giáo trình cơ học kỹ thuật phần tĩnh học của trường đại học bách khoa đà nẵng dùng cho các học sinh chuyên lý và sinh viên các ngành kỹ thuật công nghệ giáo trình của đại học bách khoa là giáo trình hay nhất của các trường kỹ thuật trên nước
I HC À NNG TRNG I HC BÁCH KHOA KHOA S PHM K THUT B MÔN C K THUT À NNG 2005 GIÁO TRÌNH C LÝ THUYT I PHN TNH HC CHNG I CÁC KHÁI NIM C BN - H TIÊN TNH HC Tnh hc vt rn là phn c hc chuyên nghiên cu s cân bng ca vt rn di tác dng ca các lc. Trong phn tnh hc s gii quyt hai bài toán c bn : 1- Thu gn h thc v dng đn gin. 2- Tìm điu kin cân bng ca h lc. gii quyt các bài toán trên, ta cn nm vng các khái nim sau đây : §1 . CÁC KHÁI NIM C BN 1.1 Vt rn tuyt đi : Vt rn tuyt đi là vt mà khong cách gia hai đim bt k ca vt luôn luôn không đi (hay nói cách khác dng hình hc ca vt đc gi nguyên) di tác dng ca các vt khác. Trong thc t các vt rn khi tng tác vi các vt th khác đu có bin dng. Nhng bin dng đó rt bé, nên ta có th b qua đc khi nghiên cu điu kin cân bng ca chúng. Ví d : Khi di tác dng ca trng lc P dm AB phi võng xung, thanh CD phi giãn ra. (hình 1) Nhng do đ võng ca dm và đ dãn ca thanh rt bé, ta có th b qua. Khi gii bài toán tnh hc ta coi nh dm không võng và thanh không dãn mà kt qu vn đm bo chính xác và bài toán đn gin hn. Trong trng hp ta coi vt rn là vt rn tuyt đi mà bài toán không gii đc, lúc đó ta cn phi k đn bin dng ca vt. Bài toán này s đc nghiên cu trong giáo trình sc bn vt liu. Hình 1 a ) P f b) D C A P f B Chng I Các khái nim c bn-H tiên đ tnh hc Trang 1 GIÁO TRÌNH C LÝ THUYT I PHN TNH HC đn gin, t nay v sau trong giáo trình này chúng ta coi vt rn là vt rn tuyt đi. ó là đi tng đ chúng ta nghiên cu trong giáo trình này. 1.2 Lc : Trong đi sng hng ngày, ta có khái nim v lc nh khi ta xách mt vt nng hay mt đu máy kéo các toa tàu. T đó ta đi đn đnh ngha lc nh sau : Lc là đi lng đc trng cho tác dng tng h c hc ca vt này đi vi vt khác mà kt qu làm thay đi chuyn đng hoc bin dng ca các vt. Qua thc nghim, tác dng lc lên vt đc xác đnh bi ba yu t : 1. im đt lc 2. Phng, chiu ca lc 3. Cng đ hay tr s ca lc. n v đo cng đ ca lc trong h SI là Newton (kí hiu N) Vì vy, ngi ta biu din lc bng véct. Ví d: Lc F f biu din bng véct A B (hình 2). Phng chiu ca véct A B biu din phng chiu ca lc F f , đ dài ca véct A B theo t l đã chn biu din tr s ca lc, gc véct biu din đim đt ca lc, giá ca véct biu din phng tác dng ca lc. 1.3 Trng thái cân bng ca vt : B F f A Hình 2 Mt vt rn trng thái cân bng là vt đó nm yên hay chuyn đng đu đi vi vt khác “làm mc”. thun tin cho vic nghiên cu ngi ta gn lên vt chun “làm mc” mt h trc to đ nào đó mà cùng vi nó to thành h quy chiu. Ví d nh h trc to đ -cát Oxyz chng hn. Trong tnh hc, ta xem vt cân bng là vt nm yên so vi trái đt. 1.4 Mt s đnh ngha : 1. H lc : H lc là tp hp nhiu lc cùng tác dng lên vt rn. Mt h lc đc kí hiu ( n FFFF f f f f , ,,, 321 ). 