Bài giảng trọng tâm ôn thi đại học môn toán phần Mũ và Loga

Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang LUYỆN THI ĐẠI HỌC TRC TUYN ĐặNG VIệT HùNG BI GING TRNG TM M – LOGA Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 01 ĐẠI CƯƠNG VỀ MŨ VÀ LOGARITH I CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN VỀ LŨY THỪA 1) Khái niệm Lũy thừa Lũy thừa với số mũ tự nhiên: a n = a.a.a a, với n số tự nhiên Lũy thừa với số nguyên âm: a − n = n , với n số tự nhiên a m Lũy thừa với số mũ hữu tỉ: a n = n a m = ( a) n m với m, n số tự nhiên Đặt biệt, m = ta có a n = n a 2) Các tính chất Lũy thừa  a = 1, ∀a  Tính chất 1:   a = a, ∀a   a > 1: a m > a n ⇔ m > n Tính chất (tính đồng biến, nghịch biến):  m n 0 < a < 1: a > a ⇔ m < n   am > bm ⇔ m > Tính chất (so sánh lũy thừa khác số): với a > b >  m m a < b ⇔ m <  Chú ý: + Khi xét luỹ thừa với số mũ số mũ nguyên âm số a phải khác + Khi xét luỹ thừa với số mũ khơng ngun số a phải dương 3) Các cơng thức Lũy thừa Nhóm cơng thức 1: Nhóm cơng thức 2: a m a n = a m + n n am = a n = n ab = n a n b , n a na = , ∀a ≥, b > b nb m am = a m−n an (a ) m n = a mn = ( a n ) m ( ) n m a  a = a ; → a = a3 ; n a = an ∀a, b ≥ Ví dụ 1: Viết biểu thức sau dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ, (coi biểu thức tồn tại) a) A = x x d) D = b) B = 23 3 b3 a a b C = 23 2 c) e) D = a8 f) F = b2 b b b Ví dụ 2: Có thể kết luận số a trường hợp sau? − − a) ( a − 1) < ( a − 1) −3 −1 b) ( 2a + 1) > ( 2a + 1) 1   a c) −0,2 d) (1 − a ) − > (1 − a ) − e) ( − a)4 > (2 − a)  2   f)   >   a a < a2 − Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thức sau:  a) A =    3+ − ( 3−     ) ( 3+ ) +  3− 2   −1 Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH mơn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang b) B = + 10 + + − 10 + 4x 4x + a) Chứng minh a + b = f(a) + f(b) =      2010  b) Tính tổng S = f  + f   + + f    2011   2011   2011  Ví dụ 5: So sánh cặp số sau Ví dụ 4: Cho hàm số f ( x) = π π a)     2 2 6 d)   7 7   8 10 π b)   2 π   5 π e)   6 2 π   5  3 c)   5 10  4   7 2 Ví dụ 6: Tìm x thỏa mãn phương trình sau? 1) x = 1024 4) ( 3 ) 2x 2) 1 =  9 x−2 2   25 x x +1 = 2   5)        27   0, 25  322 x −8 =   0,125   x x 10) ( 12 ) ( ) = −x 125 −x 3) 81 − x = 3 6)   2 27 = 64 11) 71− x.41− x = x −5 x + x −7   9)    49  8) 0, x = 0,008 7) 32 =1 7 =  3 x −3 28 II CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN VỀ LOGARITH 1) Khái niệm Logarith Logarith số a số x > ký hiệu y viết dạng y = log a x ⇔ x = a y Ví dụ: Tính giá trị biểu thức logarith sau log 4; log 81; log 32; log (8 ) Hướng dẫn giải: • log = y ⇔ = ⇔ y =  log = → y • log 81 = y ⇔ 3y = 81 = 34 ⇔ y =  log3 81 = → • log • log → ( ) = 32 = = ( ) ⇔ y = 10  log 32 = 10 → (8 ) = y ⇔ ( ) = = = ( ) ⇔ y =  log (8 ) = 32 = y ⇔ y y 10 Chú ý: Khi a = 10 ta gọi logarith số thập phân, ký hiệu lgx logx Khi a = e, (với e ≈ 2,712818…) gọi logarith số tự nhiên, hay logarith Nepe, ký hiệu lnx, (đọc lenx) 2) Các tính chất Logarith • Biểu thức logarith tồn số a > a ≠ 1, biểu thức dấu logarith x > • log a = ;log a a = 1, ∀a b > c ⇔ a > • Tính đồng biến, nghịch biến hàm logarith: log a b > log a c ⇔  b < c ⇔ < a < 3) Các cơng thức tính Logarith Cơng thức 1: log a a x = x, ∀x ∈ » ,(1) Chứng minh: Theo định nghĩa hiển nhiên ta có log a a x = x ⇔ a x = a x Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Ví dụ 1: log 32 = log 25 = 5;log 16 = log 24 = log ( 2) Trang = Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức sau: a) P = log a a a2 b) Q = log a4 a a a a a a a Hướng dẫn giải: a) Ta có b) Ta có a a a2 a4 a = a.a a 1 a a = a a a a = a a 1+ + a 1 + a2 a.a = 28 a 15 a4 = a = 28 − a 15 = 67 a 60  P = log → 67 a 60 a a.a = a.a = 15 a 16  Q = log → 67  − 60  67 = log   = −   a  60 a a 15 a 16 = log 15 a ( a) = 15 Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thức sau: 1) log 125 = 2) log 64 = 3) log16 0,125 = 4) log 0,125 2 = 5) log 3 3 = 6) log 7 7 343 = Ví dụ 4: Tính giá trị biểu thức sau: ( ) a) P = log a a a a = ( ) b) Q = log a a a a a = Công thức 2: a log a x = x, ∀x > , (2) Chứng minh: Đặt log a x = t ⇒ x = at , ( ) ⇔ at = at Ví dụ 1: 2log = 3, 5log5 = 6, ( ) log  1 = ( )    log = ( )  1 log  = ( ) =  log 64 Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thức sau: 1) 2log8 15 =  log81 1 3)   =  3   log3 ( 9) 2) 2 = 4) = Công thức 3: log a ( x y ) = log a x + log a y , (3) Chứng minh:  x = a log a x  Áp dụng cơng thức (2) ta có   x y = a log a x a log a y = a log a x + log a y → log a y y = a  Áp dụng công thức (1) ta : log a ( x y ) = log a aloga x + loga y = log a x + log a y ⇒ dpcm Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức sau: a) log 24 = log ( 8.3) = log + log = log 23 + log = + log b) log 81 = log ( 27.3 ) = log 27 + log 3 = log 33 + log 3 = + = Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức sau: 4 10 a) log 16 = log + log 16 = log 22 + log 2 = + = 3 Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 b) log 27 = log 27 + log 3  Công thức 4: log a   Chứng minh: − 1     1 = log + log = log   + log    3  3     3 3 c) log 32 = log + log −3 3 32 = log 23 + log 2 = log ( 2) + log 10 = −3 − = − 3 2 Trang ( 2) = + = x  = log a x − log a y , (4) y  x = a log a x x a log a x  Áp dụng công thức (2) ta có   = log y = a log a x −log a y → log y y a a y = a a  x Áp dụng công thức (1) ta : log a   = log a a loga x − loga y = log a x − log a y ⇒ dpcm  y 32 = log 32 − log 16 = log 2 − log 2 = − = 3 16 m Công thức 5: log a b = m.log a b , (5) Chứng minh: Ví dụ: log ( Theo cơng thức (2) ta có b = a loga b ⇒ b m = a loga b ) m = a m.loga b Khi log a bm = log a a m.loga b = m.log a b ⇒ dpcm log 27 = log 33 = 3log 3; log 36 = log 62 = 2log Ví dụ 1: log 32 = log ( 32 ) = log 32 = 4 Ví dụ 2: −4 62.45 1 2log − log 400 + 3log 45 = log 62 − log 400 + log 45 = log = log 81 = log   = −4 3 3 3 20 3 3 50 Ví dụ 3: log − log 12 + log 50 = log − log 12 + log 50 = log = log 25 = 2 Công thức 6: log a n b = log a b , (6) n Chứng minh: ( ) Đặt log a n b = y ⇒ a n y = b ⇔ a ny = b Lấy logarith số a hai vế ta : log a a ny = log a b ⇔ ny = log a b ⇒ y = hay log a n b = log a b n log a b ⇒ dpcm n log 16 = 2.4 = 22 log 64 = log 64 = log 64 = 5.6 = 30 25 log 16 = log 16 = Ví dụ : Hệ quả: Từ cơng thức (5) (6) ta có : log an b m = Ví dụ 2: log 125 = log 53 (5 ) = log 5 = ; m log a b n ( 32 ) = log( ) ( ) 11 log 2 Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) = 11 log 2= 11 Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thức A = log 3 27 = log 3 (3 )  27  log   = log − 3   log  33   3 Trang  27  log 3 27 + log   9  1 log + log   81 3   Hướng dẫn giải: =2  13 13 26 = log 3 = −2 = −  5  − = log 3−4 = −4.2 log 3 = −8  A = → 81 32  27  log 3 27 + log     1 log + log   81 3  log c b Công thức 7: (Công thức đổi số) log a b = , (7) log c a Chứng minh: ( 26 = = −8 + 2− ) Theo công thức (2) ta có b = a loga b ⇒ log c b = log c a loga b = log a b.log c a ⇒ log a b = log c b ⇒ dpcm log c a Nhận xét : + Để cho dễ nhớ đơi (7) cịn gọi cơng thức “chồng” số viết theo dạng dễ nhận biết sau log a b = log a c.log c b log b b + Khi cho b = c (7) có dạng log a b = = log b a log b a Ví dụ 1: Tính biểu thức sau theo ẩn số cho: a) Cho log 14 = a  A = log 49 = ? → b) Cho log15 = a  B = log 25 15 = ? → Hướng dẫn giải: a) Ta có log 14 = a ⇔ a = log ( 2.7 ) = + log ⇒ log = a − Khi A = log 49 = 2log = ( a − 1) 1− a  log = a − = a 1  b) Ta có log15 = a ⇔ a = =   → log 15 + log log = a  1− a  1 log 15 1 B = log 25 15 = = a = a =  B = → log 25 2log − a (1 − a ) (1 − a ) a Ví dụ 2: Cho log a b = Tính a) A = log b a b a b) B = log ab b a Hướng dẫn giải: Từ giả thiết ta có log a b = ⇒ log b a = a) A = log b a b = log a b a b − log b a a= 1 − =  b  b  log log b   a  log a  a         b Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) b − log a b − log a b − log a a = Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 = Trang 1 1 −1 −1 − = − =  A = → − 2log b a log a b − − −2 3−2 −2 b log a  b b a = log a b − = − Cách khác: Ta có A = log b = log   = log b =   b  log a b − a log b 3−2 a a  a2 a  a    a   a b 1 1 b) B = log ab − = − = log ab b − log ab a = a log b ab log a ab log b a + log b b log a a + log b a b = 1 −1 −1 = − =  B = → 1 + log a b 1 1+ 3 +1 +1 log b a + + 2 b2 log a b  b  b a = 2log a b − = − Cách khác: Ta có B = log ab = log =   = log ab ( ab )  a  a log a ab + log a b a 1+ Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thức sau: a) log 3.log 36 = = − b) log 8.log 81 = log 25 = Ví dụ 4: Cho log a b = Tính a a) A = log a b b) B = log b ab b a Ví dụ 5: Tính biểu thức sau theo ẩn số cho: 49 a) Cho log 25 = a; log = b  P = log → =? b b) Cho log ab a =  Q = log ab → =? a Công thức 8: a logb c = c logb a , (8) Chứng minh: c) log ( Theo công thức (7): log b c = log b a.log a c ⇒ a logb c = a logb a.loga c ⇔ a logb c = a loga c Ví dụ 1: 49 log =2 log 49 = = 4; ( 2) log 27 = 27 log 2 ) logb a = c logb a ⇒ dpcm = 27 = 3 Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức sau: a) A = 36log6 + log3 − 3log9 36 = 32 − log3 2.4 = 27 log3 c) C = 81log3 + 27 log9 36 + 34log9 = log b) B = BÀI TẬP LUYỆN TẬP : Bài Tính giá trị biểu thức sau 1) log 25−1 5 2) log 3 729 3) log 4) log 3  log27 81 7)        3 5) log 3 (3 ) 8) 103+2log10 Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) 12 6)   9 27 log 9) 43log8 3+2log16 Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 10) log3 2−2log 27 16) +4 2−log log 2−log 11) 42+log +5 log125 27 12) 14) 10 log10 13) 25log5 + 49log7 1+log Trang 15) 17) 25 log + 49 log 16 log 15 − log 30 log Bài Quy đổi biểu thức sau theo ẩn cho a) Cho log23 = a ; log25 = b Tính log 3; log 135; log 180 theo a, b b) Cho log53 = a, tính log2515 c) Cho log96 = a, tính log1832 d) Cho lg5 = a; lg3 = b Tính log308 Bài Chứng minh đẳng thức sau (với giả thiết biểu thức có nghĩa) a+b = ( lg a + lg b ) , với a2 + b2 = 7ab b) lg ( a + 2b ) − 2lg = ( lg a + lg b ) , với a2 + 4b2 = 12ab log c a + log c b 2a + 3b c) log c = , với 4a2 + 9b2 = 4ab d) Cho log1218 = a, log2454 = b, chứng minh rằng: ab + 5(a – b) = log a c log a b + log a x e) f) log ax bx = = + log a b log ab c + log a x log a N − log b N log a N 1 k (k + 1) , với b2 = ac h) + + + = g) = log a x log a x log a k x 2log a x logb N − log c N log c N a) lg Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 02 HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH Hàm số mũ y = ax (với a > 0, a ≠ 1) • Tập xác định: D = R • Tập giá trị: T = (0; +∞) • Khi a > hàm số đồng biến, < a < hàm số nghịch biến • Nhận trục hồnh làm tiệm cận ngang Hàm số logarit y = loga x (với a > 0, a ≠ 1) • Tập xác định: D = (0; +∞) • Tập giá trị: T = R • Khi a > hàm số đồng biến, < a < hàm số nghịch biến • Nhận trục tung làm tiệm cận đứng Giới hạn đặc biệt x) x x  1 = lim 1 +  = e x →0 x →±∞  x ln(1 + x) ln(1 + u ) lim =  lim → =1 x →0 u →0 x u ex −1 eu − • lim =  lim → =1 x →0 x u →0 u