ) 1 2 : 2 5 0; : 3 0 x y x y ∆ − + = ∆ + − = và ñiểm ( ) 2;0 M = − . Viết phương trình ñường thẳng (d) ñi qua ñiểm M và cắt ( ) ( ) 1 2 ; ∆ ∆ lần lượt tại A, B sao cho 2 MA MB = uuur uuur . Hướng dẫn giải: ðiểm ( ) ( ) 1 ;2 5 A A t t ∈ ∆ ⇒ = + , ñiểm ( ) ( ) 2 ';3 ' B B t t ∈ ∆ ⇒ = − Suy ra: ( ) ( ) 2; 2 5 , ' 2;3 ' MA t t MB t t = + + = + − uuur uuur ( ) ( ) ( ) 1 2 2 ' 2 2 3;7 1 ' 2 5 2 3 ' 2 t t t MA MB MA t t t =  + = +   = ⇔ ⇔ ⇒ =   = − + = −     uuur uuur uuur ðường thẳng (d) ñi qua M và nhận MA uuur làm VTCP có phương trình 7 3 14 0 x y − + = Lời bình: Cách giải trên rất cơ bản và hiệu quả. Nếu chọn cách khác thì sẽ rất phức tạp. Bài 6: Cho tam giác ABC có ñỉnh ( ) 2; 7 A = − , phương trình một ñường cao và một trung tuyến vẽ từ hai ñỉnh khác nhau lần lượt là 3 11 0, 2 7 0 x y x y + + = + + = . Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC Hướng dẫn giải: Nhận xét: do ( ) 2; 7 A = − có toạ ñộ không thoả mãn phương trình một trong hai ñường thẳng ñã cho nên các ñường cao và trung tuyến không ñi qua ( ) 2; 7 A = − . ðặt ( ) ( ) : 3 11 0 & : 2 7 0 BH x y CM x y + + = + + = Ta có ( ) ( ) ; 3 11 . B BH B t t ∈ ⇒ = − − Gọi M là trung ñiểm của AB khi ñó toạ ñộ ñiểm M là 2 2 3 18 2 2 ; 3 18 2 2 2 2 A B M A B M x x t x t t M y y t y + +  = =  + − −    ⇒ =    + − −    = =   ( ) ( ) 2 3 18 2 7 0 4 4;1 2 2 t t M CM t B + − −   ∈ ⇒ + + = ⇔ = − ⇒ = −     Phương trình ñường thẳng chứa cạnh AB là 4 3 13 0 x y + + = Vận dụng ñiểm “sống” trên ñường ñể giải toán Giáo viên Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 4 I K M A C B D ( ) ( ) : 3 11 0 AC BH x y ⊥ + + = và (AC) ñi qua ñiểm ( ) 2; 7 A = − nên phương trình cạnh (AC) là 3 23 0 x y − − = ðiểm ( ) ( ) C AC CM = ∩ suy ra toạ ñộ C thoả mãn hệ ( ) 3 33 0 5; 6 2 7 0 x y C x y − − =  ⇒ = −  + + =  Phương trình cạnh BC là: 7 9 19 0 x y + + = Lới bình: Bài toán này có nhiều cách tiếp cận. Nhưng cách giải này có vẻ ñơn giản hơn cách khác; Các bạn nghĩ thế nào? Bài 7: Cho tam giác ABC có ñỉnh ( ) 1;2 A = , phương trình một ñường trung tuyến (BM) 2 1 0 x y + + = và phân giác trong (CD): 1 0 x y + − = . Viết phương trình ñường thẳng BC. Hướng dẫn giải: ðiểm ( ) ( ) D ;1 C C C t t ∈ ⇒ = − . Suy ra trung ñiểm M của AC là 1 3 ; 2 2 t t M + −   =     ðiểm ( ) ( ) 1 3 2 1 0 7 7;8 2 2 t t M BM t C + −   ∈ ⇒ + + = ⇔ = − ⇒ = −     Từ ñiểm ( ) 1;2 A = kẻ AK CD ⊥ tại ñiểm I (ñiểm ( ) K BC ∈ ) Suy ra pt(AK): 1 0 x y − + = Toạ ñộ của I thoả hệ ( ) 1 0 0;1 1 0 x y