Đề học sinh giỏi toán 12-số 8

1. Cho bất kì một tập 10 số khác nhau trong đoạn [10, 99]. Chứng minh rằng: luôn tìm được hai tập con rời nhau sao cho các tập đều có tổng như nhau. 2. Cho n > 4. Ch ứng minh rằ ng: mọi tứ giác nội ti ếp đường tròn đều có thể chia thành n t ứ giác n ộ i ti ế p đườ ng tròn. 3. Chứng minh rằng: (2m)!(2n)! là bội số của m!n!(m+n)! với mọi số nguyên không âm n và m. 4. Tìm t ấ t c ả các nghi ệ m th ự c d ươ ng c ủ a h ệ b ấ t ph ươ ng trình: 5. Cho f và g là hai hàm nhận giá trị thực trên tập các số thực. Với mọi x và y: f(x + y) + f(x - y) = 2f(x)g(y). Hàm f không đồng nhất bằng 0 và |f(x)| 1 với mọi x. Chứng minh rằng: |g(x)| 1 với mọi x. 6. Cho 4 mặ t phẳng khác nhau và song song v ới nhau. Chứng minh r ằng: tồ n tại m ột t ứ diệ n đều v ới m ỗi đỉ nh nằm trên m ỗi m ặt phẳ ng. . tìm được hai tập con rời nhau sao cho các tập đều có tổng như nhau. 2. Cho n > 4. Ch ứng minh rằ ng: mọi tứ giác nội ti ếp đường tròn đều có thể chia thành n t ứ giác n ộ i ti ế p. Cho 4 mặ t phẳng khác nhau và song song v ới nhau. Chứng minh r ằng: tồ n tại m ột t ứ diệ n đều v ới m ỗi đỉ nh nằm trên m ỗi m ặt phẳ ng.