HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
ĐỀ THI KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG MÔN THI ĐẠI HỌC
NĂM 2010 – 2011
I
1
)
Tập xác định:
)
Sự biến thiên )
Chiều biến thiên
2
y x x x x ; ' 0y 0 x 2 Hàm số đồng biến trên (0; 2) , nghịch biến trên ( ;0) và trên (2;)
0,25
)
Cực trị Hàm số đạt cực đại tại x CD 2; y CD y(2) 0 Hàm số đạt cực tiểu tại x CT 0; y CT y(0)4 )
Giới hạn tại vô cực
0,25
)
Bảng biến thiên
x 0 2
y’ 0 + 0
y 0
-4
0,25
)
Đồ thị
0,25
2 yf x( )x33x2 4(x1)(x 2)2
Xét g x( )x x( 3)2 x x( 3)2 f x( 1) Đồ thị (H) của hàm số y g x ( ) được suy
ra rừ (C) như sau: Tịnh tiến (C) sang phải 1 đơn vị dọc Ox được ( )C , bỏ phần phía dưới1
Ox của ( )C , lấy phần giữ lại đem đối xứng qua 1 Oxđược (H) như hình vẽ:
0,50
1
4
Trang 2Số nghiệm của phương trình x x( 3)2 7 log (2 m37) bằng số giao điểm của đường
thẳng ylog (2 m37) 7 với đồ thị (H)
Qua đồ thị ta thấy
khi log (2 m37) 7 4 log (2 m37) 11 m2011
thì phương trinh đã cho có đúng 3 nghiệm
Vậy m 2011 là giá trị cần tìm
0,50
II
1
Giải phương trình: 3(2 cos2 xcosx 2) (3 2cos )sin x x0
(2sinx 3)( 3 sinx cos ) 0x
3 sin
2 1 tan
3
x x
0,50
2 3 2
3 6
2
Giải phương trình: ln(cosx1)ecosx1 Đặt ln(cosx1)t khi đó ta được
cos
cos 1
cos
x
t
t e
x e
Xét hàm ( ) t
f t e t có '( ) t 1 0
f t e t nên từ (1) được tcosx khi đó ta được 1
t
Xét ( )g t e t t 1 có '( )g t e t 1 0 t 0 Có BBT
Qua BBT thấy t 0
( ) 0
g t t g’(t) - 0 +
g t t
g(t)
0,25
Với t 0 ta được cos 0 ( )
2
0
4
4
3 1
Trang 3Tính
4
2 6
cot sin 1 sin
x
4
6
cot sin 2 cot
x
2
1 3
IV
Hạ IH BC, gọi K là trung điểm của AB
2
ABCD
S AB CD AD a ; 1 2
2
ABI
S AB AI a ;
2 1
DCI
a
S DC DI suy ra 2
3 2
a
S S S S Mặt khác BC BK2KC2 a 5 nên
5
BIC
IH
BC
0,50
Do (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với (ABCD) nên giao tuyến SI của hai mặt phẳng đó
vuông góc với (ABCD) suy ra SI IH
0
BC IH
BC SI
0 3 15 tan 60
5
a
SI IH
.
0,50
Đặt t x m (t0) x t 2 m (1)
khi đó (*) trở thành m2(1 2 ) t m t2 4 2t2 t0 0,25
m t t m t t
Từ (1) suy ra (*) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi 0,25
S
C
D I
I
H H
K
Trang 4m t t
m t t
(2) có nghiệm duy nhất trên 0;
Xét f t( ) t2 t có đồ thị là ( )P và 1 g t( ) t2 t 1 có đồ thị là ( )P trên 2 0; như
hình vẽ:
Số nghiệm của (2) bằng số giao điểm của đường thẳng
y m với đồng thời cả ( )P và 1 ( )P trên cùng một hệ2 trục toạ độ
Qua đồ thị ta thấy (2) có nghiệm duy nhất trên 0;
khi và chỉ khi 5
4
m hoặc 1 m0
0,50
VI.a
1
AC qua M(1;1) vuông góc với BH x y: 3 0 nhận (1; 1)
BH
làm vtpt có phương trình x y 0
AC cắt ( ) :d x 2y 2 0 tại A có toạ độ thoả mãn hệ
( 2; 2)
A
C đối xứng với ( 2; 2)A qua M(1;1) nên (4; 4)C
0,25
Dễ thấy đường thẳng ( ) :d x 2y 2 0 không tạo với các trục toạ độ góc 45 nên 0 BC
không song song với các trục toạ độ ( )d có hệ số góc bằng 1
2, gọi k là hệ số góc của
BC khi đó ta có
2 1
2
2
k
0,25
Với k 3 ta có BC y: 3(x 4) 4 hay BC: 3x y 8 0 khi đó ( ;5 17)
Với 1
3
k ta có BC x: 3y16 0 khi đó ( 25 19; )
2 2
2
Khi x thì (1 1)2 1 n bằng tổng các hệ số trong khai triển nên 2n 32768 n15 0,50
Số hạng thứ k 1 trong khai triển: 2 3
1 ( )
k
x
do đó với n 15 thì số hạng thứ 10 trong khai triển là 6 6
15
C x
0,50
5/ 4
2
2
1
O
1
2
( ) P
1
( ) P
A
B
H
(1;1)
M
C
Trang 5Giải phương trình: 4x 5 6x10x22x (*)4
4
x Khi đó (*) 4x 5 (x2) 6x10 ( x3) x21
2
1
x
(do với 5
4
x thì 4x và 5 x 2 0 6x10 )x 3 0
0,25
x
1
x
(thử lại thấy thoả mãn) Vậy x là nghiệm của phương trình1
0,50
(C) tâm (0;0)O bán kính R cắt 1 1 Ox tại A1(1;0) và A 2( 1;0)
cắt Oy tại B1(0;1) và B2(0; 1)
Dễ thấy (2; 2)I và (0;0)O cùng thuộc đường thẳng y x
Do ,A B là giao điểm của (C) và (C’) nên ABOI
Hay đường thẳng AB có hệ số góc k 1
0,5
Mặt khác 1 1
1 1 2
A B IO
A B
2 2 2
A B IO
A B
đồng thời
2
AB IO AB
1 1
)AB A B
có phương trình x y 1 0
2 2
)AB A B
có phương trình x y 1 0
0,5
2
Khi n 5 ta có:
P x x C x x C x x C x x C x x C x x C
trong đó chỉ 4 2
5( )
C x x và 5
3( 2 )2
C x x có chứa x Do đó hệ số của 2 x trong khai triển là2
4 3
5 5 5
C C
0,50
VII.b
Giải phương trình: 2 1
2x 3x 1 4x 3
x
)
Khi x 0 phương trình trở thành 12 3 2 12 3 4
x x x x (1)
Đặt t 12 3 2 (t 0)
x x
(1) t t 6 0 t3 2 3 37
14
0,50
)
Khi x 0phương trình trở thành 12 3 2 12 3 4
Trang 6Đặt t 12 3 2 (t 0)
x x
Từ (2) t2 t 6 0 t2 2x2 3x1 0 3 17
14
x
Chú ý:
- Câu hình thí sinh không vẽ hình thì không chấm điểm
- Các câu khác, thí sinh làm cách không như hướng dẫn mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa