Tính toán động học các cơ cấu phẳng nhiều khâu với cấu trúc vòng động học kín

Gói Đồ Án là một bộ hoàn chỉnh giúp các bạn làm đồ án có nội dung tương tự có thể tham khảo cũng như ai đó có đề tài giống hệt có thể dùng luôn làm đồ án của riêng mình. Nội dùng file đính kèm bào gồm: (1. Thuyết minh: Mục lục, lời nói đầu, nội dung chính, kết luận, tham khảo; 2. File lập trình bằng phần mềm mathlab2008; 3. Slide thuết trình lúc bảo vệ) MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU ...................................................................................................................... 6 CHƯƠNG I: TỔNG QUAN VỀ CẤU TRÚC ĐỘNG HỌC CỦA CƠ CẤU PHẲNG .. 7 1.1 Mở đầu ............................................................................................................... 7 1.1.1 Định nghĩa và phân loại cơ cấu .................................................................. 7 a) Định Nghĩa:. .................................................................................................. 7 b) Phân loại cơ câu: ........................................................................................... 7 1.1.2 Cơ cấu truyền động .................................................................................... 8 1.1.3 Cơ cấu dẫn động ......................................................................................... 8 1.2 Các thành phần cơ bản của cơ cấu ..................................................................... 9 1.2.1 Các khâu động ............................................................................................ 9 1.2.2 Các khớp động .......................................................................................... 10 a) Các khớp bậc thấp. ...................................................................................... 10 b) Các khớp bậc cao. ....................................................................................... 12 1.3 Số bậc tự do của cơ cấu ................................................................................... 12 1.4. Các đặc trưng về cấu trúc của cơ cấu ............................................................. 15 1.4.1 Chuỗi động học ........................................................................................ 15 a) Định nghĩa chuỗi động. ............................................................................... 15 b) Phân loại chuỗi động (sự phân loại tôpô). .................................................. 15 c) Sự phân loại động học. ................................................................................ 16 1.4.2. Các cơ cấu phẳng (xét cơ cấu bốn khâu) .................................................. 17 a) Nhóm các cơ cấu 4 khâu với khớp quay. .................................................... 17 b) Nhóm các cơ cấu 4 khâu với khớp quay và khớp tịnh tiến. ....................... 19 CHƯƠNG II:CƠ SỞ LÝ THUYẾT PHÂN TÍCH ĐỘNG HỌC CƠ CẤU PHẲNG .. 23 2.1 Cơ sở lý thuyết về động học ............................................................................ 23 2.1.1 Các tọa độ suy rộng và phương trình liên kết động – hình học ................ 23 a) Khái niệm tọa độ suy rộng. ......................................................................... 23 b) Các tọa độ suy rộng đủ và các tọa độ suy rộng có dư. ............................... 23 2.1.2 Tính toán vị trí cơ cấu .............................................................................. 26 a) Phương pháp mặt cắt. .................................................................................. 26 b) Phương pháp tách khớp. ............................................................................. 28 c) Phương pháp chiếu véctơ. ........................................................................... 29 d) Sử dụng ma trận côsin chỉ hướng. .............................................................. 29 2.1.3 Tính toán vận tốc góc và gia tốc góc các khâu ........................................ 30 2.1.4 Tính toán vận tốc góc và gia tốc góc các điểm thuộc khâu động ............ 31 2.2 Phương pháp số trong phân tích động học ..................................................... 32 2.2.1 Phương pháp lặp Newton ......................................................................... 32 2.2.2 Đạo hàm số và tích phân số ...................................................................... 37 a) Đạo hàm số. ................................................................................................. 37 b) Tích phân số. ............................................................................................... 38 CHƯƠNG III: CÁC THÍ DỤ ÁP DỤNG ........................................................................ 43 3.1 Tính toán số động học của cơ cấu năm khâu phẳng ....................................... 43 3.1.1 Sơ đồ động học và hệ tọa độ ..................................................................... 43 3.1.2 Phương trình liên kết và vị trí các khâu .................................................... 44 a) Phương trình liên kết. .................................................................................. 44 b) Vị trí các khâu. ............................................................................................ 44 3.1.3 Tính toán vận tốc và gia tốc các khâu ....................................................... 45 a) Tính toán vận tốc. ........................................................................................ 45 b) Tính toán gia tốc. ........................................................................................ 46 3.1.4. Tính toán vị trí, vận tốc, gia tốc các khối tâm Si trên hệ tọa độ cố định .. 47 a) Vị trí khối tâm. ............................................................................................ 47 b) Vận tốc khối tâm. ........................................................................................ 49 c) Gia tốc khối tâm. ......................................................................................... 49 3.1.5 Chương trình viết bằng Matlap ................................................................. 50 3.2 Tính toán số động học của cơ cấu sáu khâu phẳng với khớp quay (loại 1) .... 53 3.2.1 Sơ đồ động học và các hệ tọa độ ............................................................... 53 3.2.2 Phương trình liên kết và vị trí các khâu .................................................... 54 a) Thiết lập hệ phương trình liên kết. .............................................................. 54 b) Vị trí các khâu. ............................................................................................ 55 3.2.3 Tính toán vận tốc, gia tốc góc các khâu .................................................... 55 a) Vận tốc góc các khâu. ................................................................................. 55 b) Gia tốc góc các khâu. .................................................................................. 55 3.2.4 Tính toán vị trí, vận tốc, gia tốc các khối tâm Si của các khâu. ................ 56 a) Vận tốc các khâu. ...................................................................................... 103 b) Gia tốc các khâu. ....................................................................................... 103 3.7.4 Tính toán vị trí, vận tốc, gia tốc các khối tâm Si của các khâu ............... 103 a) Vị trí. ......................................................................................................... 103 b) Vận tốc. ..................................................................................................... 104 c) Gia tốc. ...................................................................................................... 104 3.7.5 Chương trình Matlab ............................................................................... 104 3.8 Tính toán số động học ngược cơ cấu chấp hành song song phẳng 3RPR .... 109 3.8.1 Sơ đồ động học và các hệ tọa độ ............................................................. 109 3.8.2 Phương trình liên kết và vị trí các khâu .................................................. 110 a) Thành lập hệ phương trình liên kết. .......................................................... 110 b) Bài toán phân tích vị trí ............................................................................ 112 3.8.3 Tính toán vận tốc góc các khâu ............................................................... 112 3.8.4 Chương trình Matlab ............................................................................... 113 KẾT LUẬN ....................................................................................................................... 116 LỜI NÓI ĐẦU Ngày nay cùng với sự phát triển rất mạnh mẽ trong khoa học kỹ thuật nóichung và ngành cơ khí nói riêng, con người đã nghĩ và sáng tạo ra rất nhiều nhữngcơ cấu phức tạp đáp ứng được nhiều những phần công việc đặc biết khác nhau phụcvụ cho hoạt động sản xuất. Tuy nhiên song song với điều này thì chúng ta cũngkhông thể phủ nhận những cơ cấu khá đơn giản những mạng lại hiệu quả kinh tế vàhiệu quả công việc rất lơn, trong số đó phải kể đến các cơ cấu phẳng chúng đượcdùng rất nhiểu trong các máy cơ khí như máy bào, máy sàng, máy đột dậpv.v…Chính vì lý do này nên em chọn đề tài tốt nghiệp “Tính toán động học các cơcấu phẳng nhiều khâu với cấu trúc vòng động học kín”. Để khảo sát động học cơ cấu có thể sử dụng nhiều phương pháp khác nhau.Các phương pháp truyền thống, cổ điển là vẽ và giải tích. Theo đánh giá của nhiềunhà nghiên cứu, phương pháp vẽ có ưu điểm là đơn giản, trực quan, nhưng độ chínhxác thấp; phương pháp giải tích có độ chính xác cao, có nhiều tiện lợi hơn, nhưngtính trực quan thấp và khối lượng tính toán lớn. Ngày nay với sự trợ giúp của máyvi tính, Các phương pháp khảo sát bằng lập trình trên ngôn ngữ pascal, C, C++v.v… hay sử dụng các phần mềm tính như Matlab, Maple , Matcad v.v… đã đemlại nhiều thuận lợi cho người khảo sát so với các phương pháp truyền thống, đặcbiệt là tốc độ tính toán nhanh và tính linh hoạt trong quá trình khảo sát. Trên cơ sở nội dung của đề tài, thuyết minh được xây dựng gồm ba chươngvà sử dụng phần mềm tính Matlab để lập trình tính toán động học. Nội dung từngchương như sau: + Chương I: Tổng quan về cấu trúc động học của cơ cấu phẳng + Chương II: Cơ sở lý thuyết về phân tích động học cơ cấu phẳng+ Chương III: Các thí dụ áp dụng Sau một thời gian dài phân tích, tính toán và ứng dụng phần mềm Matlap đểlập trình cùng với sự hướng dẫn, chỉ bảo hết sức tận tình của thầy hướng dẫnPGS.TS. Nguyễn Phong Điền trong quá trình thực hiện đã giúp em hoàn thành tốtTÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................... 117 các cơ cấu phẳng nhiều khâu với cấu trúc vòng động học kín

