Bí kíp toán học

LÝ THUY Cao Hoàng Nam Trang 1 KHẢO SÁT HÀM SỐ Vấn đề 1: ÔN TẬP – CÔNG THỨC I. Tam thức bậc hai:   x   , 2 ax bx c 0    a b 0 c0 a0 0                     x   , 2 ax bx c 0    a b 0 c0 a0 0                     2 + bx + c = 0 Gi s g trình có 2 nghim 12 x ;x thì: 12 b S x x ; a     12 c P x .x a   Pt có 2 nghim phân bit a0 0        Pt có nghim kép a0 0        Pt vô nghim a0 a0 b0 0 c0                Pt có 2 nghim trái du P0  Pt có 2 nghim cùng du 0 P0        Pt có 2 nghim phân bi 0 P0 S0          Pt có 2 nghim phân bit cùng âm 0 P0 S0         II. Đa thức bậc ba:   3 + bx 2 + cx + d = 0 Gi s m 1 2 3 x ;x ;x thì: 1 2 3 b S x x x ; a      1 2 2 3 3 1 c x .x x .x x .x ; a     1 2 3 d P x .x .x a  III. Đạo hàm: BẢNG ĐẠO HÀM (kx)' k (ku)' k.u' 1 (x )' .x    1 (u )' .u'.u .    1 ( x)' 2x  u' ( u)' 2u  ' 2 11 xx     ' 2 1 u' uu     (sinx)' cosx (sinu)' u'.cosu (cosx)' sinx (cosu)' u'.sinu 2 1 (tan x)' cos x  2 u' (tanu)' cos u  2 1 (cot x)' sin x   2 u' (cotu)' sin u   xx (e )' e uu (e )' u'.e 1 (ln x)' x  u' (lnu)' u    a 1 log x ' xlna    a u' log u ' ulna  xx (a )' a .lna uu (a )' u'.a .lna Quy tắc tính đạo hàm (u  v) = u  v (uv) = uv + vu 2 u u v v u vv         (v  0) x u x y y .u    Đạo hàm của một số hàm thông dụng 1.   2 ax b ad bc y y' cx d cx d       2.   22 2 ax bx c adx 2aex be cd y y' dx e dx e           LÝ THUY Cao Hoàng Nam Trang 2 Vấn đề 2: CÁC BƢỚC KHẢO SÁT HÀM SỐ. 1. Các bƣớc khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số  Tìm tnh ca hàm s.  Xét s bin thiên ca hàm s: o Tính y. o m to hàm y bng 0 hoc không xnh. o Tìm các gii hn ti vô cc, gii hn vô cc và tìm tim cn (nu có). o Lp bng bin thiên ghi rõ du co hàm, chiu bin thiên, cc tr ca hàm s.  V  th ca hàm s: o m un c th i vi hàm s bc ba và hàm s ).  Tính y.  m t = 0 và xét du y. o V ng tim cn (nu có) c th. o nh mt s c bit c th m c th vi các trc to  ng h th không ct các trc to  hoc vic tìm to  m phc tp thì có th b qua). Có th tìm thêm mt s m thu th  có th v  o Nhn xét v  th: Ch ra tr i xi xng (nu có) c th. 2. Hàm số bậc ba 32 y ax bx cx d (a 0)     :  Tnh D = R.   th luôn có mm un và nhm un i xng.  Các d th: m phân bit   2  3ac > 0 a > 0 a < 0 m kép   2  3ac = 0 a > 0 a < 0 m   2  3ac < 0 a > 0 a < 0 3. Hàm số trùng phƣơng 42 y ax bx c (a 0)    :  Tnh D = R.   th luôn nhn trc tung làm tri xng.  Các d th: m phân bit  ab < 0 a > 0 a < 0 1 nghim phân bit  ab > 0 a > 0 a < 0 4. Hàm số nhất biến ax b y (c 0,ad bc 0) cx d       :  Tnh D =   d R\ c  . y x 0 I y x 0 I y x 0 I y x 0 I LÝ THUY Cao Hoàng Nam Trang 55 1. Vi   t ph    m A, B, C. 2. Tìm to  cm M thuc mt phng 2x 2y z 3 0    sao cho MA=MB=MC. Câu IV: 1. Tính tích phân 4 0 sin x dx 4 I sin2x+2(1+sinx+cosx)         2. Cho hai s thi và tho mãn h thc x 2 + y 2 = 1. Tìm giá tr ln nht và giá tr nh nht ca biu thc 2 2 2(x 6xy) P 1 2xy 2y    Câu V (A): (Chƣơng trình không phân ban) 1. Chng minh rng: k k 1 k n 1 n 1 n n 1 1 1 1 n 2 C C C         2. Trong mt phng vi h to  Oxy, hãy  nh to  nh C ca tam giác ABC bit rng hình chiu vuông góc c   ng th   m H(-1;- ng phân giác trong c x y 2 0   và ng cao k t B có   4x 3y 1 0   . Câu V (B): (Chƣơng trình phân ban) 1. Gii b: 2 0,7 6 xx log log 0 x4       2.  hình vuông cnh 2a, SA=a, SB = a3 và mt phng (SAB) vuông góc vi mt phi M, N lm ca các cnh AB, BC. Tính theo a th tích ca khi chóp S.BMDN và tính cosin ca góc ging thng SM, DN. KHỐI D – 2008 Câu I: Cho hàm s y = x 3 - 3x 2 + 4 (1) 1. Kho sát s bin thiên và v  th ca hàm s (1). 2. Chng minh rng mng th m I (1;2) vi h s góc k (k 3) u c th ca hàm s (1) tm phân bit I, A, B ng thm cn thng AB. Câu II: 1. Gi   2sinx 1 cos2x sin2x 1 2cosx    2. Gii h  22 xy x y x 2y (x,y ) x 2y y x 1 2x 2y                Câu III: Trong không gian vi h to  Oxyz, cho bm A(3;3;0), B(3;0;3), C(0;3;3), D(3;3;3) 1. Vi   t c   n m A, B, C, D. 2. Tìm to  ng tròn ngoi tip tam giác ABC. Câu IV: 1. Tính tích phân 2 3 1 ln x I dx x   2. Cho x, y là hai s thi. Tìm giá tr ln nht và giá tr nh nht ca biu thc: 22 (x y)(1 xy) P (1 x) (1 y)    Câu V (A): (Chƣơng trình không phân ban) 1. Tìm s ho mãn h thc 1 3 2n 1 k 2n 2n 2n n C C C 2048 (C      là s t hp chp k ca n phn t) 2. Trong mt phng vi h to  Oxy, cho parabol (P) : y 2 m phân bing trên (P) sao cho góc  BAC = 90 0 . Chng minh rng thm c nh. Câu V (B): (Chƣơng trình phân ban) 1. Gii b: 2 1 2 x 3x 2 log 0 x   2.   ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cnh bên AA' a 2 . Gm ca cnh BC. Tính theo a th tích ca kh ABC.A'B'C' và khong cách ging thng AM, B'C. Ht LÝ THUY Cao Hoàng Nam Trang 54 2. Trong không gian vi h t Oxyz, cho ng thng : x 2 y 2 z 1 1 1    và mt phng (P): x + 2y  3z + 4 = 0. Ving thng d nm trong (P) sao cho d ct và vuông góc vng thng . Câu VII (B): Tìm các giá tr ca tham s  ng thng y 2x m   c th hàm s 2 x x 1 y x   ti m phân bim ca n thng AB thuc trc tung. KHỐI A – 2008 Câu I: Cho hàm s     22 mx + 3m -2 x -2 y = 1 x +3m , vi m là tham s thc. 1. Kho sát s bin thiên và v  th hàm s (1) khi m =1. 2. Tìm các giá tr c góc gia hai ng tim cn c th hàm s (1) bng 45 o . Câu II: 1. Gi 1 1 7 4sin x 3 sin x 4 sin x 2             2. Gii h    2 3 2 42 5 x y x y xy xy 4 5 x y xy 1 2x 4                   Câu III: Trong không gian vi to  m ng thng x 1 y z 2 d: 2 1 2   1. Tìm to  hình chiu vuông góc ca ng thng d. 2. Vit phng () cha d sao cho khong cách t n () ln nht. Câu IV: 1. Tính tích phân 4 6 0 tan x I dx cos2x    2. Tim các giá tr ca tham s   m thc phân bit: 4 4 2x 2x 2 6 x 2 6 x m (m )       Câu V (A). (Chƣơng trình không phân ban) 1. Trong mt phng vi h t Oxy, hãy vic ca elíp (E) bit rng (E) có tâm sai bng 5 3 và hình ch nh ca (E) có chu vi bng 20. 2. Cho khai trin   n n 0 1 n 1 2x a a x . . . a x       N* và các h s 0 1 n a , a , . . . , a tha mãn h thc 1n 0 n aa a . . . 4096 22     . Tìm s ln nht trong các s 0 1 n a , a , . . . , a . Câu V (B): (Chƣơng trình phân ban) 1. Gi 22 2x 1 x 1 log (2x x 1) log (2x 1) 4       2.   dài cnh bên bi A, AB = a, AC = a3 và hình chiu vuông góc ca t phm ca cnh BC. Tính theo a th tích kh và tính cosin ca góc ging th  KHỐI B – 2008 Câu I: Cho hàm s y = 4x 3 - 6x 2 + 1 (1) 1. Kho sát s bin thiên và v  th hàm s (1). 2. Vi   p tuyn c  th hàm s (1), bit rng tip tuy  m M(-1;-9). Câu II: 1. Gi 3 3 2 2 sin x 3cos x sinxcos x 3sin xcosx   2. Gii h  4 3 2 2 2 x 2x y x y 2x 9 (x,y ) x 2xy 6x 6               Câu III: Trong không gian vi h to  Oxyz, cho ba m A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1) LÝ THUY Cao Hoàng Nam Trang 3   th có mt tim cng là d x c  và mt tim cn ngang là a y c  m ca hai tim ci xng c th hàm s.  Các d th: ad – bc > 0 ad – bc < 0 5. Hàm số hữu tỷ 2 ax bx c y a'x b'    ( a.a' 0, t không chia ht cho mu)  Tnh D =   b' R\ a'  .   th có mt tim cng là b' x a'  và mt tim cm ca hai tim cn là tâm i xng c th hàm s.  Các d th: y = 0 có 2 nghim phân bit a0 a0 y = 0 vô nghim a0 a0 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN KHẢO SÁT HÀM SỐ Vấn đề 1. SỰ TIẾP XÚC GIỮA HAI ĐƢỜNG, TIẾP TUYẾN CỦA ĐƢỜNG CONG Ý nghĩa hình học của đạo hàm o hàm ca hàm s y = f(x) tm x 0 là h s góc ca tip tuyn v  th (C) ca hàm s t m   0 0 0 M x ;f(x ) .     p tuyn ca (C) tm   0 0 0 M x ;f(x ) là: y  y 0 = f (x 0 ).(x  x 0 ) (y 0 = f(x 0 )) Dạng 1: Lập phƣơng trình tiếp tuyến của đƣờng cong (C): y = f(x) Bài toán 1: Vip tuyn  ca (C): y =f(x) tm   0 0 0 M x ;y  Nu cho x 0 thì tìm y 0 = f(x 0 ). Nu cho y 0 thì tìm x 0 là nghim c trình f(x) = y 0 .  Tính y = f (x). Suy ra y(x 0 ) = f (x 0 ).  p tuyn  là: y  y 0 = f (x 0 ).(x  x 0 ) Bài toán 2: Vip tuyn  ca (C): y =f(x), bit  có h s c. Cách 1: Tìm to  tim.  Gi M(x 0 ; y 0 ) là tim. Tính f (x 0 ).   có h s góc k  f (x 0 ) = k (1)  Gic x 0 và tính y 0 = f(x 0 ). T a . Cách 2: u kin tip xúc.  ng thng  có dng: y = kx + m.   tip xúc vi (C) khi và ch khi h  trình sau có nghim: f(x) kx m f '(x) k      (*)  Gii h c m. T  trình ca . 0 x y 0 x y Lí THUY Cao Hong Nam Trang 4 Chỳ ý: H s gúc k ca tip tuyn cú th c cho giỏn ti to vi chic honh gúc thỡ k = tan song song vng thng d: y = ax + b thỡ k = a vuụng gúc vng thng d: y = ax + b (a 0) thỡ k = 1 a to vng thng d: y = ax + b mt gúc thỡ ka tan 1 ka Bi toỏn 3: Vip tuyn ca (C): y = f(x), bit i qua m AA A(x ;y ) . Cỏch 1: Tỡm to tim. Gi M(x 0 ; y 0 ) l tiú: y 0 = f(x 0 ), y 0 = f (x 0 ). p tuyn ti M: y y 0 = f (x 0 ).(x x 0 ) AA A(x ;y ) nờn: y A y 0 = f (x 0 ).(x A x 0 ) (1) Gi1c x 0 . T via . Cỏch 2: Dựng u kin tip xỳc. ng thng AA A(x ;y ) v cú h s gúc k: y y A = k(x x A ) tip xỳc vi (C) khi v ch khi h trỡnh sau cú nghim: AA f(x) k(x x ) y f '(x) k (*) Gii h c x (suy ra k). T t p tuyn . Dng 2: Tỡm iu kin hai ng tip xỳc u kin c ng (C 1 ): y = f(x) v (C 2 ): y = g(x) tip xỳc nhau l h trỡnh sau cú nghim: f(x) g(x) f '(x) g'(x) (*) Nghim ca h (*) l ca ti m c Dng 3: Tỡm nhng im trờn ng thng d m t ú cú th v c 1, 2, 3, tip tuyn vi th (C): y = f(x) Gi s d: ax + by +c = 0. M(x M ; y M ) d. ng thng qua M cú h s gúc k: y = k(x x M ) + y M tip xỳc vi (C) khi h sau cú nghim: MM f(x) k(x x ) y (1) f '(x) k (2) Th k t c: f(x) = (x x M ).f (x) + y M (3) S tip tuyn ca (C) v t M = S nghim x ca (3) Dng 4: Tỡm nhng im m t ú cú th v c 2 tip tuyn vi th (C): y = f(x) v 2 tip tuyn ú vuụng gúc vi nhau Gi M(x M ; y M ). ng thng qua M cú h s gúc k: y = k(x x M ) + y M tip xỳc vi (C) khi h sau cú nghim: MM f(x) k(x x ) y (1) f '(x) k (2) Th k t (2) vc: f(x) = (x x M ).f (x) + y M (3) Qua M v c 2 tip tuyn vi (C) (3) cú 2 nghim phõn bit x 1 , x 2 . Hai tip tuyi nhau f (x 1 ).f (x 2 ) = 1 T c M. Chỳ ý: Qua M v c 2 tip tuyn vi (C) sao cho 2 tim nm v hai phớa vi trc honh thỡ 12 (3)coự2nghieọmphaõnbieọt f(x ).f(x ) < 0 Vn 2. S TNG GIAO CA CC TH 1. th (C 1 ): y = f(x) v (C 2 ): y = g(x). m ca (C 1 ) v (C 2 ) ta gii l m). S nghim cng s giao Lí THUY Cao Hong Nam Trang 53 Cho cỏc s th i v tho món 3 x y 4xy 2 . Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: A = 3(x 4 + y 4 + x 2 y 2 ) 2(x 2 + y 2 ) + 1 Cõu VI (A): (Chng trỡnh chun) 1. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng trũn (C) : 22 4 (x 2) y 5 ng thng 1 : x y = 0, 2 : x nh to tõm K v tớnh bỏn kớnh cng trũn (C 1 ); bing trũn (C 1 ) tip xỳc vng thng 1 , 2 v tõm K thung trũn (C) 2. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho t di nh A(1;2;1), B(-2;1;3), C(2;-1;1) v D(0;3;1). Vi t phng cỏch t C n (P) bng khong cỏch t n (P) Cõu VII (A): Tỡm s phc z tho món : z (2 i) 10 v z.z 25 Cõu VI (B): (Chng trỡnh nõng cao) 1. Trong mt phng vi h to Oxy, cho tam giỏc ABC cõn t nh A(-1;4) v cỏc nh B, C thung thng : x y 4 = 0. nh to m B v C, bit din tớch tam giỏc ABC bng 18. 2. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho mt phng (P): x 2y + 2z m A(-3;0;1), B(1;- ng th qua A v song song vi (P), hóy vi ng thng m khong cỏch t ng th nht. Cõu VII (B): Tỡm cỏc giỏ tr ca tham s ng thng y x m c th hm s 2 x1 y x ti 2 m phõn bit A, B sao cho AB = 4. KHI D 2009 Cõu I: Cho hm s y = x 4 (3m + 2)x 2 th l (C m ), m l tham s. 1. Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s 2. ng thng y = -1 c th (C m ) t m phõn bi nh Cõu II: 1. Gi 3cos5x 2sin3xcos2x sinx 0 2. Gii h 2 2 x(x y 1) 3 0 5 (x y) 1 0 x (x, y R) Cõu III: Tớnh tớch phõn 3 x 1 dx I e1 Cõu IV: ABC l tam giỏc vuụng t m c n thng m c th tớch khi t din IABC v khong cỏch t n mt phng (IBC). Cõu V: Cho cỏc s th i v tha món x + y = 1. Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca biu thc S = (4x 2 + 3y)(4y 2 + 3x) + 25xy. Cõu VI (A): (Chng trỡnh chun) 1. Trong mt phng vi h t Oxy, cho m ca cnh ng trung tuynh A l 2y 3 = 0 v 6x y 4 = 0. Ving thng AC. 2. Trong khụng gian vi h t Oxyz, cho m A (2; 1; 0), B(1;2;2), C(1;1;0) v mt phng (P): x + y + z nh t m D thung thng thng CD song song vi mt phng (P). Cõu VII (A): Trong mt phng t Oxy, tỡm tp hp m biu din cỏc s phc z tha mu kin: z (3 4i)= 2. Cõu VI (B): (Chng trỡnh nõng cao) 1. Trong mt phng vi h t Oxy, cho ng trũn (C) : (x 1) 2 + y 2 = 1. Gi I l tõm cnh t m M thuc (C) sao cho IMO = 30 0 . Lí THUY Cao Hong Nam Trang 52 2. Ging trỡnh: 3 2 3x 2 3 6 5x 8 0 x R Cõu III: Tớnh tớch phõn 2 32 0 I cos x 1 cos x.dx Cõu IV: hỡnh thang vuụng ti A v D; AB = AD = 2a, CD = a; gúc gia hai mt phng (SBC) v (ABCD) bng 60 0 . Gm ca cnh AD. Bit hai mt phng (SBI) v (SCI) cựng vuụng gúc vi mt phng (ABCD), tớnh th tớch khi chúp S.ABCD theo a. Cõu V: Chng minh rng vi mi s th z tho món x(x + y + z) = 3yz, ta cú: 33 3 x y x z 3 x y x z y z 5 y z . Cõu VI (A): (Chng trỡnh chun) 1. Trong mt phng vi h to Oxy, cho hỡnh ch nhm c m M(1; 5) thung thm E ca cnh CD thu ng thng :x y 5 0 . Vit ng thng AB. 2. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho mt phng P :2x 2y z 4 0 v mt cu 2 2 2 S :x y z 2x 4y 6z 11 0 . Chng minh rng mt phng (P) ct mt cu (S) theo mt nh to tõm v tớnh bỏn kớnh cng trũ Cõu VII (A): Gi z 1 v z 2 l hai nghim phc c trỡnh z 2 + 2z + 10 = 0. tớnh giỏ tr ca biu thc A = |z 1 | 3 + |z 2 | 3 . Cõu VI (B): (Chng trỡnh nõng cao) 1. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng trũn 22 C :x y 4x 4y 6 0 v ng thng :x my 2m 3 0 , vi m l tham s thc. Gi I l tõm c ng trũn (C). ct (C) tm phõn bit A v B sao cho din tớch tam giỏc IAB ln nht. 2. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho mt phng P : x 2y 2z 1 0 ng thng 1 x 1 y z 9 :; 1 1 6 2 x 1 y 3 z 1 : 2 1 2 . nh to m M thung thng 1 sao cho khong cỏch t M ng thng 2 t n mt phng (P) bng nhau. Cõu VII (B): Gii h : 22 22 22 x xy y log x y 1 log xy x,y R 3 81 KHI B 2009 Cõu I: Cho hm s y = 2x 4 4x 2 (1) 1. Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s (1). 