Ví dụ Tính giới hạn sau: • lim (1 + e2 x − 1) lim x →0 x ln(1 + x) 4) lim x →0 x • • lim x →0 − x −1 x →0 x ln(1 + x) 5) lim x →0 2x 2) lim e sin x sin u ( x) =  lim → =1 x →0 u ( x ) x e3 x − e x x →0 x e−4 x − 6) lim x →0 3x 3) lim Hướng dẫn giải:  e2 x −  e −1 1) lim = lim   = x →0 x →0 x  2x  2x 2) lim x →0 e −  −x   e −  −1   −1 = lim   = − x →0 −x    x     x ( e3 x − 1) − ( e2 x − 1) = lim e3 x − − lim e2 x − = − = e3 x − e x = lim x →0 x →0 x →0 x →0 x x x x 3) lim 4) lim ln(1 + x)  ln(1 + x)  = lim  3 = x →0 x  3x  5) lim ln(1 + x)  ln(1 + x)  = lim   = x →0 2x  4x  x →0 x →0  e −4 x −  −4   e−4 x − = lim     = − x →0 x →0 3x  −4 x    6) lim BÀI TẬP LUYỆN TẬP Tính giới hạn sau: ln (1 + x ) 1) lim x →0 x sin 2 2) lim x →0 e x − cos x x2 Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) eax − ebx x x →0 3) lim Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 esin x − esin x 4) lim x x →0  x +1  7) lim   x →+∞  x −   x  5) lim   x →+∞  + x  x −1 x Trang 10  1 6) lim  +  x →+∞  x  3x −  8) lim   x →+∞  x +  x +1 x +1 x  2x +  9) lim   x →+∞  x −  x Đạo hàm hàm mũ logarith  y = a x  y′ = a x ln a → Hàm mũ:   y = au  y ′ = u ′.au ln a →   y = e x  y ′ = e x → Đặc biệt, a = e ta có  u  y = e  y ′ = u ′.eu →   →  y = log a x  y ′ = x.ln a Hàm logarith:   y = log u  y ′ = u ′ → a  u.ln a   →  y = ln x  y ′ = x Đặc biệt, a = e ta có   y = ln u  y ′ = u ′ →  u  Chú ý: Bảng đạo hàm số hàm thường gặp: Hàm sơ cấp Hàm hợp y = k  y′ = → y = ku  y ′ = k u ′ → 1  y′ = − → x x y = x  y′ = → x y= y = x n  y′ = n.x n −1 ⇒ → u′  y ′ = − → u u u′ y = u  y ′ = → u y= y = u n  y′ = n.u n −1 u ′ ⇒ →  y = sin x  y′ = cos x →   →  y = cos x  y ′ = − sin x   →  y = tan x  y ′ = cos x    y = cot x  y ′ = −1 →  sin x   y = sin u  y′ = u ′.cos u →   →  y = cos u  y ′ = −u ′.sin u  u′  →  y = tan u  y ′ = cos u    y = cot u  y′ = −u ′ →  sin u  u uv′ − u ′v  →  y =  y′ = v v2   y = u.v  y′ = uv′ + u ′v →  Ví dụ Tính đạo hàm hàm số sau: x2 − x + y = x3 − x + x+3 Hướng dẫn giải: 1) y = x3 − x + 2) y = ( 1) y = x3 − x + = x3 − 3x + ) 2) y = ( )(  y ′ = x − x3 − x + → ) 3) y = sin ( x − 1) −3 − ′ x2 − x +  x2 − x + 3  x2 − x +   x2 − x +  = →   y′ =     = x+3  x+3   x+3   x+3  3 − − ′  x − x +   (2 x − 1)( x + 3) − x + x −   x − x +  x + x − =     =    x+3   ( x + 3) ( x + 3)   x+3  Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 76  x =  log ( xy ) = log ( 9.2 )  xy = 18   y = Ta có ( I ) ⇔  ⇔ ⇔  x = x + y =  x + y = 27    y =  Vậy hệ cho có nghiệm ( ;3) , ( ;6) Ví dụ Giải hệ phương trình sau:  5log x = log y − log 2 1)  log y = − log x  2 ( log y x + log x y ) =  2)   xy =  log x − log y =  3)  2 x − 5y + =  lg x = lg y + lg ( xy )  4)  lg ( x − y ) + lg x.lg y =  Hướng dẫn giải: 5log x = log y − log  1)  log y = − log x  Điều kiện: x, y > 2 (I )  y3  x = , (1) log x = log y − log   Ta có ( I ) ⇔  ⇔ 8 log y = log 2 − log x  y = , (2)   x2  3  28   x = 22 =  2 x  224  Thay (2) vào (1) ta x5 =  ⇔ x5 = ⇔ x11 = 222   → 28 4x  y = = 16  Các nghiệm thỏa mãn, hệ cho có nghiệm (4; 16) 2 log y x + log x y = 5, (1)  2)   xy = 8, ( )   x > 0, x ≠ Điều kiện:   y > 0, y ≠ ( )  log x y =  y = x2    + log x y  − = ⇔ ( log x y ) − 5log x y + =  → ⇔ Ta có (1) ⇔   log x y =   log x y  y = x   Với y = x , ( ) ⇔ x3 = ⇔ x =  y = → x = x = ⇔ x =   → y = Vậy hệ cho có nghiệm ( ;4 ) , ( ;2) Với y = x , ( 2) ⇔ x log x − log y = 0, (1)  3)  2 ( 2)  x − y + = 0,  Điều kiện: x, y > x x Ta có (1) ⇔ log x − log y = ⇔ log =0⇔ =1⇔ y = x y y x =1 Khi đó, ( ) ⇔ x − x + = ⇔  x = Vậy hệ cho có nghiệm (1;1) , ( ;2) y =1   → y = Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 lg x = lg