Đây là tuyển tập tài liệu về phương trìnhhệ phương trình. Được biên soạn bởi các Moderator box Toán học diễn đàn hocmai. vn Nhằm đưa đến gần hơn với mọi người, mình xin mạo muội post nó lên đây :D Tuy đã rất cố gắng nhưng không tránh khỏi thiếu sót. Mong nhận được góp ý chân thành từ phía độc giả Hy vọng tài liệu này sẽ bổ ích đến với bạn đọc.
Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình »»»»—«««« ___________________________ Box Toán học 1 Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình Nhóm Moderator box Toán diễn đàn hocmai.vn Các bạn thân mến, Nếu các bạn đam mê môn toán, các bạn sẽ không thể bỏ qua một mảng kiến thức rất rộng và hay đó là phương trình và hệ phương trình. Tại diendan.hocmai.vn, box Toán chúng tôi đã có nhiều topic về phương trình, hệ phương trình gồm khá nhiều dạng bài từ cơ bản đến nâng cao. Nhưng các bài viết còn lẻ tẻ, rời rạc, gây khó khăn cho các bạn trong việc tham khảo. Xuất phát từ sự thiếu sót đó, nhóm Moderator box Toán đã họp bàn và với ý tưởng của mod forum_, chúng tôi quyết định tổng hợp tất cả các bài tập về phương trình, hệ phương trình thành 1 file PDF để tiện làm tư liệu cho các bạn. Chuyên đề này là tổng hợp khá đầy đủ các bài viết riêng lẻ từ các topic trên diễn đàn. Thay mặt box Toán tôi xin gửi lời cảm ơn đặc biệt đến Mod demon311 (Lê Hồng Phúc -11B5, THPT Của Tùng - Vĩnh Linh - Quảng Trị) đã bỏ thời gian làm file này cùng với tập thể các Mod Toán và các mem diễn đàn học mãi đã góp ý để file được hoàn thiện hơn. Do thời gian khá gấp rút nên việc tổng hợp và làm file không thể tránh có những sai sót dù đã rất cố gắng, vì vậy rất mong có sự đóng góp, chia sẻ của các bạn gửi về để đội ngũ biên tập có thể chỉnh sửa và hoàn thiện hơn. Mọi ý kiến đóng góp xin liên hệ về địa chỉ demonfromparadise1998@gmail.com hoặc liên hệ nick diễn đàn học mãi demon311 Tôi hy vọng chuyên đề này sẽ có ích cho các bạn trong việc tìm tòi và khám phá phương trình và hệ phương trình - những vẻ đẹp của Toán học Thay mặt đội ngũ mod toán, tôi xin chân thành cảm ơn! Trưởng nhóm box Toán congchuaanhsang (Đỗ Thùy Anh - 10T THPT chuyên Lam Sơn) Box Toán học 2 Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình Thread này được lập ra bởi bigbang195. Bạn có thể xem toàn bộ thread tại: http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=87753 Sau đây là những bài được tổng hợp: Box Toán học 3 Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình B1 Giải phương trình: x 2 + √ x + 5 = 5 Giải: Ta có: x 2 + √ x + 5 = 5 ⇔ x 2 = 5 − √ x + 5 ⇔ x 2 + x + 1 4 = x + 5 −2. 