1. Tìm tấ t cả các số nguyên a, b, c thoả mãn 1 < a < b sao cho (a - 1)(b - 1)(c - 1) là ước số của abc - 1. 2. Tìm tấ t cả các hàm f xác đị nh trên tập t ất cả các s ố thự c và nhận giá trị thực sao cho f(x 2 + f(y)) = y + f(x) 2 với mọi x, y. 3. Xét 9 đi ểm trong đ ó không có 4 điể m nào đồng phẳ ng. Mỗi m ột cặp điể m được nố i với nhau thành một đ oạn th ẳng và được tô màu ho ặc là xanh hoặc là đỏ hoặ c là không được tô màu. Tìm giá tr ị nhỏ nhất củ a n sao cho nếu có đúng n cạnh được tô màu thì trong đ ó nhất thi ế t ph ả i ch ứ a m ộ t tam giác có t ấ t c ả các c ạ nh đượ c tô cùng m ộ t màu. 4. L là một đường tiếp tuy ến vớ i đường tròn C và M là mộ t đi ểm trên L. Tìm quỹ tích t ất cả các đ i ể m P sao cho t ồ n t ạ i các đ i ể m Q và R trên L cách đề u M v ớ i C là vòng tròn n ộ i ti ế p tam giác PQR. 5. Cho S là tập hợp hữu hạn các điểm trong không gian ba chiều. Gọi S x , S y , S z lần lượt là các t ậ p bao g ồ m các đ i ể m là hình chi ế u c ủ a các đ i ể m trong S lên các m ặ t ph ẳ ng yOz, zOx, xOy. Ch ứ ng minh r ằ ng: |S| 2 <= |S x | |S y | |S z | Trong đó, |A| biểu diễn số điểm trong tập A. [Hình chiếu của một điểm trên một mặt phẳng là chân đường vuông góc hạ từ điểm đó lên mặt phẳng]. 6. Với mỗi số nguyên dương n, S(n) được định nghĩa như là một số nguyên lớn nhất sao cho với mọi số nguyên dương k <= S(n), n 2 có th ể đượ c viết d ưới d ạng tổ ng các bình phương của k số nguyên dương. (a) Chứng minh rằng: S(n) <= n 2 - 14 với mỗi n >= 4. (b) Tìm một số nguyên n sao cho S(n) = n 2 - 14. (c) Chứng minh rằng tồn tại vô số các số nguyên n sao cho S(n) = n 2 - 14. . trên L. Tìm quỹ tích t ất cả các đ i ể m P sao cho t ồ n t ạ i các đ i ể m Q và R trên L cách đề u M v ớ i C là vòng tròn n ộ i ti ế p tam giác PQR. 5. Cho S là tập hợp hữu hạn các điểm trong