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 6

CHƯƠNG I: TỔNG QUAN VỀ CẤU TRÚC ĐỘNG HỌC CỦA CƠ CẤU PHẲNG 7

1.1 Mở đầu 7

1.1.1 Định nghĩa và phân loại cơ cấu 7

a) Định Nghĩa: 7

b) Phân loại cơ câu: 7

1.1.2 Cơ cấu truyền động 8

1.1.3 Cơ cấu dẫn động 8

1.2 Các thành phần cơ bản của cơ cấu 9

1.2.1 Các khâu động 9

1.2.2 Các khớp động 10

a) Các khớp bậc thấp 10

b) Các khớp bậc cao 12

1.3 Số bậc tự do của cơ cấu 12

1.4 Các đặc trưng về cấu trúc của cơ cấu 15

1.4.1 Chuỗi động học 15

a) Định nghĩa chuỗi động 15

b) Phân loại chuỗi động (sự phân loại tôpô) 15

c) Sự phân loại động học 16

1.4.2 Các cơ cấu phẳng (xét cơ cấu bốn khâu) 17

a) Nhóm các cơ cấu 4 khâu với khớp quay 17

b) Nhóm các cơ cấu 4 khâu với khớp quay và khớp tịnh tiến 19

CHƯƠNG II:CƠ SỞ LÝ THUYẾT PHÂN TÍCH ĐỘNG HỌC CƠ CẤU PHẲNG 23

2.1 Cơ sở lý thuyết về động học 23

2.1.1 Các tọa độ suy rộng và phương trình liên kết động – hình học 23

a) Khái niệm tọa độ suy rộng 23

b) Các tọa độ suy rộng đủ và các tọa độ suy rộng có dư 23

2.1.2 Tính toán vị trí cơ cấu 26

a) Phương pháp mặt cắt 26

b) Phương pháp tách khớp 28

c) Phương pháp chiếu véctơ 29

d) Sử dụng ma trận côsin chỉ hướng 29

2.1.3 Tính toán vận tốc góc và gia tốc góc các khâu 30

2.1.4 Tính toán vận tốc góc và gia tốc góc các điểm thuộc khâu động 31

2.2 Phương pháp số trong phân tích động học 32

2.2.1 Phương pháp lặp Newton 32

2.2.2 Đạo hàm số và tích phân số 37

a) Đạo hàm số 37

b) Tích phân số 38

CHƯƠNG III: CÁC THÍ DỤ ÁP DỤNG 43

3.1 Tính toán số động học của cơ cấu năm khâu phẳng 43

3.1.1 Sơ đồ động học và hệ tọa độ 43

3.1.2 Phương trình liên kết và vị trí các khâu 44

a) Phương trình liên kết 44

b) Vị trí các khâu 44

3.1.3 Tính toán vận tốc và gia tốc các khâu 45

a) Tính toán vận tốc 45

b) Tính toán gia tốc 46

3.1.4 Tính toán vị trí, vận tốc, gia tốc các khối tâm Si trên hệ tọa độ cố định 47

a) Vị trí khối tâm 47

b) Vận tốc khối tâm 49

c) Gia tốc khối tâm 49

3.1.5 Chương trình viết bằng Matlap 50

3.2 Tính toán số động học của cơ cấu sáu khâu phẳng với khớp quay (loại 1) 53

3.2.1 Sơ đồ động học và các hệ tọa độ 53

3.2.2 Phương trình liên kết và vị trí các khâu 54

a) Thiết lập hệ phương trình liên kết 54

b) Vị trí các khâu 55

3.2.3 Tính toán vận tốc, gia tốc góc các khâu 55

a) Vận tốc góc các khâu 55

b) Gia tốc góc các khâu 55

3.2.4 Tính toán vị trí, vận tốc, gia tốc các khối tâm S i của các khâu 56

a) Vị trí khối tâm các khâu 56

b) Vận tốc khối tâm các khâu 57

c) Gia tốc khối tâm các khâu 57

3.2.5 Chương trình Matlab 58

3.3 Tính toán số động học của cơ cấu sáu khâu phẳng với khớp quay (loại 2) 62

3.3.1 Sơ đồ động học và hệ tọa độ 62

3.3.2 Phương trình liên kết và vị trí các khâu 62

a) Phương trình liên kết 62

b) Vị trí các khâu 63

3.3.3 Tính toán vận tốc, gia tốc góc các khâu 64

a) Vận tốc các khâu 64

b) Gia tốc các khâu 65

3.3.4 Tính toán vị trí, vận tốc, gia tốc các khối tâm Si của các khâu 66

a) Vị trí khối tâm 66

b) Vận tốc trọng tâm các khâu 68

c) Gia tốc trọng tâm các khâu 69

3.3.5 Chương trình viết bằng Matlab 70

3.4 Tính toán số động học của cơ cấu sáu khâu phẳng với khớp quay (loại 3) 74

3.4.1 Sơ đồ động học và các hệ tọa độ 74

3.4.2 Phương trình liên kết và vị trí các khâu 74

a) Phương trình liên kết 74

b) Vị trí các khâu 75

3.4.3 Vận tốc gia tốc các khâu 76

3.4.4 Vị trí, vận tốc, gia tốc các khối tâm Si 78

a) Vị trí 78

b) Vận tốc các khối tâm 79

c) Gia tốc khối tâm các khâu 79

3.4.5 Chương trình Matlab 80

3.5 Tính toán số động học của cơ cấu sáu khâu phẳng với một khớp tình tiến 84

3.5.1 Sơ đồ động học và các hệ tọa độ 84

3.5.2 Phương trình liên kết và vị trí các khâu 84

a) Thiết lập hệ phương trình liên kết 84

b) Vị trí các khâu 85

3.5.3 Vận tốc, gia tốc các khâu 86

a) Vận tốc góc 86

b) Gia tốc góc 86

3.5.4 Tính toán vị trí, vận tốc, gia tốc các khối tâm Si của các khâu 87

a) Vị trí trọng tâm các khâu 87

b) Quỹ đạo khối tâm các khâu 87

c) Vận tốc khối tâm các khâu 87

d) Gia tốc khối tâm các khâu 88

3.5.5 Chương trình Matlab 89

3.6 Tính toán số động học của cơ cấu sáu khâu phẳng với hai khớp tinh tiến 93

3.6.1 Sơ đồ động học và các hệ tọa độ 93

3.6.2 Phương trình liên kết và vị trí các khâu 93

a) Thiết lập hệ phương trình liên kết 93

b) Vị trí các khâu 94

3.6.3 Tính toán vận tốc, gia tốc các khâu 95

a) Vận tốc các khâu 95

b) Gia tốc các khâu 95

3.6.4 Tính toán vị trí, vận tốc, gia tốc khối tâm Si các khâu 95

a) Vị trí 95

b) Quỹ đạo khối tâm các khâu 96

c) Vận tốc các khối tâm 96

d) Gia tốc khối tâm các khâu 97

3.6.5 Chương trình Matlab 98

3.7 Tính toán số động học của cơ cấu tám khâu phẳng 101

3.7.1 Sơ đồ động học và các hệ tọa độ 101

3.7.2 Phương trình liên kết và vị trí các khâu 102

a) Thiết lập hệ phương trình liên kết 102

b) Vị trí các khâu 102

3.7.3 Tính toán vận tốc, gia tốc các khâu 103

a) Vận tốc các khâu 103

b) Gia tốc các khâu 103

3.7.4 Tính toán vị trí, vận tốc, gia tốc các khối tâm Si của các khâu 103

a) Vị trí 103

b) Vận tốc 104

c) Gia tốc 104

3.7.5 Chương trình Matlab 104

3.8 Tính toán số động học ngược cơ cấu chấp hành song song phẳng 3RPR 109

3.8.1 Sơ đồ động học và các hệ tọa độ 109

3.8.2 Phương trình liên kết và vị trí các khâu 110

a) Thành lập hệ phương trình liên kết 110

b) Bài toán phân tích vị trí 112

3.8.3 Tính toán vận tốc góc các khâu 112

