PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG PHỔ THÔNG TRUNG HỌC CHUYÊN VĨNH PHÚC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM BỒI DƯỠNG TƯ DUY GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH THÔNG QUA CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC Người thực hiện : Đào Chí Thanh Tổ : Toán Tin Mã : 55 Số điện thoại : 0985 852 684 Email : thanhtoan@vinhphuc,edu.vn Năm 2012- 2013 ebooktoan.com Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 2 MỤC LỤC Trang Më ®Çu 3 PHẦN I : SỬ DỤNG LƯỢNG GIÁC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ Dạng 1 : Một số bài tập đại số sử dụng hệ thức lượng cơ bản 6 Bài tập tự luyện 11 Dạng 2 : Sử dụng các công thức cộng cung 12 Bài tập tự luyện 15 Dạng 3: Sử dụng các kết quả đã biết của tam giác lượng 16 Bài tập tự luyện 20 Dạng 4:Giải phương trình, hệ phương trình sử dụng lượng giác 21 Bài tập tự luyện 23 PHẦN II - KẾT LUẬN VÀ Ý KIẾN ĐỀ XUẤT 25 Tài liệu tham khảo 27 Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 3 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài: Trong giai đoạn hiện nay, việc cấp bách để tránh đất nước có nguy cơ tụt hậu về kinh tế, khoa học kỹ thuật là phải nâng cao chất lượng giáo dục, thay đổi căn bản phương pháp dạy học.Học sinh phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động tư duy sáng tạo, bồi dưỡng phương pháp tự học học sinh. Bên cạnh đó, hàm số lượng giác và phương trình lương giác là khái niệm khó, trừu tượng đối với học sinh THPT, phân phối thời gian giảng dạy và học tập chiếm thời gian rất ít vì vậy để giải các bài tập lượng giác đối với nhiều học sinh là khá khó khăn. Vì vậy để nâng cao chất lượng dạy và học của học sinh đối với môn toán, giúp các em thấy được các mối liên quan giữa các phần được học trong bộ môn toán với nhau tôi đã tổng hợp , phân loại một số bài toán đại số có thể giải bằng các kiến thức lượng giác nhằm giúp các em có cách nhìn mới , phướng pháp mới để giải một số bài tập đại số. Mặt khác nhằm giúp các em ôn luyện các kiến thức đã học ở chương hàm số và phương trình lượng giác 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của bản sáng kiến kinh nghiệm này nghiên cứu một số bài toán đại số được giải bằng phương pháp khác nhằm góp phần rèn luyện yếu tố tư duy sáng tạo cho học sinh . 3. Giả thuyết khoa học Sử dụng các kiến thức lượng giác để giải một số bài tập đại số nhằm bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh , góp phần đổi mới phương pháp dạy học trong giai đoạn hiện nay và nâng cao chất lượng dạy học toán ở trường phổ thông trung học ebooktoan.com Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 4 4. Nhiệm vụ nghiên cứu Xây dựng và khai thác hệ thống bài tập đại số phù hợp với sự phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh. 5. Phương pháp nghiên cứu - Dự giờ, quan sát việc dạy học của giáo viên và việc học của học sinh trong quá trình khai thác các bài tập sách giáo khoa, các bài tập nâng cao. - Tiến hành thực nghiệm sư phạm với lớp học thực nghiệm và lớp học đối chứng trên cùng một lớp đối tượng. Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 5 SỬ DỤNG LƯỢNG GIÁC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ Dạng 1: Một số bài tập đại số sử dụng hệ thức lượng cơ bản Ta đã biết một số hệ thức lượng cơ bản học sinh đã dược học từ lớp 9, song vận dụng các kiến thức này còn hạn chế. Để thấy được vai trò của các hệ thức cơ bản của lương giác trong toán học tôi đã phân loại ra một số bài tập sau. Các hệ thức cơ bản và hệ quả: 1/ 2 2 sin cos 1    2/ sin tg cos     3/ cos cot g sin     4/ 2 2 1 1 tg cos     5/ 2 2 1 1 cot g sin     6/ tg .cot g 1   Sau đây là một số bài tập minh họa Bài 1 : Cho a 2 + b 2 = c 2 +d 2 = 1 Chúng minh rằng : 1 ac bd   Bài giải : Do a 2 + b 2 = 1 nên đặt sin  = a; cos  = b; Do c 2 + d 2 = 1 nên đặt sin  = c; cos  = d; Thay vào ac + bd thì ta có sin  .sin  +cos  .cos  = cos(  -  ) Lại có cos 1 x  nên ta có 1 ac bd   Bài 2 : Cho x;y thỏa mãn     2 2 3 3 3 x x y y      (1).Tính x + y Bài giải Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 6 Từ (1) chia hai vế cho 3 ta có 2 2 3 3 1 3 3 3 3 x x y y                  Từ biểu thức đã cho ta thấy x>0,y>0 Với a 0; 2         nên ta có thể đặt: 2 2 2 2 ( ) 1 tan ( ) 1 tan (2) 3 3 3 3 ( ) 1 cot ( ) 1 cot (3) 3 3 3 3 x x x x a a y y y y a a                           Bình phương hai vế của (2) và (3) ta có 2 2 2 2 2 2 1 tan 2 tan 3 3 3 1 cot 2 cot 3 3 3 x x x a a y y y a a         Hay 2 2 2 2 tan 1 1 tan 2 tan 2 tan cot (4) tan 3 3 cot 1 1 cot 2 cot 2 cot tan (5) cot 3 3 x x a a a a a a y y a a a a a a               Cộng (4) và (5) ta có: x+ y = 0 (Đpcm). Bài 3: Cho x;y;z đôi một khác nhau thỏa mãn : (x+ z)(z + y) = 1 Chứng minh rằng : 2 2 2 1 1 1 4 ( ) ( ) ( )x y z x z y       Bài giải : Do (x+ z)(z + y) = 1 Với 4 a k   ta đặt : x + y = tan a; y + z = cot a nên x – y = tan a – cot a. Do đó ta cần chứng minh : Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 7 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 4 tan cot 4 (tan cot ) tan cot tan cot 2 a a a a a a a a           2 2 2 2 1 tan cot 2 2 (2) tan cot 2 a a a a        Ta thấy (2) đúng theo bất đẳng thức Cauchy. Bài 4: Cho 0 < x;y;z < 1 thỏa mãn : xyz = (1 – x )(1 – y )(1 – z ) (1) Chứng minh rằng : 2 2 2 3 4 x y z    (2) Bài giải : Từ giả thiết : xyz = (1 – x )(1 – y )(1 – z ) ta có : 1 1 1 . . 1 x y z x y z     Với a;b;c 0; 4         Ta đặt : 1 1 tan . cot 1 .tan cot 1 tan cot 1 1 cot . cot 1 .cot cot 1 cot cot 1 1 tan . 1 .tan 1 tan x a b x x a b x x a b y a b y y a b y y a b z b z z b z z b                         Vậy Bất đẳng thức (2) tương đương: 2 2 2 1 1 1 3 (1 tan ) 4 (1 tan . cot ) (1 cot . cot ) b a b a b       Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:     2 2 2 2 1 tan cot (1 tan )(1 cot ) ; 1 cot cot (1 cot )(1 cot )a b a b a b a b         Điều phải chứng minh tương đương : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 (1 tan ) (1 tan . cot ) (1 cot . cot ) 2 tan cot 1 1 cot cot cot 1 (1 tan )(1 cot )(1 cot ) (1 tan ) 1 cot 1 cot (1 cot ) b a b a b a a b b b a a b b b b b                      Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 8 Ta chứng minh : 2 2 2 2 2 cot cot 1 3 4(cot cot 1) 3(1 cot ) (1 cot ) 0 (1 cot ) 4 b b b b b b b             Đúng Bài 5 : Cho : a 2 + b 2 – 2a – 4b+ 4 = 0 (*) Chứng minh rằng : 2 2 2 3 2(1 2 3) (4 2 3) 4 3 3 2 A a b ab a b           Bài giải : Từ (*) ta có ( a – 1 ) 2 + (b – 2 ) 2 =1 Ta đặt a = 1+ sin x; b = 2 + cos x Thay vào A ta có : 2 2 sin cos 2 3sin .cos 3sin 2 cos2 2 A x x x x x x       (Đpcm) Bài 6 : Chứng minh rằng : 2 2 3 2 3 2 3 1 2 2 x x x       Bài giải :Từ ĐK bài toán ta có 1 sin 2 2 x x a