2. H lc tng đng : Hai h lc tng đng nhau, nu nh tng h lc mt ln lt tác dng lên cùng mt vt rn có cùng trng thái c hc nh nhau. Chng I Các khái nim c bn-H tiên đ tnh hc Trang 2 GIÁO TRÌNH C LÝ THUYT I PHN TNH HC Ta biu din hai h lc tng đng nh sau : ( n FFFF f f f f , ,,, 321 ) ~ ( m PPPP f f f f , ,,, 321 ) trong đó: du ~ là du tng đng. Nu hai h lc tng đng ta có th hoàn toàn thay th cho nhau đc. 3. H lc cân bng : H lc cân bng là h lc mà di tác dng ca nó, vt rn t do có th trng thái cân bng. 4. Hp lc : Hp lc là mt lc tng đng vi h lc. Ví d : Lc R f là hp lc ca h lc ( n FFFF f f f f , ,,, 321 ), ta kí hiu R f ~ ( n FFFF f f f f , ,,, 321 ) §2. H TIÊN TNH HC Trên c s thc nghim và nhn xét thc t, ngi ta đã đi đn phát biu thành mnh đ có tính cht hin nhiên không cn chng minh làm c s cho môn hc gi là tiên đ này. 2.1 Tiên đ 1: (Hai lc cân bng) iu kin cn và đ đ hai lc tác dng lên mt vt rn cân bng là chúng có cùng phng tác dng, ngc chiu nhau và cùng tr s. Trên hình 3, vt rn chu tác dng bi hai lc 1 F f và 2 F f cân bng nhau. Ta kí hiu : ( 1 F f , 2 F f ) ~ 0. ó là điu kin cân bng đn gin cho mt h lc có 2 lc. 2.2 Tiên đ 2 : (Thêm hoc bt mt h lc cân bng) Hình 3 2 F f A B 1 F f Tác dng ca mt h lc lên mt vt rn không thay đi nu ta thêm vào hay bt đi hai lc cân bng nhau. Theo tiên đ này, hai h lc ch khác nhau mt h lc cân bng thì chúng hoàn toàn tng đng nhau. T hai tiên đ trên, ta có h qu : H qu trt lc : Tác dng ca mt h lc lên mt vt rn không thay đi khi ta di đim đt ca lc trên phng tác dng ca nó. Chng I Các khái nim c bn-H tiên đ tnh hc Trang 3 GIÁO TRÌNH C LÝ THUYT I PHN TNH HC Chng minh : Gi s ta có lc F f tác dng lên vt rn đt ti đim A (hình 4). Trên phng tác dng ca lc F f ta ly mt đim B và đt vào đó hai lc và cân bng nhau, có véct nh trên hình v và tr s bng F. 1 F f 2 F f Theo tiên đ 2 thì : F f ~ ( F f , 1 F f , 2 F f ) Nhng theo tiên đ 1 thì : ( 1 F f , 2 F f ) ~ 0, do đó ta có th b đi. Nh vy, ta có : F f 1 F f 2 F f F , , ) ~ 1 f F f ~ ( iu đó chng t lc F f đã trt t A đn B mà tác dng ca lc không đi. H qu đã đc chng minh Chú ý : Hai tiên đ trên và h qu ch đúng cho vt rn tuyt đi. Còn đi vi vt rn bin dng các tiên đ 1, 2 và h qu trt lc không còn đúng na. Ví d : Trên hình 5, thanh mm AB chu hai lc 1 F f , tác dng s không cân bng vì do thanh bin dng, còn khi trt lc thì thanh t trng thái b kéo sang b nén. 2 F f 2.3 Tiên đ 3 : (Hp hai lc) Hai lc tác dng lên vt rn đt ti cùng mt đim có hp lc đt ti đim đó xác đnh bng đng chéo ca hình bình hành mà các cnh chính là các lc đó (hình 6). Tiên đ 3 khng đnh hai lc có cùng đim đt thì có hp lc R f . V phng din véct ta có : R f 1 F f 2 F = + f ngha là véct R f bng tng hình hc ca các véct 1 F f , 2 F f . T giác OACB gi là hình bình hành lc. V tr s : α cos2 21 2 2 1 2 FFFFR ++= 1 F f 2 F f F f Hình 4 1 F f 2 F f 1 F f 2 F f Hình 6 C 2 F f F f A 1 F f B O Hình 5 B A B A A B (trong đó là góc hp bi hai véct 1 F f , 2 F f ) Tiên đ trên, áp dng cho h lc đng quy ti O, ta có các đnh lý sau. Chng I Các khái nim c bn-H tiên đ tnh hc Trang 4 GIÁO TRÌNH C LÝ THUYT I PHN TNH HC nh lý I : Mt h lc đng quy tác dng lên vt rn có hp lc đt ti đim đng quy và véct hp lc bng tng hình hc véct các lc thành phn. Chng minh : Gi s ta có mt h lc ( n FFFF f f f f , ,,, 321 ) tác dng lên vt rn đt ti cùng đim O (hình 7). Áp dng tiên đ 3, ta hp , đc lc : 1 F f 2 F f 1 R f 1 F f 