1 2 √ x + 5 + 1 4 ⇔ (x + 1 2 ) 2 = ( √ x + 5 − 1 2 ) 2 B2 Giải phương trình: a) x 2 + x + 12 √ x + 1 = 36 b) 2 √ 2x + 4 + 4 √ 2 − x = √ 9x 2 + 16 Giải: a) 36 − x 2 − x − 2.6. √ x + 1 = 0 x + 1 −2.6. √ x + 1 + 36 − (x 2 + 2x + 1) = 0 ( √ x + 1 −6) 2 − (x + 1) 2 = 0 ( √ x + 1 −6 − x − 1)( √ x + 1 −6 + x + 1) = 0 b) 2 √ 2x + 4 + 4 √ 2 − x = √ 9x 2 + 16 ⇒ 4(2x + 4) + 16(2 − x) + 16 (4 − x 2 )2 = 9x 2 + 16 ⇔ 8x + 16 + 32 − 16x + 16 √ 8 − 2x 2 − 9x 2 − 16 = 0 Box Toán học 4 Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình ⇔ 16 √ 8 − 2x 2 − 8x + 32 −9x 2 = 0 ⇔ 4(8 −2x 2 ) + 16 √ 8 − 2x 2 + 16 − 8x − 9x 2 + 8x 2 − 16 = 0 ⇔ (2 √ 8 − 2x 2 + 4) 2 − x 2 − 8x − 16 = 0 ⇔ (2 √ 8 − 2x 2 + 4) 2 − (x + 4) 2 = 0 ⇔ B3 Giải phương trình: x + √ 4 − x 2 = 2 + 3x √ 4 − x 2 Giải Đặt √ 4 − x 2 = a (a ≥ 0) ⇒ 4 −x 2 = a 2 ⇔ x 2 = 4 − a 2 và x + a = 2 + 3xa ⇒ x = 2 − a 1 − 3a ⇒ x 2 = (2 − a) 2 (1 − 3a) 2 ⇒ 4 −a 2 = 4 − 4a + a 2 1 − 6a + 9a 2 ⇒ (1 −6a + 9a 2 )(4 − a 2 ) = 4 −4a + a 2 ⇔ 4 −a 2 − 24a + 6a 3 + 36a 2 − 9a 4 = 4 − 4a + a 2 ⇔ 9a 4 − 6a 3 − 34a 2 + 20a = 0 ⇔ a(9a 3 − 6a 2 − 34a + 20) = 0 ⇔ a(a −2)(9a 2 + 12a − 10) = 0 ⇔ a = 0; a = 2; 9a 2 + 12a − 10 = 0 (1) ∆ = 6 2 + 10.9 = 129 ⇒ a = −6 + √ 129 9 (a ≥ 0) B4 Giải phương trình: x 2 + √ x 2 + 11 = 31 Giải: x 2 + √ x 2 + 11 = 31 ⇔ (x 2 + 11) + √ x 2 + 11 − 42 = 0 ⇒ x 2 + 11 = 36 ⇒ x = ±5 B5 Giải hệ phương trình sau: Box Toán học 5 Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình 3 √ x − y = √ x − y x + y = √ x + y + 2 Giải: Ta có: 3 √ x − y = √ x − y ⇔ (x −y ) 2 = (x − y) 3 ⇔ x = y x = y + 1 TH1: x = y x + y = √ x + y + 2 ⇔ 2x = √ 2x + 2 ⇔ 4x 2 = 2x + 2 ⇒ x = y = 1 TH2: x = y + 1 x + y = x + y + 2 ⇔ 2y + 1 = 2y + 3 ⇔ 4y 2 + 4y + 1 = 2y + 3 ⇒ y = 1 2 ; x = 3 2 B6 1 4x − 2006 + 1 5x + 2004 = 1 15x − 2007 − 1 6x − 2005 Giải: 1 4x − 2006 + 1 5x + 2004 = 1 15x − 2007 − 1 6x − 2005 ⇔ 9x − 2 (4x − 2006)(5x + 2004) = −(9x − 2) (15x − 2007)(6x −2005) B7 Box Toán học 6 Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình 3(x + 1 x ) = 4(y + 1 y ) = 5(z + 1 z ) xy + yz + zx = 1 Giải: Viết lại phương trình đầu như sau: với x,y,z khác 0 : x 3(x 2 + 1) = y 4(y 2 + 1) = z 5(z 2 + 1) (1) (1) ⇒ nếu (x 0 , y 0 , z 0 ) là