I x y + − =  ⇒ =  − + =  . Tam giác ACK cân tại C nên I là trung ñiểm AK suy ra toạ ñộ ( ) 1;0 K = − . ðường thẳng BC ñi qua 2 ñiểm C, K có phương trình 4 3 4 0 x y + + = Lời bình: Nếu 2 ñường của một tam giác và 1 ñỉnh không nằm trên 2 ñường cho trước thì em có thể giải quyết ñược không? Em thử giải một bài toán sau ñể có thể khái quát lên trường hợp vừa nêu trên. Cho tam giác ABC biết ( ) 2; 1 A = − , phương trình hai ñường phân giác trong của góc B, C lần lượt là: ( ) ( ) : 2 1 0; : 3 0 B C d x y d x y − + = + + = . Viết phương trình ñường thẳng BC. (Rất mong các bạn học sinh tóm tắt ñược bài toán trong tam giác này nhé. Nếu có khó khăn trong quá trình làm thì có thể trao ñổi với quý thầy cô của trường ñể ñược hướng dẫn; ñây là kiến thức rất quang trọng) Vận dụng ñiểm “sống” trên ñường ñể giải toán Giáo viên Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 5 Bài 8: Cho tam giác ABC có diện tích 8 ABC S = , hai ñỉnh ( ) ( ) 5; 5 , 7; 3 A B = − = − và trọng tâm G của tam giác ABC nằm trên ñường thẳng ( ) : 3 18 0 d x y − − = . Tìm toạ ñộ ñiểm C của tam giác ABC Hướng dẫn giải: Gọi toạ ñộ ñiểm C là ( ) 0 0 ; C x y = . Khi ñó toạ ñộ trọng tâm G của tam giác ABC là 0 0 12 8 ; 3 3 x y G + −   =     . Mặt khác vì G nằm trên ñường thẳng ( ) : 3 18 0 d x y − − = nên ta có 0 0 0 0 12 8 3 48 0 3 10 3 3 x y y x + − − − = ⇒ = − Phương trình cạnh (AB): 10 0 x y − − = Khoảng cách từ ñiểm C ñến (AB) là ( ) 0 0 0 0 0 3 10 10 10 2 1 1 1 1 x x x y h x + − − + − = = = + + 2 2 AB = Diện tích tam giác ABC là 0 0 0 1 1 . 8 .2 2 2 4 4 2 2 S AB h x x x = = ⇔ ⇔ = ⇔ = ± . Vậy có 2 ñiểm thoả ycñb: ( ) ( ) 3; 19 , 3; 1 C C = − − = − Lời bình: Cách giải trên rất hiệu quả và ngắn gọn. Có thể bạn ñọc sẻ tìm cách khác ñể so sánh Bài 9: Lập phương trình ñường (D) ñi qua ñiểm ( ) 2;1 M = và tạo với (d) 2 3 4 0 x y + + = một góc 45 0 . Hướng dẫn giải: Cách 1: Thông thường: (D) ñi qua ñiểm ( ) 2;1 M = có phương trình dạng: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 0 0 2 0 a x b y a b ax by a b − + − = + ≠ ⇔ + + − − = và có VTPT là ( ) 1 ; n a b = uur ðường thẳng (d) có VTPT là ( ) 2 2;3 n = uur . ðể (D) hợp với (d) một góc 45 0 thì 1 2 0 2 2 2 2 1 2 . 