Các phương pháp xử lý tín hiệu dùng bộ lọc, phương pháp Fourier Transform, STFT( Short Time Fourier Transform)

Các phương pháp xử lý tín hiệu dùng bộ lọc, phương pháp Fourier Transform, STFT( Short Time Fourier Transform)

TRƯỜNG ĐHBK TP.HCM-năm2007 www.bme.vn LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP 2.4 CÁC PHƯƠNG PHÁP XỬ LÝ TÍN HIỆU TRƯỚC ĐÂY: Xử lý tín hiệu : - Trong miền thời gian: dùng lọc - Trong miền tần số: phương pháp Fourier Transform - Trong miền thời gian tần số: STFT( Short Time Fourier Transform) 2.4.1 Phương pháp Fourier: 2.4.1.1 Biến đổi Fourier: Cho hàm f(t) khả tích tuyệt đối, biến đổi Fourier định nghĩa: F (ω ) = ∞ ∫ f (t )e − jωt dt = e iωt , f (t ) (2.14) −∞ Biến đổi Fourier ngược là: f (t ) = 2π ∞ ∫ F (ω )e jωt dω (2.15) −∞ Giả sử biến đổi Fourier Fourier ngược tồn tại, ta kí hiệu : f (t ) = F (ω ) cặp biến đổi Fourier ü Biến đổi liên tục: x (t ) = 2π X ( jω ) = ∞ ∫ X ( jω ) ⋅ e jωt dω −∞ ∞ (2.16) ∫ x (t ) ⋅ e − jωt dω =< x(t ), e jωt > −∞ ü Rời rạc: x[n] = jω 2π X (e ) = ∫ X (e jω ) ⋅ e jωn 2π ∞ ∑ x[n] ⋅e (2.17) − jωn n = −∞ 26 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com TRƯỜNG ĐHBK TP.HCM-năm2007 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP 2.4.1.2 Tính chất: Dịch :Nếu miền thời gian f(t) bị dịch đoạn t0 miền tần số biến đổi Fourier nhân với hệ số pha: f (t − t ) ↔ e − jωt Ngược lại, miền tần số nhân hệ số pha miền thời gian: e jω0 t f (t ) ↔ F (ω − ω ) Tỷ lệ :Một tỷ lệ miền thời gian sinh tỷ lệ nghịch miền tần số: f (at ) ↔ ω  F  a a Moment : Gọi mn moment thứ n F(t): ∞ mn = ∫ t n f (t )dt , n = 1,2 … −∞ 2.4.1.3 Chuỗi Fourier: Cho hàm tuần hoàn F(t) với chu kỳ T: F(t+T) = F(t) Nó biểu diễn tổ hợp tuyến tính số mũ phức với tần số nω 0, ω0 = 2π/T Khai triển chuỗi Fourier F(t) f (t ) = ∞ ∑ F (k )e jk ω 0t (2.18) k = −∞ T với F (k ) = T ∫ f (t )e −T − jk ω 0t dt • Phân tích liên tục: 27 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com TRƯỜNG ĐHBK TP.HCM-năm2007 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ∞ ∑ ak e jkω0t = x (t ) = k = −∞ ak = = ∞ ∑ ak e jk 2π t T k = −∞ 2π t − jk 1 x(t ) ⋅ e − jkω0t dt = ∫ x (t ) ⋅ e T dt ∫ TT TT (2.19) < x (t ), e jkω0t > T • Phân tích rời rạc: x[n] = ∑ ak e jkω0n = k =< N > ∑ ak e jk 2π n N k =< N > 1 ∑ >x[n] ⋅ e − jkω0n = N N n =< N = < x[n], e − jkω0n > N ak = ∑ x[n] ⋅ e − jk 2π n N (2.20) n =< N > Nhược điểm : Khi biến đổi sang miền tần số thông tin thời gian bị Nếu thuộc tính tín hiệu khơng thay đổi nhiều theo thời gian nhược điểm khơng đáng kể Tuy nhiều tín hiệu có chứa thơng số động: trôi, nghiêng, biến đổi đột ngột, khởi đầu kết thúc kiện Fourier khơng phát 2.4.2 Phương pháp STFT: Để đạt biến đổi Fourier cục bộ, định nghĩa biến đổi Fourier cửa sổ Tín hiệu đầu vào nhân với hàm cửa sổ W (t - τ) sau lấy biến đổi Fourier