a               Thay vào : 2 2 2 0 1 cos2 1 3 1 3sin sin .cos 3 sin 2 2 2 3 1 3 ( 3cos2 sin 2 ) cos(30 2 ) 2 2 2 a x x x a a a a a a a              Ta có - 1  cos(30 0 + 2a )  1 nên 2 2 3 2 3 2 3 1 2 2 x x x       Bài7: Cho 1  a  3 Chứng minh rằng : 3 2 4 24 45 26 1 S a a a      Bài giải : Ta có : -1  a – 2  1 Nên ta đặt : a – 2 = cos x (0  x   ) Thay vào biều thức S ta có 3 2 4(2 cos ) 24(2 cos ) 45(2 cos ) 26 cos3 1 S x x x x          (đpcm) Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 9 Bài 8: Chứng minh rằng : 2 1 3 2 ( ; 1) a A a a a       Bài giải : Đặt 1 cos a x  ( 0 ; 2 x x      ) Ta có : 2 2 1 1 3 cos 1 cos 3.cos sin 3.cos 2 1 cos x A x x x x x          Bài 9 : Chứng minh rằng :   3 3 2 2 3 4 1 ( ) 1 1 x x S x x x       Bài giải : Đặt x = tan a ( 2 2 a      ) Khi đó 3 3 3 2 2 3 3 3tan tan 4 3tan .cos 4.tan .cos 1 tan (1 tan ) 3sin 4sin sin3 1 a a S a a a a a a a a a           Bài10 : Chứng minh rằng : 2 2 ( )(1 ) 1 ( ; ) (1 )(1 ) 2 a b ab a b a b       Bài giải :Đặt a = tan x; b = tan y với x; y ; 2 2           thì ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 ( )(1 ) (tan tan )(1 tan .tan ) (1 )(1 ) (1 tan )(1 tan ) sin( ).cos( ) cos .cos . cos .cos 1 1 sin( ).cos( ) sin 2( ) ( ; ) 2 2 a b ab x y x y a b x y x y x y x y x y x y x y x y x y                    Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 10 Một số bài tập tự luyện Bài 1/Chứng minh rằng : 2 2 1 1 ) 1 ( , 1; 1) . ) ( )( ) ( ; ; ; 0) a b a a b a b a b b ab cd a c b d a b c d              Bài 2 : Cho a 2 +b 2 = c 2 + d 2 =1 Chứng minh rằng: 2 a(c d) b(c d) 2       Bài 3 :Cho a 2 + b 2 = 1 : Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 1 1 25 a b a b 2                 Bài 4 :Chứng minh rằng: 2 2 3 2 3 2 3x x 1 x 2 2       ( 1  x  -1) Bài 5: Chứng minh rằng:       3 3 2 2 1 1 a 1 a 1 a 2 2 2 2a         (1  a  -1 Bài 6 : Chứng minh rằng: 2 2a a 3a 3 2    ( 2  a  0 ) Bài 7 : Chứng minh rằng:   3 2 4a 24a 45a 26 1 a 1;3      Bài 8 : Cho x 2 + y 2 = 1 . CMR : 5 5 3 3 16( ) 20( ) 5( ) 2 x y x y x y      Bài 9 Cho 0 < x;y;z < 1 thỏa mãn : xyz = (1 – x )(1 – y )(1 – z ) Chứng minh rằng : 2 2 2 1 1 1 12 x y z    Bài 10 Cho x;y thỏa mãn     2 2 4 4 4 x x y y      .Tính x + y [...]... lượng giác Dạng 4 :Giải phương trình, hệ phương trình sử dụng lượng giác Một số phương trình, bất phương trình trong phân môn đại số ngoài cách giải đại số thông thường còn có cách giải lượng giác, mà nhờ nó bài toán được giải nhanh gọn hơn Sau đây là một số ví dụ Bài 1: Giải phương trình sau : 4 x3  3x  1  x 2 Dk : x  1 Bài giải : Đặt x  cos t t  0;   Ta có phương trình : 4.cos3 t – cost... 3    1   x  sin 6  2 1 3 Vậy nghiệm của hệ phương trình :   ;  2 2      y  cos   3  6 2  1 3  là nghiệm của hệ phương trình  2 2  Vậy (x;y )=  ;   x2  y2  1  Bài4 : Giải hệ phương trình :   2( x  y )(1  4 xy )  3  Bài giải :  y  cos b b   0; 2   Đặt  x  sin a a  0; 2  khi đó từ hệ ta có phương trình sau:   6 6  sin   cos   2sin 2 sin ... : 2 y  x(1  y 2 )  Giải hệ phương trình sau :  (HSG _ Quảng Bình) 3 2 3 x  x  y (1  3 x )  Bài giải : Ta thấy y  1; x   1 không là nghiệm của hệ nên hệ phương trình 3 tương đương với 2y  x  1 y2   3  y  3x  x  1  3x 2    Khi đó ta đặt y  tan  (    ; )   2 2   Từ phương trình (1) ta có : x  2 tan   x  tan 2 1  tan 2  Từ phương trình (2) ta có : y  3 tan... PHẦN II - KẾT