Khóa luận tốt nghiệp Vật Lí Đề tài: “Phép biến đổi Laplace”

Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý PHẦN 1: MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Toán học là một ngành khoa học không những nó phục vụ cho chính nó, mà nó đặc biệt trở thành một công cụ hữu ích cho việc phát triển các ngành khoa học khác, trong đó có vật lý học. Tính chất cơ bản của vật lý học là tính thực nghiệm. Nhưng muốn trình bày những định luật định lượng của vật lý học một cách chính xác ta thường phải sử dụng phương pháp toán học. Phương pháp toán học được sử dụng từ lâu trong vật lý. Nó là sự giao thoa giữa toán học và vật lý học. Những quy luật đơn giản của vật lý đã được cơ học cổ điển giải quyết gần như trọn vẹn. Nhưng những quy luật vi mô, vĩ mô dưới tác dụng của nhiều trường khác nhau thì nó lại hoàn toàn bất lực. Cùng với điều đó là sự phát triển mạnh mẽ của toán học cả về bề rộng và bề sâu. Dẫn tới sự ra đời của một ngành vật lý mới vật lý lý thuyết. Người ta dùng phương pháp toán học để tìm ra những quy luật mới. Những quy luật tổng quát hơn những quy luật đã biết, đoán trước được mối quan hệ giữa những hiện tượng vật lý mà thực tế chưa quan sát được. Nó tìm được những quy luật tổng quát nhất, phản ánh được bản chất vật lý của nhiều hiện tượng xét một cách tổng quát nhất. Những phương pháp toán học dùng trong vật lý học hiện đại thì rất phong phú và đa dạng. Nó gồm một khối lượng kiến thức lớn thuộc các ngành như: hàm thực, hàm phức, các phương trình vi phân, các phép tính tích phân…Các kiến thức toán này nó không những cần thiết cho các bạn sinh viên để tiếp thu, thực hành cũng như nghiên cứu đối với các môn học khác trong khi học tại trường, mà còn là các công cụ toán hữu ích cho công tác của họ sau khi ra trường. 1 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý Bước đầu khám phá và đi sâu vào các công cụ toán học cũng như ứng dụng của nó trong vật lý. Đề tài: “Phép biến đổi Laplace” cũng là một trong số những công cụ toán có nhiều ứng dụng quan trọng trong vật lý. Nó giúp chúng ta giải quyết các bài toán vật lý một cách đơn giản hơn. Vì vậy khi chọn đề tài này tôi muốn đi sâu vào nghiên cứu, tìm hiểu các công cụ toán dùng trong vật lý nói chung và vật lý lý thuyết nói riêng. 2. Mục đích nghiên cứu - Nâng cao kiến thức toán học và sử dụng chúng một cách linh hoạt trong nghiên cứu vật lý. - Tìm hiểu các phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ Descartes. - Tìm hiểu các phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ cong, đặc biệt là hai hệ tọa độ thường gặp trong vật lý đó là: hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu. 3. Đối tượng nghiên cứu - Các phép biến đổi Laplace và ý nghĩa của chúng. 