1. Hàm f(n) được xác định trên tập các số nguyên dương và nhận giá trị nguyên không âm. f(2) = 0, f(3) > 0, f(9999) = 3333 và v ớ i m ọ i m, n có: f(m + n) - f(m) - f(n) = 0 ho ặ c 1. Xác định f(1982). 2. Tam giác không cân A 1 A 2 A 3 có các cạnh a 1 , a 2 , a 3 với a i đối diện với A i . M i là trung điểm c ủa cạnh a i và T i là ti ế p đ i ể m c ủ a đườ ng tròn n ộ i ti ế p tam giác v ớ i các c ạ nh a i . Ký hi ệ u S i là hình chi ế u c ủ a T i trên đường phân giác trong c ủa góc A i . Chứng minh r ằng: M 1 S 1 , M 2 S 2 , M 3 S 3 đồng qui. 3. Xét một dãy vô hạn {x n } của các số thực dương sao cho: 1 = x o x 1 x 2 (a) Ch ứng minh rằng: v ới mọ i dãy như thế tồn tạ i một s ố n 1 sao cho: (b) Tìm một dãy có tính chất như trên và thoả mãn: v ớ i m ọ i n. 4. Chứng minh r ằng: Nế u n là mộ t số nguyên d ương sao cho phươ ng trình: x 3 - 3xy 2 + y 3 = n có nghiệ m (x, y) nguyên thì phương trình đó có ít nh ất ba nghiệ m nguyên. Hãy chỉ ra rằng phương trình không có nghiệm nguyên với n = 2891. 5. Cho lụ c giác đề u ABCDEF. Trong đường chéo AC và CE l ấy các đ iểm t ương ứng M và N sao cho: Xác đị nh r nếu B, M và N th ẳng hàng. 6. Cho S là m ộ t hình vuông vớ i độ dài các cạ nh là 100. L là m ột đườ ng đi trong S và không cắt S gồm có các đoạn A 0 A 1 , A 1 A 2 , A 2 A 3 , , A n-1 A n vớ i A o A n . Giả s ử rằ ng v ớ i mọ i đi ể m P trên biên của S tồn tại một điểm thuộc L sao cho khoảng cách từ P tới nó . Chứng minh rằng: tồn tại 2 điểm X và Y thuộc L sao cho khoảng cách XY 1, và độ dài đường đi từ X tới Y là không nhỏ hơn 198. Pa g e 2 of 2IMO Vietnamese . Hãy chỉ ra rằng phương trình không có nghiệm nguyên với n = 2891. 5. Cho lụ c giác đề u ABCDEF. Trong đường chéo AC và CE l ấy các đ iểm t ương ứng M và N sao cho: Xác đị nh