y + lg ( xy ),  4)  lg ( x − y ) + lg x.lg y = 0,   x > 0, y > Điều kiện:  x > y Trang 77 (1) ( 2)  (1) ⇔ lg x − lg y = lg ( xy ) ⇔ ( lg x − lg y )( lg x + lg y ) = ( lg x + lg y )2 ⇔ ( lg x + lg y ) ( lg x − lg y ) − ( lg x + lg y ) =    lg x + lg y =  xy =  y = ⇔ ⇔ ⇔ x   −2lg y = y =1   y =1 x − y = x  y = 0, ( L) 1 Với y = , ( ) ⇔ lg ( x − y ) + lg x.lg = ⇔ lg ( x − y ) − lg x = ⇔  ⇔ x x  x − y = −x  y = 2x  1 x = 2  = x ⇔ x =   → → x y =  Với y = 1, ( ) ⇔ lg ( x − 1) + lg x.lg1 = ⇔ lg ( x − 1) = ⇔ x − = ⇔ x =   Vậy hệ cho có nghiệm  ;  , ( ;1)   Ví dụ Giải hệ phương trình sau: lg ( x + y )2 =  1)  lg y − lg x = lg   x log3 y + y log3 x = 27  2)  log y − log x =   y + lg x =  3)   y + 4lg x = 28  9log ( xy ) − = ( xy )log  4)  2 ( x + 1) + ( y + 1) =  Hướng dẫn giải: lg ( x + y )2 =  1)  lg y − lg x = lg  x + y ≠ ( I ) Điều kiện:  y >  x ≠   x>0  10  x =     x + y = 10   →  ( x + y ) = 10   y = 20    x + y = 10  y = 2x   ⇔ ⇔ (I ) ⇔  y y=2 x lg = lg     x <  x   x + y = 10   x = −10 →   y = 20  y = −2 x    10 20  Vậy hệ cho có nghiệm  ;  , ( −10 ;20 ) 3   log3 y + y log3 x = 27, (1)  x > 0, x ≠ x 2)  Điều kiện:   y > 0, y ≠ log y − log x = 1, ( )  y = ⇔ y = 3x x log x log x Khi đó, x ( ) + ( 3x ) = 27 ⇔ x1+ log3 x + 2.3log3 x.x log3 x = 27 ⇔ x1+ log3 x + x1+ log3 x = 27 ⇔ x1+ log3 x = Ta có ( ) ⇔ log ( 1+ log x ⇔ log x ) = log 39 ⇔ (1 + log x ) log x = ⇔ ( log x ) x =  log x = + log x − = ⇔  ⇔ x = log x = −2    Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 78 x = y = Từ ta    → x = y =     1 1 Vậy hệ cho có nghiệm ( ;9) ,  ;   3  y + lg x =  3)   y + 4lg x = 28  (I ) Điều kiện: x, y >  y =6  y + 2lg x =  y + 4lg x =   Ta có ( I ) ⇔  ⇔  y − y = 24 ⇔  →  y = 36 →  y = −4  y + lg x = 28  y + 4lg x = 28    Với y = 36 thay vào ta 4lg x = 28 − 36 ⇔ lg x = −2 ⇔ x = 100   Vậy hệ cho có nghiệm  ; 36  100   9log ( xy ) − = ( xy )log , (1)  4)  2 (2) ( x + 1) + ( y + 1) = 1,   xy > Điều kiện:   xy ≠ Đặt t = log ( xy )  xy = 2t → ( ) Khi đó, (1) ⇔ − = 2 t t log ( ⇔ − = 2 t log ) t  t = −1  xy = ⇔ − 2.3 − =   → ⇔  t = xy =   t t Ta có ( ) ⇔ x + y + ( x + y ) + = ⇔ ( x + y ) + ( x + y ) + − xy = 0, (*) x + y = 1 2 TH1: Với xy = , (*) ⇔ ( x + y ) + ( x + y ) + − = ⇔ ( x + y ) + ( x + y ) = ⇔  2  x + y = −2  x + y =   vno →   xy =   Từ ta    x + y = −2    vno →   xy =  x + y = 2 TH2: Với xy = 8, (*) ⇔ ( x + y ) + ( x + y ) + − 2.8 = ⇔ ( x + y ) + ( x + y ) − 15 = ⇔   x + y = −5  x + y =  vno →    xy = Từ ta   x + y = −5   vno →   xy =  Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 79 BÀI TẬP LUYỆN TẬP:  log x y + log y x = 1)   x − y = 20  log x + log y = + log 2)   x + y − 20 = log ( x + y ) =  3)  2 log x + log y =  3x + y = 81  4)  log x + log y =   x + y = 25 5)  log x − log y = 6) 4 x − y =  7)  log ( x + y ) − log ( x − y ) =  log xy =  8)  x log y =  lg x + y = + lg8  9)  lg ( x + y ) − lg ( x − y ) = lg   x log ( xy ) log   = −3 10)   y  2 log x + log y = log xy ( x − y ) =  11)  log xy ( x + y ) =   x log8 y + y log8 x =  12)  log x − log y =  log x (3 x + y ) =  13)  log y (2 x + y ) =   4log x = y + 12  14)  x y =2  2+ x y 4log ( xy ) = + ( xy )log  15)   x + y − x − y = 12  log x + log 7.log y = + log  16)  3 + log y = log (1 + 3log x )   x = + 6log y  17)  x x +1  y = y +   23 x +1 + y − = 3.2 y + x  19)   3x + + xy = x +   22 x − y + x = 21+ y  20)  log x ( log y − 1) =   x −1 + − y =  18)  3log9 x − log y =   = ( x + y) x− y  21)   y− x ( x + y ).2 = 48 2 x2 + y2 =   log ( x + y ) − log ( x − y ) =  Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) ( ) ( ) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 80 CÁC BÀI