2 F = + f bng cách v véct 2 FAB f = ni OB đc lc 1 R f . Bây gi ta hp và 1 R f 3 F f ta đc 2 R f = 1 R f + 3 F f = 1 F f + 2 F f + 3 F f bng cách v véct 3 FBC f = , ni OC đc 2 R f . Tin hành tng t nh vy đn lc n F f , ta đc hp lc R f ca h lc : 1 F f 2 F f 3 F f n F f R f Hình 7 2 R f = 1 F f + 2 F f + 3 F f + + n F f hay : ∑ = = n k k FR 1 f f nh lý II : Nu ba lc tác dng lên mt vt rn cân bng cùng nm trong mt phng và không song song nhau thì ba lc phi đng qui. Chng minh : Gi s, mt vt rn chu tác dng ca ba lc 1 F f , , 2 F f 3 F f cân bng. Theo gi thuyt hai lc 1 F f , 2 F f cùng nm trong mt phng và không song song nên phng tác dng ca chúng giao nhau ti mt đim O chng hn. Ta s chng minh 3 F f cng qua O. Tht vây, theo tiên đ 3 hai lc 1 F f , 2 F f có hp lc R f đt ti O : R f = F 1 f + 2 F f vì (F , F 1 f 2 f , 3 F f ) ~ 0 nên ( R f , 3 F f ) ~ 0. 1 F f 2 F f 3 F f R f Hình 8 Theo tiên đ 1, hai lc cân bng nhau thì chúng có cùng phng tác dng. Vy đng tác dng ca lc 3 F f phi qua O (hình 8). Chng I Các khái nim c bn-H tiên đ tnh hc Trang 5 GIÁO TRÌNH C LÝ THUYT I PHN TNH HC 2.4 Tiên đ 4 : ( Tiên đ tác dng và phn tác dng) ng vi mi lc tác dng ca vt này lên vt khác, bao gi cng có phn lc tác dng cùng tr s, cùng phng tác dng, nhng ngc chiu nhau. Gi s mt vt B tác dng lên vt A mt lc F f thì ngc li vt A tác dng lên vt B lc F f = - F f . Hai lc này có tr s bng nhau, ngc chiu nhau, nhng không cân bng vì chúng đt lên hai vt khác nhau ( hình 9 ). 1 F f 3 F f B A Hình 9 2.5 Tiên đ 5 : (Nguyên lý hoá rn) Nu di tác dng ca h lc nào đó mt vt bin dng. Nh tiên đ này khi mt vt bin dng đã cân bng di tác dng ca mt h lc đã cho, ta có th xem vt đó nh vt rn đ kho sát điu kin cân bng. 2.6 Tiên đ 6 : (Tiên đ gii phóng liên kt) Mt vt rn t v trí này đn v trí đang xét có th thc hin di chuyn v mi phía gi là vt t do. Ví d mt qu bóng đang bay. Nhng thc t, phn ln các vt kho sát đu trng thái không t do ngha là mt s di chuyn ca vt b vt khác cn li. Nhng vt nh vy gi là vt không t do hay vt chu liên kt. Tt c nhng đi tng ngn cn di chuyn ca vt kho sát gi là các liên kt. Ví d : Hp phn đ trên mt bàn, mt bàn ngn cn hp phn di chuyn xung phía di. (Hình 10) Hp phn là vt chu liên kt còn mt bàn là vt gây liên kt. Theo tiên đ 4 thì vt chu liên kt tác dng lên vt gây liên kt mt lc, ngc li vt gây liên kt tác dng lên vt chu liên kt mt lc. Chính lc này ngn cn chuyn đng ca vt, ta gi phn lc liên kt. Ví d trên hình 10, lc N j là phn lc liên kt ca mt bàn tác dng lên hp phn nhm ngn cn hp phn di chuyn xung phía di. N f P f Hình 10 Ta nhn thy, phn lc liên kt là lc th đng, s có chiu ngc vi chiu mà vt kho sát mun di chuyn b liên kt ngn cn li. Theo mt phng nào đó, không b liên kt ngn cn thì theo phng đó thành phn phn lc liên kt bng không. Chng I Các khái nim c bn-H tiên đ tnh hc Trang 6 GIÁO TRÌNH C LÝ THUYT I PHN TNH HC 2. Mt s liên kt thng gp : a) Liên kt ta : t nhn (hình 11a) hay giá ta con ln (hình 11b) theo phng phá Vt ta trên m p tuyn mt tr, vt kho sát b cn tr bi phn lc N j theo hng đó. Còn thanh ta lên đim nhn C (hình 11c) thì phn lc N f s vuông góc vi thanh. b) Liên kt bn l : N f Hình 11 a ) b) N f N f c ) - Bn l tr : (Hình 12) V ng nào vuông góc vi trc u b ngn cn, nên ph u t di chuyn theo ph bn l đ n lc A R f có phng vuông góc vi trc bn l. - Bn l c : (Hình 13)Phn lc R f có phng bt k và qua tâm O ca bn l vì hng dây kéo cng thì vt b cn tr, nên hng dc dây ra phía chuyn đng ca vt theo hng nào cng b ngn cn. c) Liên kt dây mm : Theo phn lc ca dây là 1 T f , 2 T f ngoài vt. (Hình 14) Chng I Các khái nim c bn-H tiên đ tnh hc Trang 7 Hình 12 Hình 13 Hình 14 2 T f 1 T f R f A R f GIÁO TRÌNH C LÝ THUYT I PHN TNH HC d) Liên kt thanh : Dm AB chu liên kt thanh CD vi bn c tác d l C và D. Trên thanh CD không có l ng và b qua trng lng thanh thì phn lc R f ca thanh hng dc thanh (hình 15). chng minh điu này, ta tách thanh CD ra kho sát và áp dng tiên đ mt thì p n lc C R h f phi qua bn l D. i vi thanh c Trong tnh hc, bài toán xác đnh phn l chiu, tr s phn lc đc xác đnh c th tu theo tng bài toán nh có tiên đ ong ta cng chng minh nh vy. c là bài toán quan trng. Ph ng t cân bng có th xem nh mt vt t do cân bng, nu các liên kt và thay vào đó các phn lc liên kt tng ng ca §3. LÝ THUYT V MÔMEN LC 3.1 Mômen ca lc đi vi mt đim : Thc t ch gii phóng liên kt sau. 3. Tiên đ 6 : Mt vt chu liên k tng tng b chúng. o ta thy có mt đim c đnh O, chu tác dng lc F f thì vt s quay quanh đim đó . Tác dng ca lc F f slàm vt quay đc xác đnh b i ba yu t : - Phng mt phng cha lc F f và đim O - Chiu quay ca vt quanh c đi qua O và vuông góc vi mt phng này. tr - Tích s, tr s lc F f và chiu dài cánh tay F f đòn d ca lc đi vi đim O (d là đon thng vuông góc k t đim O đn đng tác dng ca lc F f ). T đó ta suy ra đnh ngha sau : 1. nh ngha : Mômen lc F f đi vi đim O là mt véct t đ ti đim O có ph ha lc ng vuông góc vi mt phng c F f và đim O, có chiu sao ta nhìn t mút đn thy lc F f hng quanh O ngc chiu kim đng h, có đ dài bng tích tr s lc F f vi cánh tay đòn ca lc F f đi v i đim O (hình 16). C R f P f Hình 15 B D A Chng I Các khái nim c bn-H tiên đ tnh hc Trang 8 GIÁO TRÌNH C LÝ THUYT I PHN TNH HC 2. Biu thc véct ômen ca lc : m T đnh ngha trên, ta có tr s mômen ca lc đi vi đim O là : OABdtdFFM O ∆== 2.)( ff (Trong đó F.d bng hai ln din tích tam giác OAB, ch tính tr s mà không k đn v). Nu ta gi véct OAr = f là véc t bán kính đim đt A ca lc F f cà xác đnh véct F r f f ∧ ri so sánh vi véct mômen lc F f đói vi đim O là FrFM O f f f f ∧) (1.4) m đ Chn h trc Oxyz, ta gi các hình chiu l =( Véct mômen ca lc đi vi mt đi bng tích véct gia véct bán kính đim đt ca lc vi lc ó. c F f là X, Y, Z và hình chiu ca véct r f là x, y, z (x, y, z cng là to đ đim A). Do đó ta có : ZYX zyFrFM O x kji f f f fff Trong đó , f =∧=)( i f j f , k f là véct đn v trên các trc to đ x, y, z. T đó, ta suy ra hình chiu véct mômen ca lc F f là : ZyyZFM Ox −=)( f f xZzXFM −=)( Oy f f yXxYFM −=)( Oz f f Nu bit các hình chiu này, véct mômen )(FM O f f hoàn toàn xác đnh. Trong trng hp các lc tác dng lên vt cùng trong m ng, ta coi mt phng cha lc t mt ph F f và đim O đã đc xác đnh. Vì vy ômen lc m F f đi vi đim O (1.5) x y z O B A d F f )(FM O f f Hình 16 Chng I Các khái nim c bn-H tiên đ tnh hc Trang 9