Đề học sinh giỏi toán 12-số 29

1. AB là tiếp tuyến chung của hai đường tròn cắt nhau tại M và N (mỗi điểm A và B nằm trên một đường tròn). C là điểm nằm trên đường tròn chứa A và D là điểm nằm trên đường tròn chứa B sao cho AB song song với CD. Các dây cung NA và CM cắt nhau tại P; NB cắt MD tại Q. Các tia CA và DB cắt nhau tại E. Chứng minh rằng PE = QE. 2. Cho A, B, C là các số thực d ương có tích bằng 1. Ch ứng minh rằ ng: 3. Cho k là một s ố thực d ương, N là mộ t số nguyên lớ n hơn 1. N đ iểm được đặt trên m ột đườ ng thẳng, tấ t cả không được trùng nhau. Các di chuyển được tiế n hành như sau: chọ n bất kì hai điểm A, B không trùng nhau. Giả sử A nằm bên phải của B. Thay B bởi một điểm khác là B' n ằ m bên ph ả i c ủ a A sao cho BA = k AB'. V ớ i giá tr ị nào c ủ a k ta có th ể di chuy ể n các điểm xa tuỳ ý về bên phải bằng các di chuyển được lặp đi lặp lại nhiều lần. 4. 100 lá bài được đánh số từ 1 đến 100 (mỗi số ứng với một lá bài) và được bỏ vào trong 3 h ộ p (m ỗ i m ộ t h ộ p có ít nh ấ t 1 lá bài). H ỏ i có bao nhiêu cách s ắ p x ế p các lá bài vào ba h ộ p để sao cho nếu chọn hai hộp bất kỳ và lấy ra từ mỗi hộp một lá bài thì biết được tổng của các lá bài này đủ để nhận biết được hộp thứ 3. 5. Có th ể tìm được hay không số tự nhiên d ương N th ỏa mãn: N chia hết cho đúng 2000 số nguyên tố khác nhau và 2 N + 1 chia hết cho N ? 6. Cho tam giác nh ọn A 1 A 2 A 3 . Chân các đường cao củ a tam giác hạ t ừ A i xu ống các cạ nh đối diện là H i , và đường tròn n ội ti ếp tam giác tiế p xúc với các c ạnh đố i diệ n với đỉnh A i là T i . Giả s ử L 1 , L 2 , L 3 là đối x ứng gươ ng củ a các đường th ẳng H 2 H 3 , H 3 H 1 , H 1 H 2 qua các đường thẳng tương ứng T 2 T 3 , T 3 T 1 , T 1 T 2 . Ch ứ ng minh rằ ng các đườ ng thẳ ng L 1 , L 2 , L 3 t ạ o thành mộ t tam giác có các đỉ nh nằ m trên đường tròn nội tiếp tam giác ABC.