3.8.4 Chương trình Matlab 113

KẾT LUẬN 116

TÀI LIỆU THAM KHẢO 117

LỜI NÓI ĐẦU

Ngày nay cùng với sự phát triển rất mạnh mẽ trong khoa học kỹ thuật nói chung và ngành cơ khí nói riêng, con người đã nghĩ và sáng tạo ra rất nhiều những

cơ cấu phức tạp đáp ứng được nhiều những phần công việc đặc biết khác nhau phục

vụ cho hoạt động sản xuất Tuy nhiên song song với điều này thì chúng ta cũng không thể phủ nhận những cơ cấu khá đơn giản những mạng lại hiệu quả kinh tế và hiệu quả công việc rất lơn, trong số đó phải kể đến các cơ cấu phẳng chúng được dùng rất nhiểu trong các máy cơ khí như máy bào, máy sàng, máy đột dập

v.v…Chính vì lý do này nên em chọn đề tài tốt nghiệp “Tính toán động học các cơ

cấu phẳng nhiều khâu với cấu trúc vòng động học kín”

Để khảo sát động học cơ cấu có thể sử dụng nhiều phương pháp khác nhau Các phương pháp truyền thống, cổ điển là vẽ và giải tích Theo đánh giá của nhiều nhà nghiên cứu, phương pháp vẽ có ưu điểm là đơn giản, trực quan, nhưng độ chính xác thấp; phương pháp giải tích có độ chính xác cao, có nhiều tiện lợi hơn, nhưng tính trực quan thấp và khối lượng tính toán lớn Ngày nay với sự trợ giúp của máy

vi tính, Các phương pháp khảo sát bằng lập trình trên ngôn ngữ pascal, C, C++ v.v… hay sử dụng các phần mềm tính như Matlab, Maple , Matcad v.v… đã đem lại nhiều thuận lợi cho người khảo sát so với các phương pháp truyền thống, đặc biệt là tốc độ tính toán nhanh và tính linh hoạt trong quá trình khảo sát

Trên cơ sở nội dung của đề tài, thuyết minh được xây dựng gồm ba chương

và sử dụng phần mềm tính Matlab để lập trình tính toán động học Nội dung từng chương như sau:

+ Chương I: Tổng quan về cấu trúc động học của cơ cấu phẳng

+ Chương II: Cơ sở lý thuyết về phân tích động học cơ cấu phẳng

+ Chương III: Các thí dụ áp dụng

Sau một thời gian dài phân tích, tính toán và ứng dụng phần mềm Matlap để lập trình cùng với sự hướng dẫn, chỉ bảo hết sức tận tình của thầy hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Phong Điền trong quá trình thực hiện đã giúp em hoàn thành tốt

đồ án tốt nghiệp Em xin chân thành cảm ơn!

Hà nội 21/05/2010

Sinh viên: Nguyễn Đặng Bình An

1.1 Mở đầu

1.1.1 Định nghĩa và phân loại cơ cấu

a) Định Nghĩa: Cơ cấu là một chuỗi động trong đó có một khâu được lấy làm hệ qui chiếu gọi là giá và các khâu còn lại gọi là các khâu động có chuyển động xác định trong hệ quy chiếu này Giá có thể cố định hay không cố định Thông thường

ta xem giá là cố định

b) Phân loại cơ câu

*) Cơ cấu truyền động và cơ cấu dẫn động: Tạo ra một chuyển động xác định cho

trước

*) Cơ cấu phẳng: Là các cơ cấu được được tạo thành từ các chuỗi hở phẳng có hai

khâu và từ các chuỗi động kín thuộc lớp các cơ cấu truyền thống

Hình 1.1: Cơ cấu sáu khâu phẳng một khâu tịnh tiến

*) Cơ cấu không gian: Là cơ cấu được tạo thành từ các chuỗi hở không gian thuộc

lớp các cơ cấu Robot Các cơ cấu Robot chưa kể phần làm việc được lắp với khâu động tận cùng (xa giá nhất) của nó, thường có ít nhất ba khâu động

2 3

1

2

3

4

1.1.2 Cơ cấu truyền động

*) Cơ cấu truyền động

+) Cơ cấu truyền động không đồng bộ (có hàm truyền) ví dụ như các cơ cấu 4 khâu,

cơ cấu cam v.v…

Hình 1.3: Cơ cấu bốn khâu và cơ cấu cam

+) Cơ cấu truyền động đồng bộ (có tỷ số truyền) ví dụ như bánh răng, đai, xích v.v…

Hình 1.4: Cơ cấu bánh răng và cơ cấu xích

1 2

3

4

+) Tay máy

Hình 1.6: Tay máy song song phẳng hai bậc tự do

1.2 Các thành phần cơ bản của cơ cấu

1.2.1 Các khâu động

*) Định nghĩa khâu: Khâu có thể là một chi tiết máy hoặc một số chi tiết máy ghép

cứng lại với nhau, mỗi chi tiết máy là một bộ phận không thể tháo rời hơn nữa của máy

*) Khâu động: Khâu động là một trong những đơn vị cấu thành nên cơ cấu Trong

cơ cấu có một khâu được lấy làm hệ quy chiếu gọi là giá và thường thì cố định Các khâu còn lại có chuyển động xác định trong hệ quy chiếu, được gọi là các khâu động

Hình 1.7: Cơ cấu bốn khâu tay quay thanh truyền trong đông cơ đốt trong

+ Cơ cấu trong Hình 1.7 có 3 khâu động (1, 2, 3), khâu 4 là giá cố đinh Khâu 1 là

tay quay, khâu 2 là thanh truyền, khâu 3 là pittông và khâu 4 là xylanh gắn liền với

vỏ máy

+ Chuyển động giữa khâu 1 và 4, giữa khâu 2 và 1, khâu 3 và 2 là chuyển động

quay còn chuyển động tương đối giữa khâu 3 và khâu 4 là chuyển động tịnh tiến

+ Trong hệ quy chiếu gắn liền với khâu 4, khâu 1 có chuyển động quay, khâu 2 có

chuyển động song phẳng, còn khâu 3 có chuyển động tịnh tiến

Mỗi vật rắn tự do chuyển động trong không gian có 6 bậc tự do Như thế nếu hai

vật rắn không nối ghép với nhau, giữa chúng sẽ có 6 chuyển động tương đối Khi

hai vật rắn nối ghép với nhau bằng một khớp động, tùy theo kết cấu của khớp, một

số chuyển động tương đối giữa chúng sẽ bị cản trở Số chuyển động tương đối giữa

chúng sẽ bị cản trở Số chuyển động tương đối giữa hai vật rắn bị hạn chế do nối

khớp với nhau được gọi là sô ràng buộc của khớp động Trên cơ sở khái niệm số

ràng buộc chuyển động tương đối giữa hai khâu nối khớp ta đưa ra công thức định

*) Sự phân loại các khớp động trong lý thuyết cơ cấu

Trong lý thuyết cơ cấu người ta phân loại các khớp thành các khớp bậc thấp

(lower pais) hoặc còn gọi là các khớp chuẩn và các khớp bậc cao (higher pais) hoặc

các khớp phức tạp

a) Các khớp bậc thấp

Các khớp bậc thấp là các khớp có tiếp xúc mặt Người ta phân ra 6 loại khớp bậc

thấp (khớp chuẩn) như sau:

Ký hi

p có b

Ký hiRPCSE

ng m

MặMặMặMặMặ

c t

Hình 1.9: Các kh

c còn g giớ

(1.2)

Trong đó: f th là số bậc tự do thừa của cơ câu

Trong mỗi cơ cấu có một khâu cố định được gọi là giá đỡ và p khâu động Trong

không gian có thể có 6p chuyển động riêng Tuy nhiên các khâu được nối ghép với

nhau bởi n J khớp động Mỗi khớp động làm giảm bậc tự do tại đó từ 6 xuống

6f Ji Do đó mỗi khớp làm giảm số bậc tự do của hệ từ 6p đến 6f Ji Vì vậy ta

đổi vị trí của cơ cấu Số bậc tự do ứng với các chuyển động này được gọi là các bậc

tự do thừa Nếu ký hiệu tổng các bậc tự do thừa của mỗi cơ cấu là f thì công thức th

xác định số bậc tự do của cơ cấu có dạng như công thức (1.2)

Nếu gọi n là số vòng động học trong một cơ cấu, theo công thức L n L n J  thế p

biểu thức này vào công thức (1.2) ta được

1

6

J n

Tiêu chuẩn này thường được dùng để xác định số bậc tự do của cơ câu Và người tà

thường phân biệt các trường hợp sau:

Chú ý rằng các công thức (1.2) và (1.4) cho kết quả sai đối với các kết cấu siêu tĩnh

Từ các công thức (1.2) và (1.4) ta suy ra các công thức xác định số bậc tự do của cơ

cấu cầu và cơ cấu phẳng

Theo công thức (1.5) hoặc (1.6) ta dễ dàng xác định được số bậc tự do của cơ cấu

này như sau:

Vậy cơ cấu bốn khâu phẳng có một bậc tự do

*) Thí dụ 2: Cho cơ cấu bốn khâu không gian như Hình 1.23 Hãy xác định số bậc

tự do của cơ cấu này

Hình 1.23

Trong cơ cấu này có hai khớp B và C là hai khớp cầu (bậc tự do của mỗi khớp là 3)

và hai khớp quay O và D (bậc tự do của mỗi khớp là 1) Theo công thức (1.4) ta có

Trong cơ cấu này có một bậc tự do thừa (phép quay tương đối của khâu BC quay

quanh trục BC) Do đó ta có số bậc tự do dẫn động của cơ cấu là 1

1.4 Các đặc trưng về cấu trúc của cơ cấu

1.4.1 Chuỗi động học

a) Định nghĩa chuỗi động

Một hệ nhiều vật liên kết với nhau bằng các khớp được gọi là một chuỗi động Nói

cách khác chuỗi động là một hệ nhiều vật chịu liên kết

Như thế một hệ nhiều vật có thể là một chuỗi động và cũng có thể không phải là

một chuỗi động Trên Hình 1.21a là sơ đồ một hệ nhiều vật chịu liên kết (chuỗi

động), còn trên Hình 1.21b là hệ nhiều vật không chịu liên kết (không phải là chuỗi

động) Trong đó các khuyên tròn nhỏ là ký hiệu tượng trưng cho các khớp, còn các

hình tựa elíp là ký hiệu tượng trưng cho các vật rắn Một hệ nhiều vật chịu liên kết

có thể là một chuỗi động và cũng có thể gồm nhiều chuỗi động

Hình 1.21a: Hệ nhiều vật có liên kết Hình 1.21b: Hệ nhiều vật không có liên kết

b) Phân loại chuỗi động (sự phân loại tôpô)

Về phương diện tôpô ta phân chia hệ nhiều vật chịu liên kết (chuỗi động) thành hai

loại: Hệ nhiều vật có cấu trúc cây (các chuỗi động hở) và hệ nhiều vật có cấu trúc

mạch vòng (các chuỗi động kín)

*) Hệ nhiều vật có cấu trúc cây (các chuỗi động hở)

Ở các hệ nhiều vật có cấu trúc cây, con đường đi từ một vật thể này sang một vật

thể khác bất kỳ được xác định một cách duy nhất Như thế ứng với mỗi vật thể ta có

thể xác định một cách duy khớp trước nó và vật thể trước nó Nếu ta chọn một vật

thể nào đó làm vật thể quy chiếu của chuỗi động và ký hiệu n là số khớp động, p là J

số vật thể động (không kể vật quy chiếu), ta có công thức

J

n  (1.7) p

*) Hệ nhiều vật có cấu trúc mạch vòng (các chuỗi động kín)

Nếu ta thêm vào chuỗi động hở một khớp phụ, ta sẽ được một chuỗi động kín hay

một mạch vòng độc lập Từ công thức (1.7) ta suy ra hệ thức xác định số lượng các

mạch vòng độc lập, ký hiệu là n , của một chuỗi động kín L

n n  (1.8) p

Các chuỗi động kín được phân thành các chuỗi động kín toàn phần và các chuỗi

động kín từng phần

Một hệ nhiều vật có cấu trúc mạch vòng tạo thành một chuỗi động kín từng phần

nếu có một trong hai đặc điểm sau:

+ Có một hoặc vài hệ con là chuỗi động hở

+ Các hệ con là chuỗi động kín, nhưng lại ghép nối với nhau không kín

Một hệ nhiều vật có cấu trúc mạch vòng tạo thành một chuỗi động kín hoàn toàn

nếu như thỏa mãn cả hai điều kiện sau

+ Mỗi vật thể là một phần tử của một mạch vòng

+ Mỗi mạch vòng có ít nhất một vật thể nối với mạch vòng khac

Trên Hình 1.22a, 1.22b,và 1.22c là các sơ đồ biểu diễn các loại chuỗi động Hình

1.22a là chuỗi động hở, Hình 1.22b là chuỗi động kín từng phần, Hình 1.22c là

chuỗi động kín toàn phần

Từ đây ta có thể đưa ra đinh nghĩa về cơ câu một cách ngắn gọn như sau: Cơc cấu là

một chuỗi động kín, trong đó có một khâu cố định là giá đỡ

c) Sự phân loại động học

Dựa trên đăc điểm chuyển động của các vật thể tạo thành chuỗi động người ta phân

các chuỗi động thành ba nhóm: Các chuỗi động phẳng, các chuỗi động cầu, và các

chuỗi động không gian

*) Các chuỗi động phẳng (hệ nhiều vật phẳng)

Nếu tất cả các điểm của các vật thể tạo thành chuỗi động đều chuyển động song

song với một mặt phẳng quy chiếu thì chuỗi động được gọi là chuỗi động phẳng

Các chuyển động tương đối của các vật thể tại các khớp động hoặc là chuyển động

tịnh tiến hoặc là chuyển động quay quanh một trục vuông góc với mặt phẳng quy

chiếu

*) Các chuỗi động cầu (hệ nhiều vật cầu)

Ở các chuỗi động cầu quỹ đạo của mỗi điểm của một vật thể nằm trên một mặt cầu

xác định nào đó có tâm là điểm cố định Mỗi vật thể trong chuỗi động cầu thực hiện

ba chuyển động quay quanh các trục giao nhau và không thực hiện chuyển động

tịnh tiến

*) Các chuỗi động không gian (hệ nhiều vật không gian)