2. Vi cỏc giỏ tr no c 22 x x 2 m m thc phõn bit? Cõu II: 1. Gi 3 sinx cosxsin2x 3cos3x 2(cos4x sin x) 2. Gii h 2 2 2 xy x 1 7y (x,y ) x y xy 1 13y Cõu III: Tớnh tớch phõn 3 2 1 3 ln x I dx (x 1) Cõu IV: a, gúc ging tht phng (ABC) bng 60 0 ; tam giỏc ABC vuụng ti C v BAC = 60 0 . Hỡnh chiu vuụng gúc c lờn mt phng (ABC) trựng vi trng tõm ca tam giỏc ABC. Tớnh th tớch khi t di a. Cõu V: Lí THUY Cao Hong Nam Trang 5 m c th. 2. th hm s bc ba 32 y ax bx cx d (a 0) ct trc honh ti 3 m phõn bit 32 ax bx cx d 0 cú 3 nghim phõn bit. Hm s 32 y ax bx cx d cú ci, cc tiu v Cẹ CT y .y 0 . Vn 3. BIN LUN S NGHIM CA PHNG TRèNH BNG TH c f(x) = g(x) (1) S nghim c giao m ca (C 1 ): y = f(x) v (C 2 ): y = g(x) Nghim c m ca (C 1 ): y = f(x) v (C 2 ): y = g(x) bin lun s nghim c F(x, m) = 0 (*) b th ta bii (*) v mt trong cỏc dng sau: Dng 1: F(x, m) = 0 f(x) = m (1) m cng: (C): y = f(x) v d: y = m ng thi Ox D th (C) ta bin lun s m ca (C) v d. T nghim ca (1) Dng 2: F(x, m) = 0 f(x) = g(m) (2) Thc hi, cú th t g(m) = k. Bin lun lun theo m. c bit: Bin lun s nghim ca phng trỡnh bc ba bng th c c ba: 32 ax bx cx d 0 (a 0) (1) th (C) S nghim ca (1) = S m ca (C) vi trc honh Bi toỏn 1: Bin lun s nghim ca phng trỡnh bc 3 Trng hp 1: (1) ch cú 1 nghim (C) v m chung Cẹ CT f khoõng coự cửùc trũ (h.1a) f coự 2 cửùc trũ (h.1b) y .y >0 Trng hp 2m (C) tip xỳc vi Ox Cẹ CT f coự 2 cửùc trũ (h.2) y .y =0 Trng hp 3: (1) cú 3 nghim phõn bit (C) ct Ox tm phõn bit Cẹ CT f coự 2 cửùc trũ (h.3) y .y <0 Bi toỏn 2: Phng trỡnh bc ba cú 3 nghim cựng du Trng hp 1: (1) cú 3 nghi bit (C) ct Ox tm phõn bit cú honh Cẹ CT Cẹ CT f coự 2 cửùc trũ y .y <0 x >0, x >0 a.f(0) <0 (hay ad <0) Trng hp 2: (1) cú 3 nghim cú õm phõn y c. x m c. A c. (C) c. (d) : y = m c. y C y CT x A c. LÝ THUY Cao Hoàng Nam Trang 6 bit  (C) ct Ox tm phân bit có hoành  âm         CÑ CT CÑ CT f coù 2 cöïc trò y .y < 0 x < 0, x < 0 a.f(0) > 0 (hay ad > 0) Vấn đề 4. HÀM SỐ CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 1. Đồ thị hàm số   y = f x (hàm số chẵn) Gi (C): y f(x) và   1 (C ): y f x ta thc hin c sau: Bƣớc 1. V  th (C) và ch gi li ph th nm phía bên phi trc tung. Bƣớc 2. Li xng ph th  c 1 qua tr th (C 1 ). 2. Đồ thị hàm số y = f(x) Gi (C): y f(x) và 2 (C ): y f(x) ta thc hin c sau: Bƣớc 1. V  th (C). Bƣớc 2. Gi li ph th ca (C) nm phía trên trc hoành. Li xng ph th nm i trc hoành ca (C) qua trc hoành ta  th (C 2 ). 3. Đồ thị hàm số   y = f x Gi   1 (C ): y f x , 2 (C ): y f(x) và   3 (C ): y f x . D th v (C 3 ) ta thc hin c v (C 1 ) ri (C 2 ) (hoc (C 2 ) ri (C 1 )). Vấn đề 5. ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRÊN ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Dạng 1: Tìm cặp điểm trên đồ thị (C): y = f(x) đối xứng qua đƣờng thẳng d: y = ax + b Cơ sở của phƣơng phápi xng nhau qua d  d là trung trc cn AB    ng thng  vuông góc vi d: y = ax + b có dng: : 1 y x m a      m ca  và (C): f(x) = 1 xm a  (1)   u kin c    ct (C) ti 2 m phân bi      A , x B là các nghim ca (1).  Tìm to  m I ca AB.  T u kii xng qua d  I  c m  x A , x B  y A , y B  A, B. Chú ý:  i xng nhau qua trc hoành  AB AB xx yy       i xng nhau qua trc tung  AB AB xx yy       i xng thng y = b  AB AB xx y y 2b       i xng thng x = a  AB AB x x 2a yy      LÝ THUY Cao Hoàng Nam Trang 51 2. Trong không gian t ng thng : x y 1 z 212   nh t m M trên trc hoành sao cho khong cách t n  bng OM. Câu VII (B): Gii h  2 x x 2 log (3y 1) x 4 2 3y        (x, y  R) KHỐI D – 2010 Câu I:    42 y x x 6    1. (C)  . 2.        (C),           1 y x 1 6  Câu II: 1. : sin2x cos2x 3sinx cosx 1 0     2. : 33 2x x 2 x 2 x 2 x 4x 4 4 2 4 2 (x R)           Câu III:  e 1 3 I 2x ln xdx x      Câu IV:     .ABCD    , = a;  (ABCD)      , AC AH 4  .   .         . Câu V: : 22 y x 4x 21 x 3x 10        Câu VI (A): (Chƣơng trình chuẩn) 1.          , cho tam  (3;-7),      (3;-1), tâm          (-2;0).      ,       . 2.     , cho hai     (P): x + y + z  3 = 0  (Q): x  y + z  1 = 0.        (R)     (P) (Q) sao cho (R) 2. Câu VII (A):  z2  2    . Câu VI (B): (Chƣơng trình nâng cao) 1.          ,    A(0;2)       .   .   ,        . 2.     , cho hai      1 : x 3 t yt zt           2 : x 2 y 1 z 2 1 2   .     1        2  1. Câu VII (B):  2 2 2 x 4x y 2 0 (x,y ) 2log (x 2) log y 0               KHỐI A – 2009 Câu I: Cho hàm s   x2 y1 2x 3    1. Kho sát s bin thiên và v  th hàm s (1). 2. Vi   p tuyn c  th (1), bit tip tuyt trc hoành, trc tung ln t tm phân bit A, B và tam giác OAB cân ti gc to  O. Câu II: 1. Gi      1 2sin x cosx 3. 