nghiệm ở đây x 0 > 0, y 0 > 0, z 0 > 0 thì −x 0 , −y 0 , −z 0 cũng là nghiệm (1) dẫn tới (1) có nghiệm cùng dấu x = tan A 2 , y = tan B 2 , z = tan C 2 Lại có do: (2) tan A 2 . tan B 2 + tan B 2 . tan C 2 + tan C 2 . tan A 2 = 1 nên A,B,C là 3 góc của 1 tam giác lại có: sin A = tan A 2 1 + tan 2 A 2 Nên: (1) ⇔ sin A 3 = sin B 4 = sin C 5 ⇒ các cặp cạnh đối diện cũng tỉ lệ : a,b,c là các cạnh đối diện với góc A,B,C a 3 = b 4 = c 5 Nên tam giác này là tam giác vuông tại C ⇒ C = 90 dẫn tới z = tan 45 o = 1 Thế vào PT(1) được x = 1 3 , y = 1 2 Nên HPT có 1 nghiệm là ( 1 3 , 1 2 , 1) theo lý luận trên đầu bài dẫn tới hệ cũng có nghiệm (− 1 3 , − 1 2 , −1) KL :HPT có 2 nghiệm ( 1 3 , 1 2 , 1), (− 1 3 , − 1 2 , −1) B8 : 6 3 − x + 8 2 − x = 6 Box Toán học 7 Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình Giải: ĐK : x < 2 ⇔ 6 3 − x − 2 + 8 2 − x − 4 = 0 ⇔ 6 3 − x − 4 6 3 − x + 2 + 8 2 − x − 16 8 2 − x + 4 = 0 ⇔ 2(2x − 3) 3 − x 6 3 − x + 2 + 8(2x − 3) 2 − x − 16 8 2 − x + 4 = 0 ⇔ (2x −3)( ) = 0 mà ( ) khác 0 nên ta được x = 3 2 B9 2(x 2 − 3x + 2) = 3 √ x 3 + 8 Giải: ĐK : x ≥ −2 ⇔ 2[x 2 − 2x + 4 −(x + 2)] = 3 (x + 2)(x 2 − 2x + 4) Đặt a = √ x + 2 ; b = √ x 2 − 2x + 4 (a, b ≥ 0 Ta được 2(b 2 − a 2 ) = 3ab ⇔ (a + 2b)(2a − b) = 0 B10 √ 2x + 3 + √ x + 1 = 3x + 2 √ 2x 2 + 5x + 3 −16 Giải: Box Toán học 8 Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình ĐK: Đặt t = V T (ĐK: t ≥ ) PT trên tương đương với t = t 2 − 20 (t − 5)(t + 4) = 0 B11 √ 4x − 1 + √ 4x 2 − 1 = 1 Giải: ĐK : ⇔ √ 4x 2 − 1 = 1 − √ 4x − 1 2 vế không âm bình phương lên thu được 4x − 2 √ 4x 2 − 1 = 4x 2 − 1 ⇔ 2 √ 4x 2 − 1 = −(2x −1) 2 PT đánh giá: V T ≥ 0 ;VP ≤ 0 Ta được nghiệm x = 1 2 B12 √ x 2 + 2x + √ 2x − 1 = √ 3x 2 + 4x + 1 Giải: ĐK là các biểu thức trong dấu căn không âm Đặt a = √ x 2 + 2x , b = √ 2x − 1(a, b ≥ 0) PT trở thành a + b = √ 3a 2 − b 2 ⇔ a 2 + 2ab + b 2 = 3a 2 − b 2 ⇔ 2a 2 − 2ab − 2b 2 a = 1 + √ 5 2 b B13 x 2 − 2x + 3 = √ 2x 2 − x + √ 1 + 3x −3x 2 Giải: Theo AM-GM Box Toán học 9 Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình √ 2x 2 − x ≤ 2x 2 −x+1 2 √ 1 + 3x −3x 2 ≤ 1+3x−3x 2 +1 2 ⇒ x 2 − 2x + 3 ≤ −x 2 + 2x + 3 2 ⇔ 2x 2 − 4x + 6 + x 2 − 2x − 3 ≤ 0 ⇔ 3(x −1) 2 ≤ 0 ⇒ x = 1 B14 √ x + 3.x 4 = 2x 4 − 2008x + 2008 Giải: tx 4 = 2x 4 − 2008(x − 1) = 2x 4 − 2008(t 2 − 4) ⇔ −2008t 2 − tx 4 + (2x 4 + 2008.4) = 0 ∆ = x 8 −4(−2008)(2x 4 + 2008.4) = x 8 + 2.4.2008x 4 + (4.2008) 2 = (x 4 + 4.2008) 2 x 1 = x 4 − (x 4 + 4.2008) −2.2008 = 2 hay √ x + 3 = 2 ⇔ x = 4 −3 = 1 x 2 = x 4 + x 4 + 4.2008 −2.2008 = √ x + 3 B15 √ 2x + y + 1 − √ x + y = 1 3x + 2y = 4 Giải: √ 2x + y + 1 = a √ x + y = b Hệ a − b = 1 a 2 + b 2 = 5 Box Toán học 10 [...]