Ở các chuỗi động không gian, các vật thể có thực hiện các chuyển động không gian

tổng quát, bao gồm ba chuyển động quay quanh các trục giao nhau và ba chuyển

động tịnh tiến Chuyển động tương đối của các vật thể ở các khớp động trong

trường hợp tổng quát là các chuyển động không gian

1.4.2 Các cơ cấu phẳng (xét cơ cấu bốn khâu)

Các cơ cấu bốn khâu thông dụng được biểu diễn ở hình bên dưới Mỗi cơ cấu bốn

khâu phẳng có một khâu cố định là giá, một khâu không nối giá gọi là thanh truyền

và hai khâu nối với giá gọi là các khâu nối giá Trong các cơ cấu bốn khâu phẳng

thông dụng có ít nhất một khâu nối giá được nối với giá bằng khớp bản lề Khi khâu

này quay được liên tục quanh giá nó được gọi là tay quay, ngược lại thì nó được gọi

là cần lắc

Công dụng của cơ cấu bốn khâu phẳng và của các cơ cấu phẳng toàn khớp thấp nói

chung là biến đổi chuyển động

a) Nhóm các cơ cấu 4 khâu với khớp quay

Cơ cấu bốn khâu với khớp quay hay còn gọi là cơ cấu bốn khâu bản lề Các cơ cấu

này dùng để biến đổi chuyển động quay thành chuyển động lắc hay ngược lại, biến

đổi chuyển động quay thành một chuyển động quay khác hoặc biến đổi một chuyển

động lắc thành một chuyển động lắc khác

Các trường hợp khac nhau của cơ cấu bốn khâu bản lề

Khi kích thước động của giá bằng kích thước động của thanh truyền và kích thước

động của hai khâu nối giá bằng nhau thì lược đồ động của cơ cấu có dạng hình bình

hành Hình 1.24 Đây là một trường hợp đặc biệt của cơ cấu bốn khâu bản lề gọi là

cơ cấu bình hành Trong trường hợp đặc biệt này thanh truyền luôn song song với

giá Hai khâu nối giá cũng luôn song song với nhau do đó vận tốc góc của chúng

luôn bằng nhau và tỷ số truyền 13 1

31

Ứng với các quan hệ đặc biệt về các kích thước về các kích thước động như nêu ở

trên lược đồ động có thể không có dạng một hình bình hành (Hình 1.24b) trong

trường hợp, này cơ cấu được gọi là phản bình hành

Khi một khâu nối giá chập lại hay duỗi thẳng được với thanh truyền thì ở vị trí này

+ Điểm P (Giao giữa thanh truyền và giá) sẽ trùng với khớp nối giá của khâu

này (ở đây là khớp A)

+ Khâu nối giá kia có vận tốc bằng không và sau đó đổi chiều quay Vị trí này

được gọi là vị trí biên của nó Khi một khâu nối giá đã có một vị trí biên thì thể nào

34

nó cũng có một vị trí biên thứ hai Góc chuyển động của khâu này giữa hai vị trí

biên gọi là góc lắc của nó và khâu này là một cần lắc

Hình 1.25: Cần lắc

b) Nhóm các cơ cấu 4 khâu với khớp quay và khớp tịnh tiến

*) Cơ cấu culít

Cơ cấu culít dùng để biến chuyển động quay thành một chuyển động quay khác

hoặc chuyển động lắc

a) Cơ cấu culít b) Cơ cấu culít đảo

Hình 1.26: Cơ cấu culít

Trong cơ cấu culít Hình 1.26a, thanh truyền 2 được nối với khâu dẫn 1 bằng khớp

quay và với khâu nối giá 3 bằng khớp trượt

Tỷ số truyền: 13 1

3

PC i

PA





Trong đó: A, C lần lượt là các tâm bản lề nối khâu 1 và khâu 3 với giá P là giao

điểm của đường thẳng chứa giá và đường thẳng vuông góc với phương trượt đi qua

tâm bản lề B nối khâu dẫn 1 với thanh truyền 2

* Khi kích thước động khâu dẫn 1 bằng kích thước động của giá thì lược đồ động

của cơ cấu luôn có dạng một tam giác cân Hình 1.27 và khi cơ cấu chuyển động

điểm P luôn có vị trí cố định

Khi đó: PA = AB = AC

Tỷ số truyền: 1

13 3

2

PC i

PA





Hình 1.27: Cơ cấu culít có tỷ số truyền là hằng số

Đây là trường hợp độc nhất của cơ cấu culít có tỷ số truyền bằng hằng số

* Trừ trường hợp đặc biệt trên đây tỷ số truyền của cơ cấu culít là một đại lượng

biến thiên theo vị trí của cơ cấu Vì các điểm A và C là các điểm cố định trên đường

thẳng này nên tỷ lệ giữa các đoạn thẳng PA, PC cũng luôn thay đổi

* Trong quá trình cơ cấu chuyển động, nếu có lúc khâu dẫn 1 vuông góc với

phương trượt thì tại vị trí này của cơ cấu

+ Điểm P trùng với điểm A (tâm khớp bản lề nối khâu dẫn với giá)

+ Khâu 3 có vận tốc bằng không và sau đó đổi chiều quay, vị trí này của khâu 3

được gọi là vị trí biên của nó Góc chuyển động của khâu 3 giữa hai vị trí biên của

nó được gọi là góc lắc  và cơ cấu này biến chuyển động quay thành chuyển động

lắc

*) Cơ cấu tay quay con trượt

Cơ cấu tay quay con trượt dùng để biến chuyển động quay thành chuyển động tịnh

tiến qua lai, hay ngược lại, hoặc biến chuyển động lắc thành chuyển động tịnh tiến

qua lại, hay ngược lai

1 2

34





CD

3 4

Trong cơ cấu tay quay con trượt có một khâu nối giá bằng khớp bản lề và một khâu

nối giá bằng khớp trượt Ta quy ước gọi khâu nối giá bằng khớp bản lề là khâu 1 và

con trượt là khâu 3 Phương của con trượt có thể đi qua tâm khớp bản lề nối khâu 1

với giá mà cũng có thể không đi qua tâm này Trong trương hợp thứ nhất ta có cơ

cấu tay quay con trượt chính tâm, và trong trường hợp thứ hai ta có cơ cấu tay quay

con trượt không chính tâm Khoảng cách e từ tâm bản lề nối giá với khâu dẫn đến

phương trượt được gọi là độ lệch tâm hay tâm sai Đây chính là kích thước động của

khâu 4 Cơ cấu tay quay con trượt chính tâm thì e = 0

a)Cơ cấu chính tâm b) Cơ cấu không chính tâm

Hình 1.28: Cơ cấu tay quay con trượt

Tuy hai vận tốc 1 và v3không cùng thứ nguyên nhưng ta qui ước vẫn định

nghĩa một tỷ số truyền như sau: 3

1

v i



 với v3,1 lần lượt là giá trị của vận tốc dài

của con trượt và giá trị vận tốc góc của khâu 1 Mặt khác v3  1.AP nên ta có

những kết luận sau

* Khi cơ cấu chuyển động, phương và vị trí thanh truyền luôn thay đổi do đó điểm P

cũng có vị trí thay đổi trên đường vuông góc với phương kẻ qua A Chiều dài đoạn

thẳng AP như vậy luôn tỷ lệ với 3

1

v

 như vậy là một đại lượng biến thiên theo vị trí

của cơ cấu

a) Điểm P có vị trí thay đổi b) giá 1 duỗi thẳng cung với thanh truyền

*) Khi khâu nối giá 1 chập lại được hay duỗi thẳng được cùng với thanh truyền,

điểm P trùng với điểm A, vận tốc v3khi đó bằng không Sau vị trí này con trượt sẽ

đổi chiều quay vì vậy vị trí này được gọi là một vị trí biên của nó Hình 1.29b

Khoảng cách giữa hai vị trí biên của con trượt được gọi là hành trình của nó

CHƯƠNG II

CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ PHÂN TÍCH ĐỘNG HỌC CƠ CẤU PHẲNG