5 2 3 2 cos 45 5 24 5 0 5 2 13 n n a b a b b ab a a b n n a b = +  = ⇔ = ⇔ + − = ⇔  = −  + uur uur uur uur Suy ra có hai ñường thẳng cần tìm là ( ) ( ) 1 2 : 5 11 0 : 5 3 0 D x y D x y + − =   − + =   Vận dụng ñiểm “sống” trên ñường ñể giải toán Giáo viên Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 6 (d) (D) M N Cách 2: Gọi ( ) ( ) 3 2;2 N d N t t ∈ ⇒ = − − (Tìm hiểu cách gọi toạ ñộ như vậy? biết tại sao không?) ( ) 3 4;2 1 MN t t = − − − uuuur ; VTCP của (d): ( ) 3; 2 a = − uuur ðể (D) hợp với (d) một góc 45 0 thì ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 2 2 2 . 13 10 2 cos 45 2 13 10 13 13 20 17 2 13 3 4 2 1 MN a t t t t MN a t t − − = ⇔ = ⇔ + = + + + + − uuuur uur uuuur uur ( ) 2 2 2 169 260 100 169 260 221 t t t t⇔ + + = + + 2 1 29 2 ; 13 13 13 169 260 21 0 21 37 42 ; 13 13 13 t N t t t N    = ⇒ = −       ⇔ + − = ⇔    = − ⇒ = −       KL có 2 ñường thẳng cần tìm là ( ) ( ) 1 2 : 5 11 0 : 5 3 0 D x y D x y + − =   − + =   Lời bình: Cách 2 có lẽ nhìn qua thấy số rất xấu các bạn ạ nhưng nó chỉ có 1 ẩn t thôi: Tuỳ bạn lựa chọn nhé. Hy vọng cách giải này tạo cho các bạn có suy nghỉ cho những bài toán khác liên quan ñến góc nhé. Bài 10: Lập phương trình ñường thẳng (D) ñi qua ñiểm 1 3 ; 2 2 A   =     và tạo với Ox 1 góc 60 0 . Hướng dẫn giải: Cách 1: ( ) 1 3 ;0 ; 2 2 M ox M m AM m   ∈ ⇒ = ⇒ = − −     uuuur ; VTCP của Ox là ( ) 1;0 i = uur ðể (D) hợp với Ox một góc 60 0 thì ( ) ( ) 2 0 2 2 1 . 2 1 1 1 2 cos60 1 2 4 4 1 3 2 4 m AM i m m m AM i m − − = ⇔ = ⇔ = − +   − +     uuuur uur uuuur uur Vận dụng ñiểm “sống” trên ñường ñể giải toán Giáo viên Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 7 (d1) (d2) G B A C 2 2 2 0 4 4 1 1 3 3 0 1 m m m m m m m m =  ⇔ − + = − + ⇔ − = ⇔  =  KL: có 2 ñường thẳng cần tìm 3 y x = ; 3 3 y x= − + Cách 2: Thực hiện như cách 1 bài 9 (So sánh cách 1 và cách 2 các em nhé) Lời bình: Bạn nghĩ gì khi thực hiện cách này so với các cách khác? Suy nghĩ thêm ñể tìm cách giải tốt nhất. Bài tập nhỏ áp dụng: Cho hai ñường thẳng ( ) ( ) : 2 3 0; : 2 1 0. d x y D x y + − = − + = Lập phương trình ñường thẳng (d’) ñi qua giao ñiểm của (d) và (D) ñồng thời tạo với ( ) : 1 0 y ∆ − = một góc 45 0 . Hướng dẫn nhỏ cho các bạn ñây: “ Theo bạn ñường thẳng cần tìm chỉ cần ñi qua giao ñiểm của (d) và (D) và song song hoặc trùng với ñường thẳng y x = hoặc y x = − có ñúng không? Tự giải thích ñể có kết quả nhé. Thử giải bài toán này theo bài toán số 10 thử xem) Các bạn ñọc nên suy nghĩ logic cho bài toán này vì ñường thẳng tạo với trục Ox một góc 45 0 là ñường thẳng ñó song song với y x = ± ñấy. Nhớ kết quả này không bao giờ thừa vì có một sô ñề thi gần ñây cũng có ra như vậy. Bài 11: Cho ñường thẳng (d): 3 7 0 x y + − = và ñiểm ( ) 1; 4 A = − . Tìm