1 2sin x 1 sinx    LÝ THUY Cao Hoàng Nam Trang 50 ABC có din tích bng 3 2 m A có hoành   2. Trong không gian t ng thng x 1 y z 2 : 2 1 1      và mt phng (P): x 2y z 0   . Gm ca  vi (P), m thuc . Tính khong cách t n (P), bit MC = 6 . Câu VII (A): Tìm phn o ca s phc z, bit: 2 z ( 2 i) (1 2i)   Câu VI (B): (Chƣơng trình nâng cao) 1. Trong mt phng t  Oxy, cho tam giác ABC cân tng thng    m ca các cnh AB và AC có  x y 4 0 . Tìm t nh B và C, bim E(1; 3) n nh C c 2. Trong không gian t m 0 0 2A( ; ; ) ng thng x 2 y 2 z 3 : 2 3 2       . Tính khong cách t A n . Vit cu tâm A, ct  ti m B và C sao cho BC = 8. Câu VII (B): Cho s phc z tha mãn 2 (1 3i) z 1i    . Tìm a s phc z iz . KHỐI B – 2010 Câu I: Cho hàm s y = 2x 1 x1   (C) 1. Kho sát s bin thiên và v  th (C) ca hàm s  2.  ng thng y 2x m   c th (C) t m phân bit A, B sao cho tam giác OAB có din tích bng 3 (O là gc ta ). Câu II: 1. Gi   sin2x cos2x cosx 2cos2x sinx 0    2. Gi 2 3x 1 6 x 3x 14x 8 0       (x  R). Câu III: Tính tích phân I = e 2 1 lnx dx x(2 ln x)  Câu IV:   có AB = a, góc gia hai mt ph   (ABC) bng 60 0 . Gi G là trng tâm tam giác  tích kh  bán kính mt cu ngoi tip t din GABC theo a. Câu V: Cho các s thc không âm a, b, c tha mãn: a b c 1   . Tìm giá tr nh nht ca biu thc:     2 2 2 2 2 2 2 2 2 M 3 a b b c c a 3 ab bc ca 2 a b c .          Câu VI (A): (Chƣơng trình chuẩn) 1. Trong mt phng t  Oxy, cho tam giác ABC vuông t   nh C(-4; 1), phân             . Vi ng thng BC, bit din tích tam giác ABC b        2. Trong không gian t  Oxyz, cho các  t phng (P): y  z + 1 = 0. Xác nh b và c, bit mt phng (ABC) vuông góc vi mt phng (P) và khong cách t n mt phng (ABC) bng 1 3 . Câu VII (A): Trong mt phng t  Oxy, tìm tp hp m biu din các s phc z tha mãn: z i (1 i)z   . Câu VI (B): (Chƣơng trình nâng cao) 1. Trong mt phng t m A(2; 3 ) và elip (E): 22 xy 1 32  . Gi F 1 và F 2 là m ca (E) (F 1  âm); M là  ng thng AF 1 vm i xng ca F 2 qua M. Vit ng tròn ngoi tip tam giác ANF 2 . LÝ THUY Cao Hoàng Nam Trang 7 Dạng 2: Tìm cặp điểm trên đồ thị (C): y = f(x) đối xứng qua điểm I(a; b) Cơ sở của phƣơng pháp: i xng nhau qua I  m ca AB.  ng thng d qua I(a; b), có h s góc k có dng: y k(x a) b   .   m ca (C) và d: f(x) = k(x a) b (1)  u ki d ct (C) tm phân bit  A , x B là 2 nghim ca (1).  T u kii xng qua I  I là m cc k  x A , x B . Chú ý: i xng qua gc to  O  AB AB xx yy      Dạng 3: Khoảng cách Kiến thức cơ bản: 1. Khong cách gim A, B: AB = 22 B A B A (x x ) (y y )   2. Khong cách t m M(x 0 ; y 0 ng thng : ax + by + c = 0: d(M, ) = 00 22 ax by c ab   3. Din tích tam giác ABC: S =   2 22 11 AB.AC.sinA AB .AC AB.AC 22    Nhận xét: Ngoài nh tp phng kt hp vi phn hình hc gii tíchnh lý Vi-et nên cn chú ý xem li các tính cht hình hc, các công c gii toán trong hình hc gii tích, áp dng thành thnh lý Vi-et trong tam thc bc hai. LƢỢNG GIÁC Vấn đề 1: ÔN TẬP I. Góc và cung lƣợng giác: 1. Giá trị lượng giác của một số góc: Α 0 6  4  3  2  Sinα 0 1 2 2 2 3 2 1 Cosα 1 3 2 2 2 1 2 0 Tanα 0 3 3 1 3  Cotα  3 1 3 3 0 2. Cung liên kết: (cos đối, sin bù, phụ chéo) x   x 2   x  + x 2  + x Sin sinx sinx cosx sinx cosx Cos cosx cosx sinx  cosx sinx Tan tanx tanx cotx tanx cotx Cot cotx cotx tanx cotx tanx II. Công thức lƣợng giác: 1. Công thức cơ bản: 22 sin a cos a 1 tana.cota 1 2 2 1 1 tan a cos a  2 2 1 1 cot a sin a  2. Công thức cộng: cos( ) cos .cos sin .sin cos( ) cos .cos sin .sin sin( ) sins .cos cos .sin sin( ) sins .cos cos .sin tan tan tan( ) 1 tan .tan tan tan tan( ) 1 tan .tan                                                  LÝ THUY Cao Hoàng Nam Trang 8 3. Công thức nhân đôi, nhân ba: 2 2 2 2 cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin (cos sin )(cos sin )                  sin2 2sin .cos    3 cos3 4cos 3cos    3 sin3 3sin 4sin    4. Công thức hạ bậc: 22 1 cos2x cos x 1 sin x 2 (1 cosx)(1 cosx)        22 1 cos2x sin x 1 cos x 2 (1 cosx)(1 sin x)        5. Công thức biến đổi tổng thành tích: x y x y cosx cos y 2cos cos 22 x y x y cosx cos y 2sin sin 22 x y x y sin x sin y 2sin cos 22 x y x y sin x sin y 2cos sin 22             6. Công thức biến đổi tích thành tổng:       1 cos cos cos( ) cos( ) 2 1 sin sin cos( ) cos( ) 2 1 sin cos sin( ) sin( ) 2                            Một số chú ý cần thiết: 4 4 2 2 sin x cos x 1 2.sin x.cos x   6 6 2 2 sin x cos x 1 3.sin x.cos x   8 8 4 4 2 4 4 2 2 2 4 4 42 sin x cos x (sin x cos x) 2sin x.cos x (1 2sin x.cos x) 2sin x.cosx 1 sin 2x sin 2x 1 8           Trong một số phương trình lượng giác, đôi khi ta phải sử dụng cách đặt như sau: Đặt t tanx : 2 22 2t 1 t sin2x ; cos2x 1 t 1 t    Vấn đề 2: PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC I. Phƣơng trình cơ bản:  x k2 sin x sin k x k2                  x k2 cosx cos k x k2                  tanx tan x k k        cotx cot x k k       Trường hợp đặc biệt:  sinx 0 x k ,k      sinx 1 x k2 k 2         sinx 1 x k2 k 2           cosx 0 x k k 2         cosx 1 x k2 k     II. Phƣơng trình bậc hai hay bậc n của một hàm lƣợng giác:  2 asin x bsinx c 0   (1)  2 acos x bcosx c 0   (2)  2 a tan x btanx c 0   (3)  2 acot x acotx c 0   (4) Cách giải: -    III. Phƣơng trình a.sinx b.cosx c Cách giải: -  2 2 2 a b c :  -  2 2 2 a b c :   22 ab  2 2 2 2 2 2 a b c sinx cosx a b a b a b      22 c cos .sin x sin .cosx ab       22 c sin(x ) ab     Lƣu ý: 2 2 2 2 ba sin ;cos a b a b         LÝ THUY Cao Hoàng Nam Trang 49 2. Nu bng thc có hai bit ng thc v dng: f(a) < f(b). u ca hàm s f(x) trong khong (a; b). II. Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất: Phƣơng pháp: Cách 1: ng dùng khi tìm GTLN, GTNN ca hàm s trên mt khong.  Tính f (x).  Xét du f (x) và lp bng bin thiên.  Da vào bng bi kt lun. Cách 2: ng dùng khi tìm GTLN, GTNN ca hàm s liên tục trên một đoạn [a; b].  Tính f (x).  Gi c các nghim x 1 , x 2  n trên [a; b] (nu có).  Tính f(a), f(b), f(x 1 ), f(x 2  n ).  So sánh các giá tr va tính và kt lun.   1 [ ; ] max ( ) max ( ), ( ), ( ), , ( ) n ab M f x f a f b f x f x   1 [ ; ] min ( ) min ( ), ( ), ( ), , ( ) n ab m f x f a f b f x f x TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Kho sát hàm s Tr 2. , h i s Tr 3. Và tài liu ca các Thy Cô trên trang web:  www.mathvn.com  www.boxmath.vn  www.violet.vn Trong quá trình tng hp, biên son các kin thc không tránh khi sai sót, mong Thy Cô và các bn nhn xét, góp ý. Xin chân thành c Cao Hoàng Nam Email: caohoangnamvn@gmail.com n thoi: 0907894460 *** Như một món quà thay cho lời cảm ơn đến “đoàn thỉnh kinh”, “gia đình nhóm TN” của ToánA(06 -10) ĐHSP. Cảm ơn mọi người đã đồng hành cùng tôi suốt chặng đường Đại học, cho nhau bao tiếng cười và niềm vui. MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC KHỐI A – 2010 Câu I: Cho hàm s y = x 3  2x 2 + (1  m)x + m (1), m là s thc 1. Kho sát s bin thiên và v  th ca hàm s khi m = 1. 2.   th ca hàm s (1) ct trc hoành tm phân bi x 1 , x 2 , x 3 thu kin : 222 1 2 3 x x x 4   Câu II: 1. Gi (1 sin x cos2x)sin x 1 4 cosx 1 tan x 2          2. Gii b 2 xx 1 1 2(x x 1)      Câu III: Tính tích phân : 1 2 x 2 x x 0 x e 2x e I dx 1 2e     Câu IV:         hình vuông cnh a. Gi M và N lt là trung m ca các cm ca CN và DM. Bit SH vuông góc vi mt phng (ABCD) và SH = a3 . 1. Tính th tích khi chóp S.CDNM. 2. Tính khong cách gi  ng thng DM và SC theo a. Câu V: Gii h  2 22 (4x 1)x (y 3) 5 2y 0 4x y 2 3 4x 7               (x, y  R). Câu VI (A): (Chƣơng trình chuẩn) 1. Trong mt phng t  Oxy , cho hai ng thng d 1 : 3x y 0 và d 2 : 3x y 0 . Gng tròn tip xúc vi d 1 ti A, ct d 2 tm B và C sao cho tam giác ABC vuông ti B. Vi   a (T), bit tam giác LÝ THUY Cao Hoàng Nam Trang 48 Vấn đề 3: Bất đẳng thức B.C.S I. Phát biểu:  : 1 1 2 2 a .b a .b  2 2 2 2 1 2 1 2 (a a )(b b )  12 12 aa bb      0)  : 1 1 2 2 3 3 a .b a .b a b  2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 (a a a )(b b b )     3 12 1 2 3 a aa b b b     0)  : 2 2 2 2 1 1 n n 1 n 1 n a .b a b (a a )(b b )        1 2 n 1 2 n a a a b b b       0) : Cho các s   2 2 2 2 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n a a a a a a b b b b b b            1 2 n 1 2 n a a a b b b    II. Một số lƣu ý: Dùng nhp các tt. H qu B.C.S cho phép chúng ta gp mu. t thêm bt. Vấn đề 4: Bất đẳng thức Vectơ I. Phát biểu:      a . b a.b     a,b   cùng   a b a b       a,b     a b a b     a,b     1 2 1 2 a a a a a a nn                11 a ,a , ,a n     Trong 1 2 1 2 Oxy: a (a ,a );b (b ,b )  Trong 1 2 3 1 2 3 Oxyz: a (a ,a ;a );b (b ,b ;b )  II. Một số lƣu ý: Chm có t thích hp.  c bc hai v mc bc hai. Vấn đề 5: Dùng điều kiện có nghiệm của hệ tìm max, min Bài toán:   G(x,y) 0  G(x,y) 0;G(x,y) 0 ). Tìm  P F(x,y) Cách giải:  G(x, y) 0 F(x,y) m       G(x, y) 0 F(x,y) m      ; G(x, y) 0 F(x,y) m         Lƣu ý . Vấn đề 6: Công cụ đạo hàm I. Chứng minh bất đẳng thức: Phƣơng pháp:  Chuyn b ng thc v dng f(x) > 0 (hoc <, ,  ). Xét hàm s y = f(x) trên tp xác  bài ch nh.  Xét du f (x). Suy ra hàm s ng bin hay nghch bin.  D     ng bin, nghch bi kt lun. Chú ý: 1. ng hc du ca f t h(x) = f (x) và quay li tip tc xét du h n khi nào xét dc thì thôi. LÝ THUY Cao Hoàng Nam Trang 9 Biến thể: a.sinx b.cosx csiny dcosy    2 2 2 2 a b c d   a.sinx b.cosx csiny  c.cosy )  2 2 2 a b c IV. Phƣơng trình 22 a.sin x b.sinx.cosx c.cos x d   Cách giải: Cách 1: - Xét cosx 0 x k2 ,k 2          cosx 0 hay không?) - Xét cosx 0 x k2 ,k 2         2 cos x . P trình  22 a.tan x b.tanx c d(1 tan x)     t tanx p. Cách 2:   Chú ý: phƣơng trình thuần nhất bậc 3 hay bậc 4 đối với sin và cos   V. Phƣơng trình a(sinx cosx) b.sinx.cosx c 0    Cách giải:  t sinx cosx  t 2 Do t 2sin x 4            Ta có: 2 2 2 t sin x cos x 2sinx.cosx   2 t1 sin x.cosx 2    2 t1 a.t b c 0 2      Chú ý:  a(sinx cosx) b.sinx.cosx c 0     t sin x cosx 2sin x 4          . VI. Phƣơng trình A.B 0 Cách giải: -   A.B 0 A0 A.B 0 B0       Vấn đề 3: KĨ THUẬT NHẬN BIẾT  Xut hin 3   Xut hin 3 và góc ng giác ln dng bin th c  Xut hin góc ln thì dùng công thc tng   các góc nh.  