Khảo sát động học cơ tùy vào mục đích mà người ta chia ra làm hai bài

toán Bài toán thuận: biết q tìm s bài toán này dùng để mô phỏng chuyển động của

cơ cấu Bài toán động học ngược: biết chuyển động của khâu bị dẫn (khâu thao

tác), cần tìm q bài toán này dùng để tính toán điều khiển cơ cấu

2.1 Cơ sở lý thuyết về động học

2.1.1 Các tọa độ suy rộng và phương trình liên kết động – hình học

a) Khái niệm tọa độ suy rộng

Như đã biết trong các giáo trình về cơ học giải tích hoặc cơ học kỹ thuật, vị trí của

một hình phẳng (vật rắn phẳng) được xác định bởi ba tọa độ, vị trí của một vật rắn

không gian được xác định bởi sáu tọa độ Nếu một hệ nhiều vật gồm p vật rắn

không gian và giữa chúng có r điều kiện ràng buộc hình học (và giả thiết hệ chỉ có

ràng buộc hình học) thì số bậc tự do của hệ là f = 6p – r Để xác định vị trí của một

hệ nhiều vật đối với một hệ quy chiếu nào đó ta cần phải sử dụng các tham số định

vị Các tham số dùng để xác định vị trí của một cơ hệ đối với một hệ quy chiếu

được gọi là các tọa độ suy rộng Trong thuyết minh này ta ký hiệu các tọa độ suy

rộng bằng q 1 , q 2 , q 3 q n (hoặc bằng s 1 , s 2 , s 3 s n ) Thông thường các tọa độ suy

rộng là các góc quay hoặc các độ dài Có nhiều cách khác nhau chọn các tọa độ suy

rộng Trong phần thí dụ ta đưa ra vài khả năng khác nhau lựa cọn các tọa độ suy

rộng trong một hệ nhiều vật

b) Các tọa độ suy rộng đủ và các tọa độ suy rộng có dư

* Số các tọa độ suy rộng độc lập ít nhất đủ để xác định vị trí của một hệ hôlônôm

được gọi là các tọa độ suy rộng đủ Như thế đối với hệ hôlônôm số các tọa độ suy

rộng đủ bằng số bậc tự do của cơ hệ Đối với cơ hệ hôlônôm có f bậc tự do, ta ký

hiệu các tọa độ suy rộng đủ bằng q 1 , q 2 , q 3 ,q f

* Trong một số tài liệu người ta gọi các tọa độ suy rộng đủ là các tọa độ tối thiểu

Đối với hệu nhiều vật có cấu trúc cây người ta thường sử dụng các tọa độ tối thiểu

q i để xác định vị trí của cơ hệ Đối với hệ nhiều vật hôlônôm có cấu trúc mạch vòng

người ta có thể sử dụng một trong hai cách sau để xác định vị trí của cơ hệ:

+) Sử dụng tọa độ suy rộng tối thiểu q 1 , q 2 , q 3 ,q f Số lượng các tọa độ này đúng

bằng số bậc tự do của hệ

+) Sử dụng các tọa độ suy rộng có dư Trong trường hợp này số lượng các tọa độ

suy rộng lớn hơn số bậc tự do của hệ

Nếu ta sử dụng r tọa độ suy rộng có dư (r  f) để xác định vị trí của một cơ hệ, thì

có z = r – f tọa độ suy rộng phụ thuộc và f tọa độ suy rộng độc lập Nếu cần phân

biệt rõ tọa độ suy rộng độc lập và tọa độ suy rộng phụ thuộc thì ta sử dụng các kí

hiệu sau:

Nhiều khi để phân biệt, ta sử dụng s i (i=1,2, ,r) để chỉ các tọa độ suy rộng có dư

Ta ký hiệu:

 T r

Trong trường hợp không cần phân biệt tọa độ suy rộng độc lập và tọa độ suy rộng

phụ thuộc ta có thể sử dụng q i (i=1, ,r) làm tọa độ suy rộng dư cho phù hợp với các

ký hiệu đã quen dùng trước đây trong các giáo trình Cơ học kỹ thuật hoặc Cơ học

giải tích

*Thí dụ: Cho cơ cấu bốn khâu phẳng như Hình vẽ 1.30 Sau đây là một vài phương

án lựa chọn tọa độ suy rộng để xác định vị trí của cơ cấu

Hình 2.1: Cơ cấu bốn khâu phẳng Giải:Ta trình bầy ba phương án lựa chọn tọa độ suy rộng xác định vị trí của cơ

cấu bốn khâu như hình vẽ

*) Phương án một

Cơ cấu khảo sát gồm ba khâu động Mỗi khâu là một vật rắn phẳng Vì vậy ta có thể

chọn chín tọa độ sau làm các tọa độ suy rộng

x y1, , , , , , , ,1 1 x y2 2 2 x y3 3 3



q (2.3) Chín tọa độ ta chọn tuy xác định được vị trí của cơ cấu, nhưng không độc lập nhau

Ta có 8 điều kiện ràng buộc như sau:

nên ta có hai phương trình ràng buộc chuyển động của các khâu

Như thế chín tọa độ (2.3) bị ràng buộc bởi tám phương trình (2.4), (2.10)

*) Phương án hai

Ta chọn tọa độ suy rộng tối thiểu là góc  Với cách chọn 1 q 1, ta hoàn toàn

xác định được vị trí của cơ cấu bốn khâu OABC Biết góc quay  , ta xác định 1

được vị trí của điểm A Lấy A làm tâm vẽ một cung tròn bán kính l , lấy C làm tâm 2

vẽ cung tròn bán kính l , giao của hai cung tròn này xác định vị trí của điểm B 3

Trong giáo trình Cơ học kỹ thuật ta đã biết: số bậc tự do của một hệ lônôlôm bằng

số tọa độ suy rộng độc lập đủ để xác định vị trí của hệ Trong cơ cấu bốn khâu ta chỉ

cần một tọa độ suy rộng độc lập đủ để xác định vị trí của cơ cấu Do đó cơ cấu bốn

khâu phẳng có một bậc tự do

2.1.2 Tính toán vị trí cơ cấu

Việc tính toán vị trí cơ cấu chính là việc giải hệ phương trình liên kết Đây là một

hệ phương trình phi tuyến, việc giải hệ này ta có thể dùng phương pháp lặp Newton

– Raphson sẽ trình bầy ở phần dưới hoặc sử dụng hàm fsolve trong Matlab Sau đây

trình bầy một số phương pháp lập các phương trình liên kết với ý tưởng là ta có thể

tách một mạch vòng tại một mặt cắt hoặc bằng cách tách khớp Khi đó ta biến một

mạch vòng thành một chuỗi động hở

a) Phương pháp mặt cắt

Hình 2.2: Tách một vòng tại một mặt cắt

* Một mạch vòng có thể chuyển thành một chuỗi động hở bằng một mặt mắt tại một

vật rắn nào đó của mạch vòng Hình 2.2 Ta gọi hai nửa của vật bị tưởng tượng tách

đôi là phần A và phần B

* Ta gắn chặt vào phần A hệ tọa độ RA =(Oxyz) A, vào phần B hệ tọa độ RB =(Oxyz) B

Các điều kiện ràng buộc được thiết lập từ các điều kiện tương thíc: Hai nửa A và B

của vật rắn phải có cùng véctơ định vị xác định vị trí điểm OA và OB và phải có

cùng ma trận côsin chỉ hướng Các yêu cầu đó được thể hiện bằng các hệ sau

rA rB (2.12)

OAA OB A (2.13) Trong đó rA là véctơ định vị điểm OA, rB là véctơ định vị điểm OB, OAA là ma trận

côsin chỉ hướng hệ quy chiếu RA =(Oxyz) A đối với hệ quy chiếu quán tính Ro, còn

OB

A là ma trận côsin chỉ hướng của hệ quy chiếu RB =(Oxyz) B đối với hệ quy chiếu

quán tính Ro

Phương trình véctơ (2.12) tương đương với ba phương trình vô hướng ràng buộc

các tọa độ suy rộng Phương trình ma trận (2.13) tương đương với chín phương

trình vô hướng Tuy nhiên chín phương trình đó chỉ có ba phương trình độc lập

Như thế từ các phương trình (2.12) và (2.13) ta nhận được sáu phương trình liên

kết

f ( , , , , )q1 q z1 z6  0;(i 1, , 6) (2.14)

