Đề học sinh giỏi toán 12-số 20

1. Ch ứ ng minh r ằ ng t ậ p {1, 2, 3, , 1989} có th ể bi ể u di ễ n đượ c thành h ợ p r ờ i nhau c ủ a các tậ p con A 1 , A 2 , , A 117 trong đó: mỗi tập con A i bao gồm 17 phần tử và tổng của tất cả các phần t ử trong mỗ i tập A i là nh ư nhau. 2. Cho tam giác nhọn ABC. Đường phân giác trong của các góc A, B, C lần lượt gặp đường tròn ngoại tiếp tam giác tại A 1 , B 1 , C 1 . G ọ i A 0 là giao đ i ể m c ủ a đườ ng th ẳ ng AA 1 v ớ i đườ ng phân giác ngoài c ủ a các góc B và C; B 0 là giao đ i ể m c ủ a đườ ng th ẳ ng BB 1 v ớ i đườ ng phân giác ngoài c ủ a các góc A và C; C 0 là giao điểm của đường thẳng CC 1 với đường phân giác ngoài của các góc A và B. Chứng minh rằng: Diện tích tam giác A 0 B 0 C 0 g ấ p 2 l ầ n di ệ n tích l ụ c giác AC 1 BA 1 CB 1 và lớn hơn hoặc bằng 4 lần diện tích tam giác ABC. 3. Cho n, k là hai s ố nguyên d ươ ng. S là t ậ p h ợ p c ủ a n đ i ể m trong m ặ t ph ẳ ng sao cho không có ba đ i ể m nào th ẳ ng hàng và v ớ i m ọ i P thu ộ c S t ồ n t ạ i ít nh ấ t k đ i ể m thu ộ c S cách đề u P. Chứng minh rằng: . 4. Cho t ứ giác l ồ i ABCD sao cho AB = AD +BC. T ồ n t ạ i m ộ t đ i ể m P trong t ứ giác có khoảng cách h so với CD sao cho AP = h + AD và BP = h + BC. Hãy chỉ ra rằng: 5. Chứ ng minh rằng v ới mỗ i số nguyên dương n t ồn tạ i n số nguyên d ương liên ti ếp không phả i là số nguyên tố ho ặc không là luỹ thừ a của m ột sô nguyên tố . 6. Một hoán v ị {x 1 , x 2 , , x m } của t ập {1, 2, , 2n}, trong đó n là mộ t số nguyên d ương, được gọ i là có tính chấ t P nếu: |x i - x i+1 | = n với ít nh ất mộ t i trong {1, 2, , 2n - 1}. Hãy chỉ ra rằng v ới m ỗi n số các hoán vị có tính ch ất P nhiề u hơ n số các hoán v ị không có tính chấ t này. . đ i ể m nào th ẳ ng hàng và v ớ i m ọ i P thu ộ c S t ồ n t ạ i ít nh ấ t k đ i ể m thu ộ c S cách đề u P. Chứng minh rằng: . 4. Cho t ứ giác l ồ i ABCD sao cho AB = AD +BC. T ồ n t ạ i