Kết biến đổi hai số STFTf(ω,τ) cho bởi: STFT xω (τ , ω ) = ∫ [x(t ) ⋅ W (t − τ )] ⋅ e − jωt dt (2.21) t W (t − τ ) : hàm cửa sổ dùng để phân tích (tập trung t = τ ) e − jωt : hàm (trọng số FT) Khi ta thể biểu diễn dạng tích trong: STFT f (ω , τ ) = g ω ,τ (t ) f (t ) với g ω ,τ (t ) = ω (t − τ )e jωt 28 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com (2.22) TRƯỜNG ĐHBK TP.HCM-năm2007 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Mỗi hàm thành phần khai triển có độ phân giải thời gian tần số, cách đơn giản định vị khác miền thời gian – tần số f(t) khơi phục lại L2(R) tích phân kép f (t ) = 2π ∞ ∞ ∫ ∫ STFT (ω ,τ )g (t )dωdτ ω ,τ f (2.23) − ∞− ∞ STFT có tính chất bảo tồn lượng: f (t ) = 2π ∞ ∞ ∫ ∫ STFT (ω ,τ ) f dωdτ (2.24) − ∞− ∞ Cung cấp phân bố lượng t1in hiệu mặt phẳng thời gian tần số PS = SPEC x(γ ) (t , f ) = STFTx(γ ) (t , f ) 2 = ∫ x(t ) ⋅ γ (t − t ) ⋅ e ∗ − j 2πft (2.25) dt t Phân tích rời rạc : STFT x(γ ) (nT , kF ) = ∫ x (t )γ * (t − nT )e − j 2πkFt dt (2.26) t x(t ) = ∑∑ STFTx(γ ) (nT , kF ) ⋅ g (t − nT )e j 2πkFt n (2.27) k Cửa sổ hẹp, phân giải thời gian tốt Cửa sổ rộng phân giải tần số tốt Nhược điểm: Độ xác giới hạn phụ thuộc vào kích thước hàm cửa sổ Chọn kích thước cụ thể cho cửa sổ thời gian, cho tần số Đối với số tín hiệu cần mềm dẻo STFT khơng đáp ứng 29 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com TRƯỜNG ĐHBK TP.HCM-năm2007 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP 2.5 BIẾN ĐỔI WAVELET: 2.5.1 Phân tích đa phân giải: Phân tích tín hiệu thành phần dựa dãy xấp xỉ Một tín hiệu xấp xỉ thơ cộng với chi tiết Trong khơng gian thơ khơng gian chi tiết trực giao với Nói cách khác, tín hiệu chi tiết hiệu phiên thơ phiên tinh tín hiệu Bằng cách áp dụng cách đệ quy dãy xấp xỉ, thấy khơng gian tín hiệu đầu vào L2(R) sinh không gian dãy xấp xỉ tất độ phân giải Khi độ phân giải chi tiết tiến đến vơ sai số xấp xỉ tiến đến Độ phân giải đưa Mallat Meyer, khơng sở cho Wavelet mà cịn cơng cụ tốn học mạnh để liên kết Wavelet phân tích băng tín hiệu Định nghĩa : Một phân tích đa phân tích đa phân giải bao gồm chuỗi khối không gian đóng .V2 ⊂ V1 ⊂ Vo ⊂ V−1 ⊂ V− Sao cho : - Đầy đủ hợp : −− UV m = L2 ( R ) m∈Z - Đầy đủ giao : IV m = {0} m∈Z - Bất biến tỷ lệ : f (t ) ∈ Vm ⇔ f (2 m t ) ∈ Vo - Bất biến dịch : f (t ) ∈ Vo ⇒ f (t − n) ∈ Vo , ∀n ∈ Z - Tồn ϕ ∞ ∈ Vo cho { (t − n) n ∈ z} sở trực chuẩn Vo ϕ 2.5.2 Chuỗi wavelet: Một hàm f ∈ L2(R) biểu diễn: 30 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com TRƯỜNG ĐHBK TP.HCM-năm2007 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Cơng thức phân tích f (t ) = ∑ F (m, n)ψ (t ) (2.28) m ,n m ,n∈Z ∞ Công thức tổng hợp F (m, n ) = ψ m, n (t ), f (t ) = ∫ψ m ,n (t ) f (t )dt (2.29) −∞ • Tính chất: - Tuyến tính: Giả sử toán tử T định nghĩa: T { f (t )} = F (m, n ) = ψ m ,n (t ), f (t ) Với a, b ∈ R thì: T [af (t ) + bg (t )] = aT [ f (t )] + bT [g (t )] - Dịch : Nếu tín hiệu có khai triển tỷ lệ hữu hạn f (t ) = ∑ M2 ∑ F (m, n )ψ (t ) m, n n∈Z m = −∞ Thì tín hiệu có tính dịch yếu tương ứng dịch ( f t −2 M ) ( k ↔ F m, n − M −m k với - ∞ ≤ m ≤ M2 - Tỷ lệ: Nếu tín hiệu f(t) có hệ số biến đổi Wavelet F(m,n) thì: 31 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com ) M k , : TRƯỜNG ĐHBK TP.HCM-năm2007 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ( ) f − k t ↔ 2 F (m − k , n ), k ∈ Z k - Đẳng thức Pareval { } Họ Wavelet trực chuẩn ψ m ,n (t ) thỏa mãn ∑ m ,n∈Z ψ m, n (t ) = f f ∈ L2(R) Bảo tồn lượng - Lấy mẫu đơi Tiling thời gian - tần số: Quá trình lấy mẫu miền thời gian, tỷ lệ m, thực với chu kỳ 2m, lúc ψm,n(t) = ψm,0(t –2mn) Ở dạng tỷ lệ, số mũ thường đề cập Khi tần số đảo tỷ lệ ta thấy Wavelet tập trung quanh ω Ψm,n(ω) tập trung quanh ω0 m Điều sinh q trình lấy mẫu đơi miền thời gian - tần số f S m cale m= m= m= S n hift m = -2 t m = -2 Lấy mẫu đôi miền thời gian Tiling miền thời gian tần số tần số khai triển chuỗi Wavelet Hình 2.10: Lấy mẫu đôi tiling thời gian 32 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com TRƯỜNG ĐHBK TP.HCM-năm2007 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP 2.5.3 Các tính chất hàm tỷ lệ: 2.5.3.1 Phương trình hai tỷ lệ: Hàm tỷ lệ xây dựng từ Phương trình hai tỷ lệ: ϕ (t ) = ∑ g (n )ϕ (2t − n ) (2.30) n Tương tự Wavelet ψ (t ) ∈ W0 ⊂ V1 thì: ψ (t ) = ∑ g (n )ϕ (2t − n ) (2.31) n 2.5.3.2 Tính chất moment: Bộ lọc thơng thấp g0(n) phần dãi lọc, có zero ω = π, g1(n) có zero ω = Khi Φ(ω) = 1, kéo theo ψ(ω) có zero ω = 0, đó: ∞ ∫ψ (t )dt = Ψ (0) = −∞ ∞ Một cách tổng quát: ∫ t ψ (t )dt = n n = 0, …, N –1 −∞ Điều có nghĩa N moment Wavelet zero 2.5.4 Biến đổi wavelet : Một đặc điểm nỗi bậc khai triển Wavelet dựa tảng cấu trúc đa phân giải để đưa giải thuật rời rạc thời gian hiệu quả, cách thực dãi lọc, giải thuật đưa Mallat gọi giải thuật Mallat 2.5.4.1.Biến đổi wavelet liên tục: § Wavelet mẹ: ψ a ,b (t ) = a ψ( t −b ) a 33 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com (2.32) TRƯỜNG ĐHBK TP.HCM-năm2007 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP a: thông số dịch chuyển b: thông số tỉ lệ a, b ∈ R (a ≠ 0) chuẩn ψ a,b (t ) = ψ (t ) :yếu tố bình thường hóa đảm bảo cho wavelet có mức a lượng § Khai triển: Cho trước hàm wavelet mẹ ψ (t ) có giá trị thực, hàm f (t ) ∈ L2 ( R) : - Cơng thức phân tích: f (t ) = ∑ F [m, n]ψ m ,n∈Z m, n (2.33) (t ) ∞ - Công thức tổng hợp: F [m, n] = ψ m, n (t ), f (t ) = ∫ψ m, n (t ) f (t )dt −∞ (2.34) F [m, n] gọi hệ số khai triển chuỗi wavelet 2.5.4.2 Biến đổi rời rạc: 0 § Chọn giá trị cố định: a = a m b = nb0 a m m, n = 0,±1,±2, Wx (m, n) = +∞ +∞ −m / −m ∫ x(t )ψ m,n (t )dt = a0 ∫ x(t )ψ (a0 t − nb0 )dt −∞ (2.35) −∞ Sử dụng phân tích đa phân giải x(t) phân tách thành nhiều mức khác nhau: K x(t)= ∞ ∑∑ j =1 k = −∞ di(k)ψj,k(t)+ ∞ ∑ aK(k)φK,k(t) k = −∞ ψj,k(t): wavelet rời rạc dung phân tích φK,k(t) hàm tỉ lệ rời rạc dj(k): tín hiệu chi tiết (hệ số wavelet) mức 2j 34 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com (2.36) TRƯỜNG ĐHBK TP.HCM-năm2007 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP aK(k) tín hiệu xấp xỉ ( hệ số tỉ lệ) mức 2K § Cơ sở wavelet rời rạc gồm hai hàm bản: -Trường hợp sở trực chuẩn: Cơ sở phân tích tín hiệu trùng với sở tổng hợp tín hiệu Cơ sở gồm hai hàm bản: φ [n] φ1[n] - Trường hợp trường hợp cặp sở trực giao: Cơ sở phân tích tín hiệu khác với sở tổng hợp tín hiệu Cơ sở phân tích gồm hai hàm bản: φ [n] φ1[n] Cơ sở tổng hợp gồm hai hàm bản: φ0~ [n] φ1~ [n] § Dãy lọc hai kênh: Hai hàm sở wavelet rời rạc hệ số hai lọc thông thấp thông cao h[n]= g[n]= 2 φ (t ), φ (2t − n) (2.37) ψ (t ), φ (2t − n) = (−1)h(1 − n) (2.38) 2.5.5 Biến đổi chuỗi wavelet tín hiệu : Wavelet có ba hàm sở Hiện người ta quan tâm nhiều đến nghiên cứu hai loại wavelet trực chuẩn (như wavelet Haar, wavelet Daubechies…)và wavelet cặp trực giao ( wavelet B-spline) Biến đổi chuỗi wavelet gồm hai qua trình: khai triển tín hiệu thành chuỗi wavelet tổng hợp chúng thành tí hiệu ban đầu Biến đổi chuỗi wavelet thực sở trực chuẩn hay cặp trực giao có sơ đồ chung khác hàm sở tổng hợp tín hiệu Thực dựa biến đổi wavelet rời rạc phân tích rời rạc đảm bảo mã hóa tiế kiệm khơng gian vừa đủ cho tái tạo xác Tín hiệu vào x[n] phân tích dãy lọc băng hai kênh thành hai dãy hệ số co kí hiệu cD cA Dãy hệ số nhánh lọc thông thấp cA, lại tiếp tục phân tích 35 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com TRƯỜNG ĐHBK TP.HCM-năm2007 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP dãy lọc hai kênh, phân tích lại tiếp tục nhánh thông thấp Mỗi lần khai triển tạo hai dãy hệ số wavelet : - Bộ lọc thông cao tạo hệ số chi tiết - Bộ lọc thông thấp tạo hệ số xấp xỉ Sơ đồ rút gọn phân tích tầng: Hình 2.1: : Sơ đồ phân tích DWT Sơ đồ tái tạo tầng: Hình 2.12: Sơ đồ tổng hợp DWT 36 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com www.bme.vn ... Fourier khơng phát 2.4.2 Phương pháp STFT: Để đạt biến đổi Fourier cục bộ, định nghĩa biến đổi Fourier cửa sổ Tín hiệu đầu vào nhân với hàm cửa sổ W (t - τ) sau lấy biến đổi Fourier Kết biến đổi... giải: Phân tích tín hiệu thành phần dựa dãy xấp xỉ Một tín hiệu xấp xỉ thô cộng với chi tiết Trong khơng gian thơ khơng gian chi tiết trực giao với Nói cách khác, tín hiệu chi tiết hiệu phiên thô... sở phân tích tín hiệu trùng với sở tổng hợp tín hiệu Cơ sở gồm hai hàm bản: φ [n] φ1[n] - Trường hợp trường hợp cặp sở trực giao: Cơ sở phân tích tín hiệu khác với sở tổng hợp tín hiệu Cơ sở phân