trên (d) những ñiểm mà khoảng cách từ mỗi ñiểm ñó ñến ñiểm A bằng 8. Hướng dẫn giải: Gọi ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ;7 3 1 11 3 8 M d M m m AM m m ∈ ⇒ = − ⇒ = − + − = 2 1 10 68 58 0 29 5 m m m m =   ⇔ − + = ⇔  =  KL: có 2 ñiểm thoả yêu cầu ñề bài: ( ) 1 29 52 1;4 , ; 5 5 M M   = = −     Lời bình: Bài này các bạn ñồng ý với tôi là cách giải rất ñơn giản ñúng không? Bài 12: Cho tam giác ABC, biết ( ) 1;3 A = và hai trung Vận dụng ñiểm “sống” trên ñường ñể giải toán Giáo viên Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 8 (d1) (d2) A' G B A C tuyến có phương trình ( ) ( ) 1 2 : 2 1 0; : 1 0 d x y d y − + = − = . Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC Hướng dẫn giải: Dễ thấy ñiểm A không nằm trên hai ñường thẳng ( ) ( ) 1 2 , d d nên hai trung tuyến kẻ từ B và C. ðặt ( ) 1 : 2 1 0 d x y − + = là trung tuyến kẻ từ B và trung tuyến kẻ từ C là ( ) 2 : 1 0 d y − = Cách 1: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1; ; ,1 B d B a a C d C b ∈ ⇒ = − ∈ ⇒ = Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra toạ ñộ G là nghiệm hệ phương trình ( ) 2 1 0 1 1;1 1 0 1 x y x G y y − + = =   ⇔ ⇒ =   − = =   G là trọng tâm tam giác ABC 3 2 1 3 1 2 3 1 3 1 3 3 1 5 A B C G A B C G x x x x a b a b a y y y y a a b + + = − + = − + = = −     ⇒ ⇔ ⇔ ⇔     + + = + = − = − =     Vậy ( ) ( ) 3; 1 , 5;1 B C= − − = - Phương trình các cạnh tam giác (CB): 4 1 0 x y − − = ; (AC) 2 7 0 x y + − = ; (AB): 2 0 x y − + = Cách 2: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra ( ) 1;1 G = Gọi A’ ñối xứng với ñiểm A qua G suy ra ( ) ' 1; 1 A = − ðiểm B là giao ñiểm của A’B với (d 1 ) trong ñó A’B// (d 2 ) ðiểm C là giao ñiểm của A’C với (d 2 ) trong ñó A’C//(d 1 ) (Chú ý rằng BGCA’ là hình bình hành? Cách 3: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1;1 ; G G d d = = ∩ Gọi M là trung ñiểm của BC suy ra 3 2 AM AG = uuuur uuur suy ra ñược toạ ñộ M ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1; ; ,1 B d B a a C d C b ∈ ⇒ = − ∈ ⇒ = M là trung ñiểm của BC suy toạ ñộ của B, C Vận dụng ñiểm “sống” trên ñường ñể giải toán Giáo viên Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 9 (d1) (d) (d2) C A B M Bài 13: Cho 2 ñường thẳng ( ) ( ) 1 2 : 4 11 0; : 4 7 0 d x y d x y − + = + + = và ñiểm ( ) 4; 7 M = − . Viết phương trình ñường thẳng (d) ñi qua ñiểm M và cắt ( ) ( ) 1 2 , d d lần lượt tại A, B sao cho tam giác ABC cân tại C (với C là giao ñiểm của ( ) ( ) 1 2 & d d Hướng dẫn giải: Nhận xét: Hai ñường thẳng ( ) ( ) 1 2 , d d vuông góc với nhau Cách 1: - Viết phương trình ñường phân giác của các góc tạo bởi hai ñường thẳng ( ) ( ) 1 2 , d d : ( ) ( ) 1 2 : 3 9 16 0 : 9 3 14 0 x y x y ∆ − + =   ∆ + + =   - Gọi (d) là ñường thẳng qua P và vuông góc với ( ) 1 ∆ suy ra pt (d): 3 5 0 x y + − = - Gọi (d’) là ñường thẳng qua P và vuông góc với ( ) 2 ∆ suy ra pt (d’): 3 5 0 x y − − = KL: Có 2 ñường thẳng cần tìm 3 5 0 x y + − = ; 3 5 0 x y − − = Cách 2: Dựa vào tam giác cân - Gọi (d) ñi qua P có dạng: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 : 2 1 0 2 0 0 d a x b y ax by a b a b − + + = ⇔ + − + = + ≠ - (d) cùng với ( ) ( ) 1 2 , d d tạo ra tam giác cân có ñỉnh là giao ñiểm của ( ) ( ) 1 2 , d d nên ta có góc giữa (d) và (d 1 ) bằng 45 0 . Như vậy ta có 0 2 2 2 2 2 2 cos 45 3 8 3 0 2 5 a b a ab b a b − = = ⇔ − − = + ( ) ( ) 3 : 3 5 0 3 ' : 3 5 0 a b d x y b a d x y = ⇒ + − = ⇔  = − ⇒ − − =   Cách 3: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 ;4 11 ; 4 7; A d A m m B d B n n ∈ ⇒ = + ∈ ⇒ = − − ( ) ( ) ( ) 1 2 3; 1 C d d C = ∩ ⇒ = − − Theo gt suy ra ( ) =    * , , th¼ng hµng CA CB A B M ( ) ( ) 2 2 2 2 3 4 12 17 102 153 CA m m m m= + + + = + + ( ) ( ) 2 2 2 2 4 4 1 17 30 17 CB n n n n = − + + = − + Vận dụng ñiểm “sống” trên ñường ñể giải toán Giáo viên Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 10 ( ) 4 7; 4 11 AB n m n m= − − − − − uuur ( ) 4 ; 4 18 AM m m= − − − uuuur Từ (*) ta có ( )( ) ( )( ) 2 2 17 102 153 17 30 17 4 7 4 18 4 4 11 0 m m n n n m m m n m  + + = − +   − − − − − − − − − =   Lời bình: Bài này ñòi hỏi người giải phải lưu ý ñến vị trí của hai ñường thẳng ( ) ( ) 1 2 , d d . Nếu nhận xét tốt ta có cách giải 1, dựa vào tam giác vuông cân ta có cách giải 2. Cách 3 tương ñối phức tạp các bạn ạ. Bài 14: Cho hai ñường thẳng (d): ( ) 2 1 0 : 2 3 0 x y D x y − + = − − = . Viết phương trình ñường thẳng ( ) ∆ ñi qua giao ñiểm của (d) và (D) ñồng thời chắn trên hai trục toạ ñộ những ñoạn thẳng bằng nhau Hướng dẫn giải Gọi ( ) ( ) 5 7 ; 3 3 M d D M   = ∩ ⇒ = − −     Gọi ( ) ( ) ;0 ; 0; A a ox B b oy = ∈ = ∈ suy ra phương trình ( ) ( ) : 1 , 0 x y a b a b ∆ + = ≠ ( ) 5 7 1 3 3 M a b ∈ ∆ ⇒ − − = a b OA OB a b =  = ⇔  = −  TH1: a = b khi ñó ta có 5 7 1 4 1 4 0 3 3 4 4 x y a b pt x y a a − − = ⇔ = − = ⇒ − − = ⇔ + + = TH 2: a = - b khi ñó ta có 5 7 2 2 3 3 1 1 3 3 2 0 3 3 3 3 2 2 x y b a pt x y b b − = ⇔ = − ⇒ = ⇒ − = ⇔ − − = Lời bình: Nếu bài toán này làm theo chùm ñường thẳng thì phải nhớ loại bỏ trường hợp ñường thẳng ñi qua gốc toạ ñộ (ðây là trường hợp ñặt biệt) Bài 15: Cho ñiểm ( ) 1;1 M = và ñường thẳng (d) 2 2 0 x y − + = . Lập phương trình ñường thẳng (d’) ñối xứng với (d) qua M. Hướng dẫn giải: [...]