... = 5xy ⇔ y = 5x Ta thay vào phương trình (2), ra phương trình trùng phương 2 Box Toán học 31 Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình B52 Tìm m để phương trình sau vô nghiệm x + |y − 2| = 2 2x − y = m Giải: Chia làm 2 trường hợp để phá dấu giá trị tuyệt đối: Với y ≥ 2, ta có hệ: x+y =4 ⇔ 3y = 8 − m 2x − y = m Vì y ≥ 2 nên hệ vô nghiệm khi 8 − m < 6... nghiệm của phương trình 2 Box Toán học 29 Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình 1 thì 2x − 1 > 0 dẫn đến V T > V P (vô nghiệm) 2 1 x < thì 2x − 1 < 0 dẫn đến V T < V P (vô nghiệm) 2 1 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: x = 2 B50 x> a) Tìm tất cả các số nguyên không âm x,y sao cho: (y + 1)4 + y 4 = (x + 1)2 + x2 b) Cho phương trình √ m x6 + 1 = 3(x4 + 2) c) Giải phương trình: ... phải chứng minh B58 Cho phương trình: x2 − (m − 4)x − m + 3 = 0 TÌm m để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: x5 + x5 = 31 1 2 Giải: ∆ = m2 − 8m + 16 + 4(m − 3) = (m − 2)2 Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi: ∆>0⇔m=2 Ta có: x2 − (m − 4)X − m + 3 = 0 (x + 1)(x − m + 3) = 0 Box Toán học 35 Diendan.hocmai.vn ⇔ [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình x1 = −1 x2 = m −... + 2) = V P 2 2 1 Như vậy phương trình có nghiệm x = 2 B47 y 3 − 9x2 + 27x − 27 = 0 (1) z 3 − 9y 2 + 27y − 27 = 0 (2) x3 − 9z 2 + 27z − 27 = 0 (3) Giải: Box Toán học 28 Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình 3 3 Từ hệ ta có: x, y, z ≥ √ > 3 4 2 Không mất tính tổng quát giả sử: x ≥ y (do vai trò bình đẳng) Trừ phương trình (1) và (2) theo vế:... Toán học 20 Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình b) (x2 + 1)(y 2 + 2)(z 2 + 8) = 32xyz (z, y, x ≥ 0) c) √ x + 1 4(y − 1) 3 y − 1 + 4 √ + = 10 3 x (y − 1)2 Giải: a) Áp dụng BĐT Cauchy: x+x+1 x2 + x ≤ 2 x+1−x x − x2 ≤ 2 x+x+1+x+1−x ⇔ x2 + x + x − x2 ≤ = x + 1 Vì phương trình là trường 2 hợp xảy ra dấu bằng nên: x=x+1 x=1−x Do đó phương trình vô nghiệm b) Áp dụng BĐT Cauchy ta... b) Áp dụng AM-GM ta có: √ 6 x6 + 1 ≤ 3(x4 + 2) √ √ Dấu bằng xảy ra: x2 + 1 = x4 − x2 + 1 √ x = 0x 2 