Xut hin các góc có cng thêm k ,k ,k 42   thì có th dùng công thc tng thành tích, tích thành tng hoc cung liên kt, hoc công thc c làm mt các k ,k ,k 42    Xut hin 2  ho  còn li nhóm c (sinx cosx)  trit 2 vì t sin x cosx 2sin x 4           c n kh  kh c hai theo sin (hoc cos) v tích c nht. Chú ý: Góc ln là góc có s  Ta ch s dng công th  bài toán v sinx, 2 sin x hoc cosx, 2 cos x . Vấn đề 4: GIẢI TAM GIÁC I. Công thức sin, cos trong tam giác: Do A B C    nên: a. sin(A B) sinC b. cos(A B) cosC   Do A B C 2 2 2 2     nên: a. A B C sin( ) cos 2 2 2  LÝ THUY Cao Hoàng Nam Trang 10 b. A B C cos( ) sin 2 2 2  II. Định lí hàm số sin: a b c 2R SinA SinB SinC    III. Định lí hàm số cosin: 2 2 2 a b c 2bccosA   IV. Công thức đƣờng trung tuyến: 2 2 2 2 a 2b 2c a m 4   V. Công thức đƣờng phân giác: a A 2bc.cos 2 l bc   VI. Các công thức tính diện tích tam giác: a 1 1 abc S ah bcsinA pr 2 2 4R p(p a)(p b)(p c)         ĐẠI SỐ Vấn đề 1: PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI I. Phƣơng trình bậc hai c hai 2 ax bx c 0   (a 0) có 2 b 4ac   .  0  vô nghim.  0 :  có nghim kép b x 2a  .  0 : (3) có hai nghim phân bit 2 1,2 b b b 4ac x 2a 2a        II. Định lý Vi–et (thuận và đảo)     2 ax bx c 0   có hai nghim 12 x , x thì 12 12 b S x x a c P x .x a              Nu bit S x y P x.y      thì x, y là nghim ca ình 2 X SX P 0   . III. Bảng xét dấu của tam thức bậc hai f(x) = ax 2 + bx + c (a 0) 0: x   y Cùng du a 0: x  0 x  y Cùng du a 0 Cùng du a 0: x  1 x 2 x  y Cùng 0 trái 0 Cùng IV. Cách xét dấu một đa thức:  Tìm nghim cc gm c nghim t và nghim mu (nc là phân thc)  Lp bng xét du  Xét du theo quy tng cùng, l i, ch Chú ý: Không nhn nhm mà hàm s nh. LÝ THUY Cao Hoàng Nam Trang 47 1. Định nghĩa Cho A là mt bin c n c  xu là A , c gi là bin c đối ca A. 2. Nhận xét:  Gi  là không gian mu  Gi  A là tp kt qu thun li cho A p kt qu thun li cho A là : A  =  \  A IV. Quy tắc cộng xác suất: 1. Biến cố hợp: Cho hai bin c A và B. Bin c c B xi là bin c hp ca hai bin c A và B, và kí hiu là AB . 2. Biến cố xung khắc: Cho hai bin c A và B. Hai bin c A và c gi là xung khc nu bin c này xy ra thì bin c kia không xy ra. 3. Quy tắc cộng xác suất: Nu A và B là hai bin c xung khc, thì:       P A B P A P B   V. Quy tắc nhân xác suất 1. Biến cố giao Cho hai bin c A và B . Bin c  A và B cùng xy rai là biến cố giao của hai biến cố A và B và kí hiu là : AB. Vy AB là bin c A và B cùng xy ra 2. Hai biến cố độc lập a. Khái niệm: Hai bin c A và B gi là c lp vi nhau nu vic xy ra hay không xy ra ca bin c này không làm ng ti xác sut xy ra ca bin c kia. b. Nhận xét: Nu hai bin c A c lp vi nhau thì A và B ; A và B; A và B  c lp vi nhau. 3. Quy tắc nhân xác xuất  Nu A và B là hai bin c c lp vi nhau thì : P(AB) = P(A).P(B)  Nu A 1 ; A 2 ; A 3 là ba bin c c lp vi nhau thì : P(A 1 A 2 A 3 ) = P(A 1 ).P(A 2 ).P(A 3 ) Chú ý: Hc kt h m  phi s t hp. BẤT ĐẲNG THỨC – CỰC TRỊ Dạng toán này là một dạng toán khó thường nằm câu V trong đề thi đại học. Ở đây xin chỉ nêu ngắn gọn các phương pháp. Bạn có thể xem kĩ hơn trong “Chuyên đề bất đẳng thức – cực trị”. Vấn đề 1: Các tính chất. 1.  a, b  R có mt và ch mt trong ba quan h: a > b, a = b, a < b. 2.  a, b, c  R mà a > b, b > c thì a > c. 3.  a, b  R mà a > b thì a + c > b + c 4. Nu a > b và c > d thì a + c > b + d. c tr hai bng thc). 5. Nu a > b và c > 0 thì ac > bc ( c < 0 thì ac < bc). 6. Nu a > b > 0 và c > d > 0 thì ac > bd > 0. 7. Nu a > b > 0 thì 0 < 1 1 a b  và a b n n   0 và a b n n   0 . 8. 2 0A  Vấn đề 2: Bất đẳng thức Cauchy I. Phát biểu:   a + b  2 ab hay a 2 + b 2  2ab.    a + b + c  3 3 abc .    1 , x 2 , x 3  n  trung bình nhân) 1 2 3 n n 1 2 3 n x x x x x x x x n      x 1 = x 2 = x 3  n II. Một số lƣu ý: Khi áp dng các a  m bo. N bài yêu cu: Cho a, b, c > 0. Chng  xét trên min 1a b c   , (do bng thi (a,b,c) i (ta, tb, tc)). C gng chn min h n. [...]...  