*)Chú ý: Khi tách đôi vật rắn bởi một mặt cắt như (Hình 2.2) từ một vật rắn ta

tạo thành hai vật rắn mới Như thế hệ ban đầu có p vật rắn trở thành hệ có p +1 vật

rắn Vì vậy cần phải có thêm ba tọa độ suy rộng để xác định hướng của vật rắn mới

hình thành Do đó nếu ta vẫn sử dụng các tọa độ góc, thí dụ các góc Eluer, chung

cho cả hai nửa vật rắn, thì ta chỉ còn lại ba phương trình liên kết (2.12)

Về phương diện vận tốc và gia tốc ta có các điều kiện ràng buộc sau:

R R

B A

0 0

0 0

00

B A

0 0

0 0

00

hệ quy chiếu RA =(Oxyz) A và RB =(Oxyz) B là các hàm của các tọa độ suy rộng Một

nhược điểm của phương pháp mặt cắt là việc xác định giải tích các tọa độ phụ thuộc

z rất khó khăn, bởi vì tất cả các tọa độ phụ thuộc z đều có mặt trong sáu phương

trình liên kết

* Một mạch vòng trở thành một chuỗi hở nếu ta tách ra tại một khớp nào đó (Hình

tách và gắn hệ quy chiế R a’ =A’x a’ y a’ z a’, vào phần bên phải của khớp bị tách Do

khớp có bậc tự do nên hai hệ quy chiếu này khác nhau

* Giả sử số bậc tự do của khớp được tách là f Khi đó các tọa độ phụ thuộc Ja Z

được phân làm hai nhóm:

I II

 

 

  Z 

Z Z

Trong đó: Z : (I 6 f Ja) tọa độ khớp tại các khớp không tách,

Z : II f tọa độ khớp tại khớp tách Ja

Khác với phương pháp mặt cắt, ở đây ta chỉ cần phải giải hệ 6 f Ja phương trình

liên kết (các phương trình đại số tuyến tính) Dạng các phương trình này phụ thuộc

vào dạng của khớp tách Hệ các phương trình liên kết được phận thành hai hệ con:

z Sau khi đã biết z , ta xác định được I z ẩn từ các phương trình (2.17) Ưu điểm II

của phương pháp tách khớp là số lượng các phương trình liên kết giảm từ 6 phương

trình xuống còn 6 f Japhương trình Nhược điểm của phương pháp này là việc



O

c) Phương pháp chiếu véctơ

Trong trường hợp đơn giản với các cơ cấu phẳng, để đơn giản ta sử dụng phương

pháp chiếu các phương trình véc tơ lên hai trục tọa độ Ox và Oy, từ đó rút ra được

các phương trình liên kết

Hình 2.4: Phương pháp véctơ

Từ (Hình 2.4) ta có hệ thức véctơ như sau

l2   l3 l1 l4 0 (2.18) Chiếu phương trình (2.18) lên các trục Ox và Oy ta được phương trình liên kết được

biểu diễn dưới dạng:

Xét một cơ cấu phẳng gồm P khâu chịu liên kết giữ, dừng, hôlônôm và có f bậc tự

do Ta xác định hệ tọa độ gắn lên khâu thứ I của cơ cấu phẳng

Hình 2.5: Các hệ tọa độ tại khâu thử i của cơ cấu phẳng

Thông qua việc tính vị trí tại một điểm theo các hướng khác nhau rồi đồng nhất

chúng ta sẽ thu được cac phương trình liên kết và lập thành một hệ phương trình

liên kết

+ Khi đó số tọa độ suy rộng đủ là f :

T f

q q q1, , , 2 3 q

q (2.22) + Tọa độ số sủy rộng dư là s:

2.1.3 Tính toán vận tốc góc và gia tốc góc các khâu

Đạo hàm hệ phương trình liên kết theo t, ta được hệ phương trình sau:

d dt

2.1.4 Tính toán vận tốc góc và gia tốc góc các điểm thuộc khâu động

Để xác định vận tốc góc và gia tốc góc các điểm thuộc khâu ta cần phải xác định

được véc tơ xác định vị trí (tọa độ) của điểm đó Giả sử như điểm cần tính là trọng

tâm của các khâu ta xác định vận tốc và gia tốc như sau:

Ta có công thức xác định vị trí trọng tâm của các khâu dựa vào ma trận côsin chỉ

hướng như sau

( ) .i

r r I A r  (2.34) Đạo hàm công thức tính vận tốc (2.34) theo t và rút gọn đơn giản ta được công thức

xác định gia tốc các điểm thuộc khâu

2 ( )

r r  I  E A r (2.35)

2.2 Phương pháp số trong phân tích động học

Để khảo sát động học cơ cấu có thể sử dụng nhiều phương pháp khác nhau Các

phương pháp truyền thống, cổ điển là vẽ và giải tích Theo đánh giá của nhiều nhà

nghiên cứu, phương pháp vẽ có ưu điểm là đơn giản, trực quan, nhưng độ chính xác

thấp; phương pháp giải tích có độ chính xác cao, có nhiều tiện lợi hơn, nhưng tính

trực quan thấp và khối lượng tính toán lớn Ngày nay với sự trợ giúp của máy vi

tính, Các phương pháp khảo sát bằng lập trình sử dụng các phần mềm tính như

Matlab, Maple, v.v với việc sử dụng phương pháp sô đã đem lại nhiều thuận lợi

cho người khảo sát so với các phương pháp truyền thống, đặc biệt là tốc độ tính

toán nhanh và tính linh hoạt trong quá trình khảo sát

2.2.1 Phương pháp lặp Newton

Đầu tiên ta xét phương trình phi tuyến có một ẩn số có dạng:

( ) 0

f x  (2.36)

Giải phương trình này tức là tìm tất cả các nghiệm, nghĩa là tìm tất cả các giá trị của

x thỏa mãn phương trình (2.36) Phương trình rõ ràng có thể vô nghiệm, có một

nghiệm hoặc là vô số nghiệm Để tìm được các nghiệm đó ta có thể dùng nhiều

phương pháp khác nhau ví dụ như: Giải chính xác (các phương trình đại số bậc

nhất, bậc hai, hay các phương trình đặc biêt); giải bằng phương pháp đồ thị hay

dùng phương pháp số Sau đây sẽ trình bầy phương pháp pháp số: Phương pháp lặp

Newton-Raphson

Giải phương trình (2.36): ( )f x  0

Bằng phương pháp lặp nghĩa là ta thay phương trình đó bằng phương trình tương

đương nhưng ở dạng:

X(K+2) X(K+1) X(K) X

f(X ) (K+2) f(X ) (K+1) f(X ) (K)

Dễ dàng thấy có rất nhiều cách để chuyển (2.36) về (2.38) Tuy nhiên cần thiết phải

chọn cách chuyển như thế nào để đảm bảo tính hội tụ của phương pháp Phương

pháp lặp hay được dùng trong thực tế là phương pháp Newton còn gọi là

Newton-Raphson, theo đó ( ) x được chọn như sau:

   (2.39) Với: 1( )

Hàm ( ) x được định nghĩa như (2.39) được gọi là phương pháp lặp Newton

Như vậy ta có biểu thức hồi quy cho phương pháp lặp Newton nhưu sau:

( ) ( 1) ( )

Biểu diễn về mặt hình học có thể thấy phương trình (2.41) chính là phương tình tiếp

tuyến của đường cong y  f x( )tại điểm có tọa độ (x( )K , (f x K)) phương pháp này

vì thế còn được gọi là phương pháp tiếp tuyến

Hình 2.6: Phương pháp tiếp tuyến

Nhờ việc sử dụng đạo hàm của hàm số f(x) nên nói chung phương pháp sẽ hội tụ

nhanh hơn hai phương pháp chia đôi khoảng cách và phương pháp cát tuyến Tuy

nhiên do tính tổng quát của hàm số f(x), có thể dẫn đến nghiệm không mong muốn

hoặc thậm chí phép lặp không hội tụ Ví dụ như trong (Hình 2.7), quá trình lặp sẽ

không tiến được đến nghiệm chính xác

Hình 2.7: Biểu diễn quá trình lặp không tiến đến nghiệm chính xác

Về lý thuyết, định lý sau đây sẽ đảm bảo được tính hội tụ của phương pháp lặp

Newton

* Đinh lý: Giả sử hàm f(x) có các tính chất sau:

+ f(x) được xác định và liên tục trên a,b và f(a).f(b)  0

+ Tồn tại f ' và f '' liên tục trên a,b và không đổi dấu trong khoảng đó

Giả sử x ( )0 là a hoặc b sao cho:

Thì chuỗi x ( K ) được định nghĩa theo (2.41) sẽ hội tụ và giới hạn của nó là

nghiệm duy nhất của phương trình (2.36) f( x )  0 trong khoảng a,b

Cần phải thấy rằng đây là điều kiện đủ và khá chặt chẽ, đòi hỏi cả tính liên tục của

f '' trên khoảng a,b Do đó trong thực tế với các bài toán mà điều kiện trên không

được thỏa mãn ta vẫn có thể cho triển khai phép lặp trên máy tính, kiểm tra và cho

kết thúc quá trình sau một số bước cho trước nếu không đạt được độ chính xác chọn

trước

Ta sẽ tổng quát hóa bài toán với phương trình (2.36) đã được xét ở trên thành bài

toán với hệ phương trình Xét hệ phương trình có n ẩn sô:

Nghiệm

Phân kỳ X (K+2)

n n

Ta đưa ra phương pháp Newton-Raphson để giải hệ phi tuyến như sau

Đây là phương pháp lặp, trong đó ta sẽ xây dựng chuỗi các vectơ x ( K ) Biểu thức

hồi quy của nó được viết dưới dạng như sau:

n

n x

là ma trận nghịch đảo của ma trận Jacôbi được tính tại điểm x( K )

Tương tự như vậy f x( ( K ) )sẽ là véctơ chứa các giá trị của các hàm số f , f , f1 2 n tại

điểm x( K )

Về mặt hình thức, có thể coi (2.44) là biểu thức tổng quát của (2.41) trong không

gian n chiều Phương pháp này do đó có thể coi là phương pháp Newton-Raphson

tổng quát Ta sẽ bỏ qua định lý về tính hội tụ của chuỗi x ( K ) cũng như tính duy

nhất của nghiệm của phương trình (2.43) vì trên thực tế các điều kiện này khó được

kiểm tra và thỏa mãn được

Từ phương diện phương pháp số, để tránh việc tính nghịch đảo của ma trận Jacôbi tại mỗi bước lặp, ta hãy tách bài toán (2.44) thành việc giải hai hệ phương trình sau:

+ Bước 1: Giải F xx ( ( K ) ). x( K )  f x( ( K ) )để tìm  x( K ) (2.45)

+ Bước 2: x( K1)  x( K )  x( K ) (2.46)

Như thế ở bước 1 ta có phương trình đại số tuyến tính cho các ẩn số là  x( K ) Các

hệ số của hệ phương trình này chính là các phần tử của ma trận Jacôbi tại x( K ) Dễ

dàng tìm ra nghiệm  x( K ) nhờ các module giải hệ phương trình tuyến tính đã được

xây dựng như phương pháp Gauss, Gauss-Jordan, phân tích LU hoặc các phương

pháp lập

Sau khi có  x( K ), bước 2 chỉ đơn thuần là phép cộng hai véctơ Thuần giải của

phương pháp Newton-Raphson cho hệ n phương trình gồm n ẩn số được viết như

i  1 2, , ,n thì dừng, nếu không thì tiếp tục bước 4

4) Tính ma trận Jacôbi tại x( K ), tức là F xx ( ( K ) )

5) Giải (2.45) để tìm  x( K )

6) Thay  x( K )vào (2.46) để tìm x( K1)

7) K K  1

Nếu K  M với M là số bước lặp đã chọn trước, thì dừng nếu không tiếp tục từ 3

Trong thuật giải trên ta đã thoát ra khỏi vòng lặp trong hai tình huống Khi không

đạt được độ chính xác cần thiết, ta buộc phải kết thúc sau một số bước lặp nhất định

(bước 7) Quá trình lặp sẽ kết thúc tốt nếu như ta đạt được độ chính xác chọn trước

(bước 3) Chú ý rằng ở đây ta chọn điều kiện dừng bằng cách xét chuẩn cực đại

véctơ f Cũng như có thể thay thế điều kiện này bằng các điều kiện khác như sau

1

( K ) ( K)

2.2.2 Đạo hàm số và tích phân số

a) Đạo hàm số

Người ta thường dùng một số phương pháp để tính gần đúng đạo hàm của một

hàm số f(x) tại x trong đó hai phương pháp sau đây là thường được sử dùng nhất

*) Áp dụng đa thức nội suy

Giả sử người ta phải tĩnh xẫp xỉ đạo hàm của hàm số f(x) trên đoạn (a,b) Trước

hết người ta thay hàm f(x) bằng đa thức nội suy p(x), sau đó lấy đạo hàm p’(x) và

coi nó là xấp xỉ của đạo hàm f’(x)

Vídụ:

Giả sử xãc định được đa thức nội suy là p x3( )8x329x 5

Khi đó đạo hàm p x3'( )24x229 được xem là xẫp xỉ của f’(x)

không biết được cách lấy giới hạn Bất kỳ một thông số đầu vào nào cũng phải được

định nghĩa dưới dạng số và không được phép quá nhỏ hay qua lớn Để máy tính có

thể hiểu được, con số h xét về mặt lý thuyết vi phân trong phương trình là vấn đề

Tuy nhiên là sẽ có sai số so với giá trị thực của công thức (2.47), và sai số như

thế nào? Để đánh giá và phân tích sai số chúng ta khai triển chuỗi Taylor của f(x+h)

2 (2) (3) 1

Xét tích phân xác định của một hàm số f(x) trong đoạn (a,b)

( )

b

a

I   f x dx (2.53)

Nếu hàm f(x) liên tục trên đoạn (a,b) và có nguyên hàm F(x), thì I có thể tính được

một cách đơn giản công thức Newton-Leibniz

b

a

Tuy nhiên trong thực tế chúng ta thường gặp trường hợp hàm f(x) không có nguyên

hàm hoặc nguyên hàm quá phức tạp không thể xác định được Trong những trường

hợp này người ta phải tính gần đúng (2.53) Có nhiều cách để tính gần đúng tích

phân, ví dụ có thể dùng ngay định nghĩa của tích phân

1

0

lim n ( ).i i

n i

 

  (2.55) Tuy nhiên tổng Darboux hội tụ rất chậm, do đó để đạt được độ chĩnh xác cao đòi

hỏi một khối lượng tính toán lớn Do đó trong thực tế người ta hầu như không dùng

(2.55) để tính xấp xỉ tích phân

Sau đây là một số phương pháp tính gần đúng tích phân hay được dùng Ý tưởng cơ

bản của các phương pháp này là chia nhỏ đoạn (a,b) cần lấy tích phân, sau đó trên

mỗi khoảng nhỏ này ta xấp xỉ hàm số bằng một đa thức Với đa thức ta có thể dùng

nguyên hàm của chúng để tính tích phân, sau đó ta cộng các tích phân thành phần

để được xấp xỉ của tích phân tổng thể

+) Đánh giá sai sô

Định lý: Giả sử hàm số y  f x( ) có đạo hàm cấp hai liên tục

2

f x M x   a b (2.59) Khi đó ta có đánh giá

* 2 2( )12

M

*) Vídụ: Hãy tính gần đún tích phân

1

2 0

11

n



 ; y i  f x( )i ; i (0,1,2, 2 )n