... CÁC BÀI TOÁN HÌNH H C KHÔNG GIAN A Các bài toán v hình chi u vuông góc: Bài toán 1: Tìm t a ñ hình chi u vuông góc c a ñi m M = (6; -1; -5) trên mp(P): 2x + y 2z - 3 = 0 Nh n xét: Bài toán này ta vi t phương trình ñư ng th ng d qua M và vuông góc v i mp(P) Khi ñó hình chi u H là giao ñi m c a d và mp(P) Giáo viên Bùi Văn Nh n Trư ng THPT Long M Trang 23 V n d ng ñi m “s ng” trên ñư ng ñ gi i toán Hư... bài toán5 ) Giáo viên Bùi Văn Nh n Trư ng THPT Long M d' M' Trang 27 V n d ng ñi m “s ng” trên ñư ng ñ gi i toán ðư ng th ng d ' qua M ', có VTCP AM ' = (-3; -6; 3) = 3(-1; -2; 1) nên có phương trình:  x = −2 − t   y = −5 − 2t (t ∈ R)  z = 3+t  Bài toán 8: Tìm t a ñ ñi m A/ ñ i x ng v i A(1 ; -2 ; -5) qua ñư ng th ng d có phương  x = 1 + 2t  trình :  y = −1 − t  z = 2t  Nh n xét: Bài toán. .. n Trư ng THPT Long M Trang 35 V n d ng ñi m “s ng” trên ñư ng ñ gi i toán D Các bài toán v c c tr t a ñ không gian: Bài toán 16: Trong không gian v i h t a ñ ð các vuông góc Oxyz cho ñi m M(1; 3; -2)  x = 5 + 3t và ñư ng th ng d:  y = 2 + t Tìm t a ñ ñi m H ∈ d sao cho ño n th ng MH có ñ dài nh nh t   z = −2 − t  Nh n xét: Bài toán này ta l y H ∈ d, khi ñó ñ dài MH nh nh t khi và ch khi MH ⊥ d... 2(4-2t) + (-3+t) = 0 ⇔ t = 1 V y H(1; 0; 2) K t lu n: T 4 bài toán nêu ra ta th y, v i các bài toán d ng này, ta l y ñi m cho trư c ho c ch n ñi m trên ñư ng th ng cho trư c sau ñó d a vào quan h vuông góc gi a ñi m v i ñư ng th ng, ñư ng th ng v i m t ph ng ñ tìm hình chi u vuông góc c a ñi m ñó trên ñư ng th ng hay m t ph ng T ñó k t lu n (n u bài toán tìm hình chi u) ho c vi t phương trình hình chi u d... 3 5 (α ) Bài 5: Tìm t a ñ ñ i m H là hình chi u vuông góc c a ñi m A(1; -1; 3) trên ñư ng th ng d :  x=2  y = 3−t  z = 2t  B Các bài toán v ñ i x ng: Bài toán 5: Tìm t a ñ ñi m M ' ñ i x ng v i ñi m M(6; -1; -5) qua mp(P): 2x + y - 2z - 3 = 0 Nh n xét: Bài toán này ta vi t phương trình ñư ng th ng d qua M và vuông góc v i mp(P), l y M ' ∈ d (M ' ≠ M) , khi ñó M ' ñ i x ng v i M qua (P) khi và... “s ng” trên ñư ng ñ gi i toán Vì ñi m A ch y trên (C) và ñi m A’ ñ i x ng v i ñi m A qua ñi m M nên suy ra ñi m A’ ch y − x2 + x + 5 là nh c a (C) qua ñi m