Đề học sinh giỏi toán 12-số 10

1. Cho x 1 x 2 x n và y 1 y 2 y n là các số thực. Chứng minh rằng: nếu z i là một hoán vị b ất kì củ a y i thì: 2. Cho a 1 < a 2 < a 3 < là các số nguyên dương. Chứng minh rằng: Với mọi i 1 tồn tại vô số a n sao cho có th ể được bi ểu diễ n đưới dạ ng: a n = ra i + sa j , v ới r và s là các số nguyên d ươ ng và j > i. 3. Cho tam giác ABC bất kì. Về phía ngoài tam giác hãy dựng các tam giác ABR, BCP, CAQ sao cho , , , , , và . Ch ứ ng minh r ằ ng tam giác RPQ vuông cân t ạ i R. 4. Cho A là tổng các chữ số thập phân của 4444 4444 và B là tổng các chữ số thập phân của A. Tìm tổng các chữ số thập phân của B. 5. Hãy tìm 1975 điểm trên chu vi của một đường tròn đơn vị sao cho khoảng cách giữa mỗi cặp điểm là một số hữu tỉ. Hãy chỉ ra sự tồn tại hoặc chứng minh rằng không thể tìm được. 6. Tìm tấ t cả các đa th ức P(x, y) theo hai biế n sao cho: (1) P(tx, ty) = t n P(x, y) vớ i n nguyên dương nào đó và vớ i mọi s ố th ực t, x, y. (2) P(y + z, x) + P(z + x, y) + P(x + y, z) = 0 với m ọi số thự c x, y , z. (3) P(1, 0) = 1.