4. Phương pháp nghiên cứu - Vật lý lý thuyết - Phương pháp giải tích toán học - Đọc tài liệu và tra cứu 5. Cấu trúc khóa luận Đề tài nghiên cứu gồm: - Chương 1: Phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ Descartes. - Chương 2: Phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ cong. - Chương 3: Bài tập 2 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý PHẦN 2: NỘI DUNG Chương 1 PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCARTES 1. GRADIEN CỦA TRƯỜNG VÔ HƯỚNG 1.1 Trường vô hướng và đạo hàm theo đường (cung) Trường vô hướng là một phần của không gian mà mỗi điểm M của nó ứng với một giá trị của một đại lượng vô hướng nào đó f (M). Cho một trường vô hướng có nghĩa là cho một hàm vô hướng u = f (M) có giá trị phụ thuộc vào từng điểm M của miền V. Trong tọa độ Descartes Oxyz ta có: u = f (M) = f (x, y, z) Ví dụ 1: Xét sự phân bố nhiệt độ trong một vật thể nào đó. Tại mỗi điểm được cho tương ứng với một đại lượng vô hướng đó là nhiệt độ tại điểm này. Ta xét trường vô hướng u = f (x, y, z). Nếu hàm vô hướng u = f (M) của trường không thay đổi theo thời gian, ta có trường dừng. Nếu f còn phụ thuộc cả vào thời gian thì ta có trường không dừng hay trường thay đổi f (M, t). Để biểu diễn hình học trường vô hướng ta dùng khái niệm mặt mức. Tập hợp tất cả các điểm sao cho đại lượng u nhận cùng một giá trị C được gọi là mặt mức tương ứng với số C. Ứng với mỗi giá trị của C ta có một mặt mức, cho C các giá trị khác nhau ta có họ mặt mức. Ví dụ như, đối với trường u = x +y + z mặt mức tương ứng với giá trị 1 là mặt phẳng x + y + z = 1. Mặt mức đối với giá trị 2 là mặt phẳng x + y + z = 2. Đối với trường vô hướng cầu nào đó, mặt mức là một mặt cầu với tâm tại gốc tọa 3 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý độ, ví dụ đối với trường 2 2 2 1 y x y z = + + mặt mức u = 4 là hình cầu 2 2 2 1 4 x y z = + + hay 2 2 2 1 4 x y z+ + = . Giả sử cho đường cong L và trên đường cong này ta chọn một hướng nào đó (ví dụ theo chiều mũi tên). Khi đó đường cong gọi là được định hướng (H.1.1). Giả sử M và 1 M là 2 điểm trên đường cong, kí hiệu S∆ là độ dài cung 1 MM , S∆ lấy dấu + nếu điểm 1 M đứng sau điểm M và lấy dấu - nếu điểm 1 M đứng trước điểm M. Tốc độ trung bình của hàm u = f (M) dọc theo cung M 1 M là tỷ số của số gia của hàm (khi dịch chuyển từ M đến 1 M ) và độ dài cung S ∆ , tức bằng: 1 ( ) ( )f M f M S − ∆ Đạo hàm theo đường cong L tại điểm 1 M là giới hạn của tỷ số: 1 ( ) ( )f M f M S − ∆ khi điểm M dịch chuyển dọc theo đường cong L tiến đến điểm 1 M . Kí hiệu đạo hàm qua f L ∂ ∂ , ta có: f L ∂ ∂ = 1 1 ( ) ( ) lim M M f M f M S → − ∆ (1.1) Ta có thể dễ dàng chứng minh: 1 M f L ∂  ∂ = 1 1 1 cos cos cos M M M f f f x y z ∂ ∂ ∂  α +  β+  γ ∂ ∂ ∂ (1.2) trong đó α,β,γ là các góc tạo bởi vectơ tiếp tuyến với đường cong L tại các đểm 1 M và các trục toạ độ. Đạo hàm theo đường cong tại điểm 1 M không phụ thuộc vào hình dạng đường cong mà chỉ phụ thuộc vào hướng của tiếp tuyến 4 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh M 1 M L H.1.1 • • Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý với L tại điểm 1 M nói cách khác, nếu các đường cong 1 L và 2 L đi qua 1 M có tại điểm này cùng một vectơ tiếp tuyến, thì đạo hàm tại điểm này theo đường cong 1 L bằng đạo hàm theo đường cong 2 L (H. 1.2). 