M trên ñư ng (C’) y = 3− x L i bình: Cách gi i trên s d ng phương pháp qu tích (Các bài toán khác cùng d ng ta nên th c hi n phương pháp chung gi ng như bài 28 v a nêu Cách gi i này giúp r t nhi u trong vi c gi i các bài toán hình h c 11 chương I... Ta có H là trung ñi m c a AA nên:  y A/ = 2  z / =1  A / V y: A/ (-3 ; 2 ; 1) K t lu n: T 4 bài toán nêu ra ta th y, v i các bài toán d ng này, ta l y ñi m cho trư c ho c ch n ñi m trên ñư ng th ng cho trư c sau ñó tìm ñi m ñ i x ng c a ñi m ñó qua ñư ng th ng hay m t ph ng T ñó k t lu n (n u bài toán tìm ñi m ñ i x ng) ho c vi t phương trình ñư ng th ng ñ i x ng d a vào ñi m ñ i x ng v a tìm ñư... ng d ñ i x ng v i ñư ng th ng d1 qua d2 C Các bài toán v c t nhau, vuông góc, song song: Bài toán 9: Cho ñư ng th ng d và mp (P) có phương trình:  x = 1+ t  d:  y = 2 + 2t ; (P): 2x + z - 5 = 0  z = 3 + 2t  a/ Xác ñ nh t a ñ giao ñi m A c a d và (P) b/ Vi t phương trình ñư ng th ng d ' ñ i qua A, n m trong (P) và vuông góc v i d Nh n xét: Bài toán này ta tìm t a ñ c a A, khi ñó ñư ng th ng d '... 4t  Giáo viên Bùi Văn Nh n Trư ng THPT Long M Trang 33 V n d ng ñi m “s ng” trên ñư ng ñ gi i toán Bài toán 15: Vi t phương trình ñư ng vuông góc chung c a 2 ñư ng th ng chéo nhau d:  x = 5 + 3t   y = 2 + t (t ∈ R)  z=t   x = −2 + t /  và d / :  y = −7 + 3t / (t / ∈ R )  z = 4−t/  Nh n xét: Bài toán này h c sinh l y A ∈ d 1, B ∈ d2; AB là ñư ng vuông góc chung c a d r uuu r uuu r u AB =... Bùi Văn Nh n Trư ng THPT Long M Trang 11 V n d ng ñi m “s ng” trên ñư ng ñ gi i toán L i bình: Em th y sau khi thay ñ i phương trình c a (D); Cách gi i này làm khó khăn gì cho em? Có cách gi i khác không? Tìm cách gi i khác và so sánh v i cách gi i trên ñ có quy t ñ nh sáng su t khi gi i bài toán lo i này (L p 11 gi i bài toán này như th nào?) Hãy th tr tài m t bài xem sao nhé: Cho hai ñư ng th ng ( . khó khăn gì cho em? Có cách giải khác không? Tìm cách giải khác và so sánh với cách giải trên ñể có quyết ñịnh sáng suốt khi giải bài toán loại này (Lớp 11 giải bài toán này như thế nào?) Hãy. (các bạn tự thế vào phương trình (a) ) Vận dụng ñiểm sống trên ñường ñể giải toán Giáo viên Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 20 Cách 2: Giải sử tiếp tuyến chung cần tìm là (D): ( ) 2. toạ ñộ trung ñiểm suy ra ñiểm M’. Nếu ta làm theo ñiểm sống trên (d) có vẻ như nhẹ nhàn hơn. Vận dụng ñiểm sống trên ñường ñể giải toán Giáo viên Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 2