d1 là trung tuyến, d 2 là phân giác trong của tam giác  Phƣơng pháp: Tương tự như trong hình học phẳng Chú ý: Hình học giải tích khơng gian đề thi đại học thường tập trung vào các dạng tốn thường gặp của phương trình đường thẳng, các dạng tốn khoảng cách, điểm đối xứng nên học sinh cần nắm kĩ (vì hình học giải tích trong Oxy đề thi đã khai thác yếu tố tam giác) Cao Hồng Nam phẳng, giữa hai đường... mặt phẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa hai đường thẳng… Vì vậy giải bài tốn thuần túy hình học có thể đưa về một bài tốn hình học giải tích nếu ta xây dựng một hệ trục Oxyz hợp lý Nhận xét: - Ƣu: Giải bài tốn chỉ đơn thuần là tính tốn, khơng suy nghĩ nhiều - Khuyết: Khơng thấy được cái hay của hình học thuần túy, tính tốn phải hết sức cẩn thận Một số cách chọn hệ trục Oxyz thƣờng dùng: 1 Với hình... f  x  trên  a, b  nếu F  x   f  x  , x   a, b  Chú ý: Nếu F  x  là ngun hàm của f  x  thì mọi hàm số có dạng F  x   C ( C là hằng số) cũng Vấn đề 6: Ứng dụng hình học giải tích giải các bài hình học thuần là ngun hàm của f  x  và chỉ những hàm số có Cơ sở lý luận: Như ta đã biết trong với cơng cụ giải tích ta có thể tính được diện tích một đa giác, thể tích một khối đa diện,...   f (x)  g(x) dx   Nếu tích S giới hạn bởi x = f(y) và x = g(y) thì ta đổi vai trò x cho y trong cơng thức trên Trang 19 LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Cao Hồng Nam Chun đề: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN I Kiến thức cơ bản: 1 Kiến thức hình học 9 – 10: 1.1 Hệ thức lƣợng trong tam giác vng: Cho tam giác ABC vng tại A có đường cao AH, đường trung tuyến AM Ta có:  AB2  AC2  BC2  AC  CH.BC 2  d(M, )  d(,  ')... sina.cosb,sina.sinb,cosa.cosb thì dùng cơng thức biến đổi tích thành tổng - Nhiều bài chúng ta phải biến đổi các hàm lượng giác để đưa về các dạng có khả năng tính được Chú ý: Tích phân trong các đề thi đại học thường ra dưới dạng kết nhiều dạng tính tích phân Vì thế, từ tích phân ban đầu ta biến đổi về tổng hoặc hiệu các tích phân Khi đó, từng tích phân dễ dàng tích được bằng các phương pháp trên (thường... bằng 0 (b = 0)  z là thuần ảo  phần thực của z bằng 0 (a = 0)  Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo  Hai số phức bằng nhau: a  a ' a  bi  a ' b 'i   (a, b, a ', b '  R) b  b ' 2 Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, b  R) được biểu diễn bởi điểm M(a; b) hay bởi  u  (a; b) trong mp(Oxy) (mp phức) log a A  0  (A  1)(B  1)  0 log a B 5 Hệ phƣơng trình mũ – logarit: Cách giải: Kết hợp... điểm gồm trung điểm 3 cạnh tam giác, trung điểm AH, BH, CH, và các chân đường cao nằm trên một đường tròn có tâm là trung điểm OH được gọi là đường tròn Euler Trang 21 LÝ THUYẾT TỐN LTĐH 2 Kiến thức hình học 11: Cao Hồng Nam Bài 1: ĐƢỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG Định nghĩa: a a / / (P)  a  (P)   (P) Định lý: ĐL1: Nếu đường thẳng d khơng nằm trên mặt phẳng (P) và song song với đường thẳng a nằm... VTCP là: AB và VTPT  của (Q) là n Q Trang 35 LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Cao Hồng Nam    2 Vectơ tích có hướng c  a, b  vng góc vơi     hai vectơ a và b       3 a, b   a b sin(a, b)   HÌNH HỌC TỌA ĐỘ OXYZ Vấn đề 1: TỌA ĐỘ ĐIỂM VÀ VECTƠ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oyz      1 a  (a1;a 2 ;a 3 )  a  a1i  a 2 j  a 3 k    2 i  (1, 0, 0) ; j  (0,1,0) ; k  (0,0,1)   3 Cho a... AM; d2: phân giác trong BN M  d 2   MA  MC  tọa độ điểm B A  d 1     Tìm C2 là điểm đối xứng của C qua d2 Viết phương trình tham số BC2 (BA) BA  tọa độ điểm A  Giải hệ  d1 Nhận xét:  Học sinh chỉ cần nắm kĩ các dạng 1, 2, 3 thì các dạng khác đơn giản hơn  Nếu bài tốn có liên quan đến đường cao cần chú ý đến điểm hình chiếu của đỉnh đã biết trên đường cao hoặc VTPT của đường cao hoặc... liên quan đến trung tuyến cần lưu ý đến tính chất trung điểm  Nếu bài tốn có yếu tố đường phân giác trong cần lưu ý đến điểm đối xứng của đỉnh đã biết qua đường phân giác trong đó Chú ý: Đề thi đại học thường sử dụng các tính chất đối xứng tâm (điểm), đối xứng trục (đường) – liên quan đến Phép biến hình 11 Ngồi ra sự kết hợp giữa các tính chất của đường tròn và tam giác cũng là dạng tốn rất thường . “gia đình nhóm TN” của ToánA(06 -10) ĐHSP. Cảm ơn mọi người đã đồng hành cùng tôi suốt chặng đường Đại học, cho nhau bao tiếng cười và niềm vui. MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC KHỐI A – 2010 Câu. h m  phi s t hp. BẤT ĐẲNG THỨC – CỰC TRỊ Dạng toán này là một dạng toán khó thường nằm câu V trong đề thi đại học. Ở đây xin chỉ nêu ngắn gọn các phương pháp. Bạn có thể xem. 0 vô nghim a0 a0 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN KHẢO SÁT HÀM SỐ Vấn đề 1. SỰ TIẾP XÚC GIỮA HAI ĐƢỜNG, TIẾP TUYẾN CỦA ĐƢỜNG CONG Ý nghĩa hình học của đạo hàm o hàm ca hàm s