1. Cho m, n là các số nguyên dương với m < n. Ba chữ số thập phân cuối cùng của 1978 m giống như ba chữ số thập phân cuối cùng của 1978 n . Tìm m, n sao cho m + n đạ t giá tr ị nh ỏ nhất. 2. P là mộ t đi ểm bên trong một hình c ầu. Ba tia vuông góc vớ i nhau từng đ ôi một kẻ từ P c ắt hình c ầ u t ạ i U, V, W. Q là đỉ nh đố i di ệ n qua đườ ng chéo v ớ i P trong hình h ộ p đượ c xác đị nh b ở i PU, PV, PW. Tìm qu ỹ tích các đ i ể m Q khi các tia vuông góc xu ấ t phát t ừ P thay đổ i. 3. Tập tấ t cả các s ố nguyên dương là h ợp củ a hai tập con rờ i nhau {f(1), f(2), f(3), } và {g (1), g(2), g(3), }. Trong đó f(1) < f(2) < f(3) < , và g(1) < g(2) < g(3) < g(n) = f(f(n)) + 1 với n = 1, 2, 3, Xác đị nh f(240). 4. Tam giác ABC cân tại A. Một đường tròn tiếp xúc bên trong với đường tròn ngoại tiếp tam giác và cắt AB, AC lần lượt tại P và Q. Chứng minh rằng: trung điểm của PQ là tâm của đườ ng tròn n ộ i ti ế p tam giác ABC. 5. {a k } là dãy các số nguyên dương khác nhau. Ch ứng minh rằ ng: vớ i mọ i số nguyên d ương n. 6. Một cuộc giao lưu quốc tế có các thành viên từ 6 nước khác nhau. Danh sách của các thành viên gồm có 1978 người được đánh số là 1, 2, , 1978. Chứng minh rằng: tồn tại ít nhấ t mộ t thành viên có số là t ổng củ a các số c ủa hai thành viên cùng n ước củ a mình, hoặc g ấp đ ôi số của m ột thành viên cùng nướ c với mình.