TOÁN NÂNG CAO VỀ PT, BPT, HPT MŨ VÀ LOGARITH - PHẦN Giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình sau: 2x 18 1) x −1 + = x −1 1− x 2) log (3x − 1) + = + log ( x + 1) x +1 + 2 +2 +2 log ( x +3) 3) log x x − 14 log16 x x + 40 log x x =0 4) ( log 27 x − x + ( ) = log )  x −1   + log ( x − 3)   ( 5) log x + = x − log x +1 − ( 7) + ) log x ( + x 2− ) log x  x2 + x +  6) log   = x + 3x +  2x + 4x +  ) 8) x log2 x + x −3log8 x − = = + x2 9) 5.32 x −1 − 7.3x −1 + − 6.3x + x +1 = 10) log x + log x = 11) log ( x + ) ≥ log ( 22 x +1 − 3.22 ) x − y + =  12)   log x − log y =  2 13) 16log 27 x x − 3log x x = 14) log x + log x = log 1 2 x − 3x + + log (x − 1) ≥ 2 15) log  15    17) log  log 0,5  x −   ≤ 16     19) 21) ( >3 x +5 x − ) +1 −x +x 18) 6log6 x+2 + 2− x 16) log ( x − 1) + + x +1 x − 20) 2 2x 22) log x − log x3 − = −6 ( log x )( log x ) 24) log 25) log ( x3 + 1) − log ( x + x + 1) = log x 26) x 27) log ( log 27 x ) + log 27 ( log x ) = x.log 25 x log x = log125 x 28) ( ) log3 = x 2 log3 x − 7.x log3 ) ( ) ( x − x + 5) + − log ( x − x + 5) = ( log x − + log x + = log x+ − 29) + log 30) ( log 2 2  x x + log x x ) log x +  log + log x   2  log x =  x Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 81 CÁC BÀI TOÁN NÂNG CAO VỀ PT, BPT, HPT MŨ VÀ LOGARITH - PHẦN Giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình sau:  x3   32  1) log x − log   + log   < 4log x 1  x  2 3) log x < log 1 + x − 3 ( 2) ) 4)  4x −  5) log  ≥ x  x−2    log x 7) 2 +x log x 9) 3log3 x − 18 x > log ( log x −1 x +3>0 10) ( x − 1) ) ( ) − log x > log x ( ( ) log  4( x −1)    ) = ( x − 1) ( ) ( 18) 52 x − 4 − 7.5 x 19) x +1 ≤ x − 12.5 + ) ( ) ) 16) log x − x − + 3log x + x − = >3 11.3x −1 − 31 ≥5 4.9 x − 11.3x −1 − 20) 13x − ≤ (13x + 12 ) − 13x + ( 21) log x + = log 2 + x − ( ) ( ( ) 22) x.log + log 3x − = log 3x +1 − )  x2  24) log   + log ( x ) = 8   x − +1 25) log x + log x.log ( x − 1) + = 3.log x + 2log ( x − 1) ( log x −1 ( x −1) 14) log x − x − = 2log x − x − ( 23) 2.log x = log x.log 5 3 ≥      ) 12) log x − + x = log 8 ( x + )    15) log  x ( x − 1)  + log x.log x − x − =   2.5 x ( 8) ) ) ≥1 log ( x − 1) > log 1 + x − 2 2 13) log + x = log x 17) x + x −1 6) 0,12 11) log x − x − = log x − x − ( ( log 3x − 26) ( log x ) = log x.log ) ( ) ) 2x + −1 27) log  log 3x +  > −1   ( ) ( ) ( ) ( ) 28) log x + x + + log x − x + = log x + x + + log x − x + Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 82 MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP VÀ CHỌN LỌC VỀ MŨ VÀ LOGARITH Bài Giải bất phương trình sau: lg ( x − 1)  Điều kiện 1 − x > ⇔ x < −1 1 − x ≠  Bất phương trình cho tương đương với ( ) lg x − − lg (1 − x ) lg (1 − x ) { {  − x −1 <  1− x > lg ( − x − 1) 0 x +1 > Điều kiện  ⇔ −1 < x ≠  x − 3x − ≠ Bất phương trình cho tương đương với log ( x + 1) − 3log 2.log ( x + 1) ( − log3 ) log ( x + 1) > >0⇔ x−4 ( x + 1)( x − )  log ( x + 1) >  x > log ( x + 1) x > ⇔ > ⇔  ⇔ x−4  log ( x + 1) < x <   x2 lg x + lg  x − 3x + > x >  Điều kiện  x > ⇔ 0 < x < 1; x ≠ 2 x ≠   Bất phương trình cho tương đương với ( ) lg x − x + − lg ( x ) lg x lg >0⇔ x − 3x + x2 >0 lg x Xét hai trường hợp Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 83 •  x − 3x +   x − 3x + > x lg 3 x + x − < >0⇔ (Hệ vô nghiệm) ⇔   4x2 2 x > lg x > x >   •  + 33  x − 3x + 3 x + x − > x < − 2 lg < ⇔  x − 3x + < x ⇔  ⇔    x2 2x < x< 33 −   lg x <  ) ⇒  ⇔ t − 18t + 32 < ⇔ < t < 16 ⇔ < x log x < 16 t t >  log x > log x > log x   Với x > ⇒ log x < log x 16 ⇔ log x < ⇔ < log x < ⇔ < x < log x > log x >   log x > log x < log x  1  Với < x < ⇒ log x > log x 16 ⇔ log x < ⇔ −2 < log x < −1 ⇔ < x < log x < log x <   1 1 Kết luận tập nghiệm bất phương trình S =  ;  ∪ ( 2; ) 4 2 Bài Giải bất phương trình sau: a) log3 x.log2 x < log3 x + log2 x Điều kiện x > Bất phương trình cho tương đương với log x.log x < log x + log x − ⇔ ( log3 x.log x − log x ) < log x −  log x >  log x < ⇔ ( log x − 1) ( log x − ) < ⇔   ⇔3< x <  log x <  log x >  Kết hợp điều kiện ta có nghiệm S = ( 3; ) b) log x + log x < + log x log x Điều kiện x > Bất phương trình cho tương đương với Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 84  log x − >  log x − >  > ( log x − 1) < ( log x − 1) log3 x ⇔ ( log x − 1) ( log3 x − 1) > ⇔  log3 x − < ⇔  x < x  log x − <   Kết hợp điều kiện x > suy nghiệm S = ( 0; ) ∪ ( 3; +∞ ) Bài Giải bất phương trình sau: a) (4 x − 16 x + 7).log3 ( x − 3) > Điều kiện x > Bất phương trình cho tương đương với ( x − 1)( x − ) log ( x − 3) > ( x − ) log ( x − 3) > ⇔  x > x >    x >  x >     x > x > log ( x − 3) >   ⇔ ⇔ ⇔  7  3 < x <   3 < x <  3 < x <      x <  log ( x − 3) <   7 Vậy bất phương trình ban đầu có tập hợp nghiệm S =  3;  ∪ ( 4; +∞ )  2 b) (4 x − 12.2 x + 32).log2 (2 x − 1) ≤ Điều kiện x > ( Bất phương trình cho tương đương với ( )( ) ( )( { )  2x − x − ≤  2≤ x≤3    x ≥1  log (2 x − 1) ≥  2 ≤ x ≤ x − x − log (2 x − 1) ≤ ⇔   ⇔  x ≥ ⇔  x  x ≤1  x  − − ≥  x ≤   log (2 x − 1) ≤  x ≤    )( ) 1  Kết hợp điều kiện ta có nghiệm S =  ;1 ∪ [ 2;3] 2  Bài Giải bất phương trình sau: a) (x + 1)log2 x + (2 x + 5) log 0,5 x + ≥ 0,5 Điều kiện x > Đặt log 0,5 x = t ⇒ ( x + 1) t + ( x + ) t + ≥ ⇔ ( x + 1) t + ( x + 1) t + ( 3t + ) ≥ ⇔ t ( t + )( x + 1) + ( t + ) ≥ ⇔ ( t + ) t ( x + 1) + 3 ≥ ⇔ ( t + )  − ( x + 1) log 0,5 x − 3 ≤     ( ∗) Xét hàm số f ( x ) = − ( x + 1) log 0,5 x − với x > Dễ thấy hàm số nghịch biến, f ( ) = Với x > ⇒ f ( x ) < , ( ∗) ⇔ log 0,5 x + ≥ ⇔ x ≤ (Loại) Với x ≤ ⇒ f ( x ) ≥ , ( ∗) ⇔ log 0,5 x + ≤ ⇔ x ≥ Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Kết luận bất phương trình cho có nghiệm Trang 85 ≤ x≤2 b) log (2 x + 1) + log (4 x + 2) ≤ Điều kiện x ∈ » Xét hàm số f ( x ) = log (2 x + 1) + log (4 x + 2); x ∈ » Hàm số liên tục đồng biến Mặt khác f ( ) = nên bất phương trình cho có nghiệm x ≤ Bài Giải bất phương trình sau: a) > log ( x + 1) log3 ( x + 1) Điều kiện −1 < x ≠ Bất phương trình cho tương đương với log 3 − log > ⇔ > ⇔ log ( x + 1) > ⇔ x > log ( x + 1) log ( x + 1) log ( x + 1) Suy nghiệm cần tìm: x > 5+ x 5− x < b) x − 3x + lg Điều kiện { −5 < x < x ≠1 Xét hàm số f ( x ) = x − x + hàm số nghịch biến » f ( x ) = • Với x > ⇒ f ( x ) < , bất phương trình cho trở thành lg • 5+ x 5+ x >0⇔ >1⇔ < x < ⇒1< x < 5− x 5− x Với x < ⇒ f ( x ) > , thu lg 5+ x 5+ x x >  x >  x >1  log ( − x ) <  x > −2 x > ⇔ ( x − 1)  − log ( − x )  > ⇔   ⇔ ⇔    x <  x < −2  x   x < −2 )   ( { { Kết hợp điều kiện suy nghiệm x < −2 ∨ x ∈ (1; ) Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 b) ( Trang 86 ) log 35 − x >3 log (5 − x ) Điều kiện x < 35 Khi log5 ( − x ) > Bất phương trình cho tương đương với ( ) log5 35 − x3 − log5 ( − x ) log5 ( − x ) > ⇔ log5 35 − x3 (5 − x ) > ⇔ 35 − x3 + ( x − 5) > ⇔ 15 x − 75 x + 90 < ⇔ x − x + < ⇔ < x < Đối chiếu điều kiện thu tập nghiệm S = ( 2;3) Bài Giải bất phương trình sau (Trùng với câu 1b 2a) log (x + 1) − log (x + 1) a) >0 x − 3x − ( ) lg x − 3x + b) >2 lg x + lg Bài Giải bất phương trình sau: log (x − 1) a) 2x − x2 + Bất phương trình cho tương đương với log ( x − 1) < ⇔ x − > ⇔ x > Kết luận nghiệm S = ( 2; ) b) log x − log x < log x log x Điều kiện x > 5 log x log 1 3 < ⇔ log < ⇔ < x < − < ⇔ ⇔ x < 3 − x ≠  Khi log ( − x ) > Bất phương trình cho trở thành Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 ( Trang 87 ) log x − x + − log ( − x ) < ⇔ x − x + < x − x + ⇔ x > − Vậy bất phương trình cho có nghiệm − < x < b) x−5 ≥0 log ( x − ) − Điều kiện ≤ x ≠ + Nhận xét x = nghiệm bất phương trình Với < x ≠ + bất phương trình trở thành log ( x − 4) −1 > ⇔ x − > ( ⇔ x > 4+ ) Kết luận nghiệm bất phương trình S = {5} ∪ + 2; +∞ Bài 11 Giải bất phương trình sau: a) + log (x + ) > 2x +1 x Điều kiện x > −2; x ≠ − ; x ≠ Bất phương trình cho tương đương với b) ( ) ( log ( x + ) x ) log x − x + 11 − log11 x − x − 11 − 4x −1 < x ( x + 1) >0 − x − 3x  x − x − 11 >  Điều kiện  ⇔ −2 < x < − 15 3 x + x − <  ( ) Nhận xét: log x − x + 11 2 = log ( x − ) +  > log >   ( ) Mặt khác xét hàm số f ( x ) = x − x + 11; x ∈ −2; − 15 ( ) Hàm số liên tục nghịch biến miền −2; − 15 nên ( ) f ( x ) < f ( −2 ) = ⇒ log11 x − x + 11 < ( ) ( ) Suy log5 x − x + 11 − log11 x − x + 11 > ( ) Vậy bất phương trình cho có nghiệm S = −2; − 15 Bài 12 Giải bất phương trình sau: a) (x ) − x + + log x + x ( 8x − x ) − +1 ≤ Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 88  x2 − x + ≥  x =1 Điều kiện 2 x − x + ≤ ⇔  x = x >  ( ) • Với x = , bất phương trình trở thành log + ≤ (Nghiệm đúng) • Với x = , bất phương trình trở thành log + ≤ (Loại) Kết luận nghiệm S = {1} ( ) 2  b) + x − x + 12  − 1 ≤ x  ( 14x − 2x ) − 24 + log x x  x − x + 12 ≥  x = Điều kiện 2 x − x + 12 ≤ ⇔  x = 0 < x ≠  ( ) Với x = , bất phương trình cho trở thành − 2 ≤ log (Loại) 3 Với x = , bất phương trình cho trở thành −1 ≤ log (Nghiệm đúng) Vậy bất phương trình cho có nghiệm x = Bài 13 Giải bất phương trình sau:  3x −1  a) log x − log   16  ≤   4 Giải: ĐK: x >   3   BPT ⇔ log ( 3x − 1) log ( 3x − 1) − log 16  ≤ ⇔ log ( 3x − 1)  − log ( 3x − 1)  ≤  4   x log ( − 1) ≥ 3 x − ≥ x ≥ ⇔ ⇔ x ⇔ 0 ≤ x ≤ log ( 3x − 1) ≤ 3 − ≤   18 − x  b) log 18 − x log   ≤ −1   ( ( ) )      + 2− Đáp số: x ∈  log 18 − 2  ; + log  9.2 −             Bài 14 Giải bất phương trình sau: a) log x + log x ≤ Giải: ĐK: x > 0; x ≠ Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 89  log x < −1 0 < x < ≤ ⇔ log x + ≤ ⇔  − 13 BPT ⇔ log x + + 13 ⇔  3− 13  3+ 13 log8 x + log x < log x <     x <   ĐK: 2 x > ⇔  x > ⇔ x ∈ ( 0;1) ∪ (1; ) ∪ ( 3; +∞ ) 2 x ≠   x ≠   x >  1  1 Nếu x ∈  0;  ta có: ( ) ⇔ x − x + > x ⇔ x − x + > ⇔  ⇔ x ∈  0;   2  2 x  ĐK:  x ≠ x ≠  Nếu < x < ta có: ( ) ⇔ x−5 ≤ ⇔ x − ≤ ⇔ −1 ≤ x ≤ 11 ⇔ < x < 6x x Nếu < x ≠ ta có: ( ) ⇔ x−5  x ≥ 11 ≥ ⇔ x−5 ≥ ⇔  ⇔ x ≥ 11 6x x  x ≤ −1 Vậy tập nghiệm BPT là: S = ( 0;1) ∪ (11; +∞ ) Bài 17 Giải bất phương trình sau: 1  a) log x  x −  ≥ ( ) 4  Giải: ĐK: < x ≠ 1 Nếu < x < ta có: ( ) ⇔ x − ≤ x ⇔ < x < 4 Nếu x > Ta có ( ) ⇔ x − ≥ x ⇒ L 1  Vậy tập nghiệm BPT S =  ;1 4  b) log x (4 x + 5) ≤ Đáp số: S = [5; +∞ ) Bài 18 Giải bất phương trình sau: log x − log x − 2 ≥0 x log 2 ĐKXĐ: x > 0, x ≠  ( log x − )( log x + 1) ≥   x ≥  log x ≥ ( log x − )( log x + 1) ≥ ⇔ log x − > BPT ⇔ ⇔ ⇔ 1  log x −  −1 ≤ log x <  ≤ x <   ( log x − )( log x + 1) ≤ 2   log x − <  1  2  Kết hợp ĐKXĐ ta x ∈  ,1 ∪ [ 4, +∞ ) Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn ...Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 01 ĐẠI CƯƠNG VỀ MŨ VÀ LOGARITH I CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN VỀ LŨY THỪA 1) Khái niệm Lũy thừa Lũy thừa với số mũ. .. 15( x + 1) Bài Giải phương trình sau (mũ hóa kết hợp với sử dụng tính đơn điệu) Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH... =  3 x −3 28 II CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN VỀ LOGARITH 1) Khái niệm Logarith Logarith số a số x > ký hiệu y viết dạng y = log a x ⇔ x = a y Ví dụ: Tính giá trị biểu thức logarith sau log 4; log