LUẬN VÀ Ý KIẾN ĐỀ XUẤT 1.Kết luận: Qua thời gian nghiên cứu sáng kiến và vận dụng sáng kiến vào giảng dạy tôi rút ra được một số kết quả sau: Đã hình thành phương pháp tư duy,suy luận toán học cho học sinh THPH.Bên cạnh đó sáng kiến này cũng giúp cho giáo viên, học sinh luyện tập kỹ năng giải các bài toán đại số và các phép biến đổi lượng giác, thúc đẩy quá trình giảng dạy và học tập môn...  5 3 Vậy phương trình có nghiệm: cos ; cos ;cos     8 8 4   Bài 2 : Giải phương trình : 1  1  x 2  x 1  2 1  x 2  Bài giải   Ta có : Đk x  1 theo đó ta đặt : x  sin t t    ;  vậy phương trình  2 2   1  cos t  sin t (1  2 cos t )  2 cos t t 3t   sin t  sin 2t  2.cos 1  2 sin   0 2 2 2   1  t  6 x  2    t   x  1   2 Vậy phương trình có hai... một số đẳng thức; bất đẳng thức đại số được giải bởi các bất đẳng thức; đẳng thức lượng giác Bài1: Với a;b;c là ba số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 1 : Chứng minh rằng: 1  a2 1  b2 1  c2 4abc   1 2 2 2 1 a 1 b 1 c (1  a 2 ).(1  b2 ).(1  c 2 ) Theo đẳng thức : cos A  cos B  cos C  1  4sin A B C sin sin và kết quả 6 ta có 2 2 2 đpcm.Từ : sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC và. .. một bài toán Các em có thể vận dụng các qui trình hay các phương pháp giải các ví dụ vào các bài tập cụ thể.Các em đã biết huy động các kiến thức cơ bản, các tri thức liên quan để giải các bài tập toán,biết lựa chọn hướng giải bài tập phù hợp .Trình bày lời giải hợp lý chặt chẽ, ngắn gọn và rõ ràng hơn 2 Khuyến nghị: a)Nên có các chuyên đề tự chọn để giáo viên và học sinh có thể trao đổi thẳng thắn với... 1  x 3 Bài 2 : Giải các phương trình vô tỷ sau : a) 1  x 2  4 x3  3x b) x 3  (1  x 2 )3  x 2(1  x 2 ) c) x  x 2 x 1  35 12 d) 1  2x 1  x2  1  2 x2 2 e) 1 x  2x2  1 2 f ) 2 x  1  4 x 2  2(8 x 2  1) Bài3: Giải hệ sau : 2 y 3  2 x 1  x  3 1  x  y   2  y  2 x  1  2 xy 1  x  Nghiệm của hệ :  cos   3 3  ; 2.sin  10 20  Bài4 : Giải các hệ sau :  z 2  2 xyz  1... 5 Theo điều kiện ta có k  0; k  1; k  2 Vậy nghiệm của hệ :  0;0  ;  tan   2   2  ; tan  ;  tan ; tan 5 5  5 5 4 2  4 2    ; tan ; tan  ;  tan  tan  5 5  5 5    Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 22 Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác Một số bài tập tự luyện Bài 1: Giải phương trình sau : 1/ 8 x(2 x 2  1)(8 x 4  8 x 2  1)  1 x 2/ x... tâm thế ngại, sợ khi tiếp cận nội dung môn học Nếu có nhiều hình thức tổ chức dạy học kết hợp môn học sẽ trở lên hấp dẫn và người học thấy được ý nghĩa của môn học Về phương pháp dạy học, cần chú ý hơn đến phương pháp lĩnh hội tri của HS, giúp các em có khả năng tiếp thu sáng tạo và vận dụng linh hoạt tri thức trong tình huống đa dạng Rèn luyện cho học sinh thói quen, tính kỉ luật trong việc thực hiện . 0985 852 684 20 Dạng 4 :Giải phương trình, hệ phương trình sử dụng lượng giác Một số phương trình, bất phương trình trong phân môn đại số ngoài cách giải đại số thông thường còn có cách giải. 852 684 5 SỬ DỤNG LƯỢNG GIÁC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ Dạng 1: Một số bài tập đại số sử dụng hệ thức lượng cơ bản Ta đã biết một số hệ thức lượng cơ bản học sinh đã dược học từ lớp. đã học ở chương hàm số và phương trình lượng giác 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của bản sáng kiến kinh nghiệm này nghiên cứu một số bài toán đại số được giải bằng phương pháp khác nhằm