Phương trình có đúng 2 nghiệm khi m = 6 c) x4 + (x − 1)(x2 − 2x + 2) = 0 ⇔ (x2 + 2x − 2)(x− x + 1) = 0 ⇔ Phương trình tích B51 Box Toán học 30 Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình 2 12 =√ y + 3x x a) 6 12 1+ =√ y + 3x y 1 3x3 − y 3 = x+y b) ... √ z 2 + 8 ≥ 4 2z ⇒ (x2 + 1)(y 2 + 2)(z 2 + 8) ≥ 32xyz Phương trình chính là trường hợp dấu bằng xảy ra nên: x=1 √ y= 2 √ z=2 2 c) Ta có: x+1 √ ≥2 x Box Toán học 21 Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình √ 3 Đặt: a =√ y − 1 (a = 0) 4(y − 1) 3 y − 1 + 4 4a4 + 4 = ≥8 3 a2 (y − 1)2 √ x + 1 4(y − 1) 3 y − 1 + 4 √ + ≥ 10 Phương trình xảy ra: 3 x (y − 1)2 x=1 √ 3 y−1⇔y... (x; y) = (1; 1); (2; 2) B29 x2 − xy + y 2 = 3 z 2 + yz + 1 = 0 Giải: Từ phương trình thứ nhất ta có x là ẩn, y là tham số: ∆ = y 2 − 4y 2 + 12 = −3y 2 + 12 ≥ 0 ⇔ y 2 ≤ 4 Từ phương trình thứ hai coi z là ẩn, y là tham số: Box Toán học 17 Diendan.hocmai.vn [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình ∆ = y2 − 4 ≥ 0 ⇔ y ≥ 4 Suy ra y 2 = 4 ⇔ y = ±2 Với y = 2 thì x = 1 và z = −1 Với y =... Tân phương trình và hệ phương trình x−y =3 x−y =9 B40 √ √ √ 3 x + 1 + 3 x − 1 = 3 5x Giải: √ √ √ 3 x + 1 + 3 x − 1 = 3 5x √ √ √ ⇔ ( 3 x + 1 + 3 x − 1)3 = ( 3 5x)3 ⇔ 2x + 3 3 (x2 − 1).5x = 5x ⇔ 3 (x2 − 1).5x = x ⇔ 5x3 − 5x = x3 ⇔ x(4x2 − 5) = 0 ⇒ x=0 x=± √ 5 2 B41 Phương trình nghiệm nguyên: a) x6 + 3x3 + 1 = y 2 b) 1 + x2 + x3 + x4 = y 4 c) 1 + x + x2 = y 2 Giải: Sử dụng phương. .. (1) Box Toán học 12 Diendan.hocmai.vn √ Œt : [Toán 9] Tân phương trình và hệ phương trình x + 1 = a (a ≥ 0) x + 2 = b (b ≥ 1) √ (1) ⇔ a + b = 2b2 − 2a2 ⇔ a2 + 2ab + b2 = 2b2 − 2a2 ⇔ 3a2 + 2ab − b2 = 0 ⇔ (3a − b)(a + b) = 0 √ Do a, b > 0 nên 3 x + 1 = x + 2 ⇔ 9x + 9 = x2 + 4x + 4 ⇔ x2 − 5x − 5 = 0 B21 Giải hệ phương trình: a) x(3x + 2y)(x + 1) = 12 x2 + 4x . = tan 45 o = 1 Thế vào PT( 1) được x = 1 3 , y = 1 2 Nên HPT có 1 nghiệm là ( 1 3 , 1 2 , 1) theo lý luận trên đầu bài dẫn tới hệ cũng có nghiệm (− 1 3 , − 1 2 , −1) KL :HPT có 2 nghiệm ( 1 3 , 1 2 ,. ⇔ (x + 1)(y + 2) = 4 (z + 3)(y + 2) = 8 (x + 1)(z + 3) = 8 Lấy pt 1 chia pt 2 rồi nhân pt 3 ta được (x + 1) 2 = 4 Từ đây ta thay vào giải ra Box Toán học 19 Diendan.hocmai.vn. diễn đàn. Thay mặt box Toán tôi xin gửi lời cảm ơn đặc biệt đến Mod demon311 (Lê Hồng Phúc -11B5, THPT Của Tùng - Vĩnh Linh - Quảng Trị) đã bỏ thời gian làm file này cùng với tập thể các Mod Toán