1.2 Gradien của trường vô hướng Ta xét trường vô hướng u = f(x, y, z) và tính đạo hàm của u theo hướng vectơ ℑ ur , trong đ ó ℑ ur = ai r + b j r + ck r . Người ta gọi đạo hàm theo hướng của vectơ ℑ ur tại điểm M là đạo hàm theo cung L bất kỳ đi qua M và tiếp xúc với ℑ ur . Đạo hàm riêng u x ∂ ∂ là đạo hàm theo hướng vectơ i r , đạo hàm riêng u y ∂ ∂ là đạo hàm 5 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh 1 M H. 1.2 τ r Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý theo hướng vectơ j r , đạo hàm riêng u z ∂ ∂ là đạo hàm theo hướng vectơ k r . Trước hết hãy tìm các cosin theo hướng của vectơ ℑ ur . 2 2 2 cos a a b c α = + + ; 2 2 2 cos b a b c β = + + ; 2 2 2 cos c a b c γ = + + Do đó 2 2 2 u u u a b c u x y z a b c ∂ ∂ ∂ + + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ℑ + + ur (1.3) Trong biểu thức trên tử số là tích vô hướng cuả vectơ ℑ ur và vectơ có toạ độ là ( u x ∂ ∂ , u y ∂ ∂ , u z ∂ ∂ ). Gọi vectơ này là gradien của u và ký hiệu gradu: Gradu = u x ∂ ∂ i r + u y ∂ ∂ j r + u z ∂ ∂ k r (1.4) Do đó: u gradu∂ .ℑ = ∂ℑ | ℑ| uur ur ur Hay là: . cos( , )u gradu gradu∂ | | |ℑ| ℑ = ∂ℑ | ℑ| ur ur ur ur Vậy: .cos( , ) u gradu gradu ∂ =| | ℑ ∂ℑ ur ur (1.5) Ta thấy vế phải của (1.5) là hình chiếu của gradu lên hướng ℑ ur . Từ đây ta suy ra đạo hàm tại điểm M theo hướng gradu là lớn nhất. Như vậy gradu là vectơ mà theo hướng của nó hàm u tăng với vận tốc lớn nhất. Ví dụ 1: Cho trường vô hướng 3 2 x y u z = xuất phát từ M (1, 2, 1) theo hướng nào hàm u tăng nhanh nhất. Giải: 2 2 3 3 2 2 3 2u u u x y x y x y gradu i j k i j k x y z z z z ∂ ∂ ∂ = + + = + − ∂ ∂ ∂ r r r r r r 6 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý gradu tại M 12 4 M gradu i j k = + − 4 r r Đạo hàm theo hướng gradien, tức 2 2 2 ax ( 12 4 ( 4) 176 13.3 m u∂ ) = + + − = ≈ ∂ℑ ur Ví dụ 2: Tìm đạo hàm của hàm số 2 2 u x y x= + tại điểm 0 (1,2)M theo hướng vectơ 0 1 M M uuuuuur trong đó 1 (3,0)M . Giải: Ta thấy 0 1 (2, -2)M M ℑ = = ur uuuuuur 2| ℑ|= 2 ur ; 2 2 u x y x ∂ = + ∂ ; 2 u xy y ∂ = ∂ Do đó: 0 (6,4) M gradu = và . 2 u gradu∂ ℑ = = ∂ℑ | ℑ| ur ur ur Định lí: Giả sử gradien của hàm u = f (x, y, z) tại điểm M khác không. Khi đó nó vuông góc với đường cong bất kỳ đi qua điểm M và nằm trong mặt mức u(x, y, z) = C, C là hằng số. Chứng minh: Vẽ qua điểm M đường cong l nằm trong mặt mức, bởi vì hàm u không thay đổi khi nó chuyển động theo đường cong l, nên 0 u l ∂ = ∂ r . Nhưng đạo hàm theo cung l bằng đạo hàm theo hướng tiếp xúc vì thế 0 u∂ = ∂ℑ ur . Theo công thức: .cos( , ) u gradu gradu ∂ =| | ℑ ∂ℑ ur ur , do 0 u∂ = ∂ℑ ur và gradu ≠ 0 nên cos( , ) 0gradu ℑ = ur . Tức là góc giữa ℑ ur và gradu bằng 0 90 . 7 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh gradu l M H.1.3 ℑ ur Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý Quỹ tích các tiếp tuyến tại điểm 0 M với các đường cong nằm trong mặt mức gọi là mặt tiếp xúc với mặt này tại điểm 0 M . Nếu 0 M có các toạ độ 0 0 0 ( , , )x y z thì: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) . ) . ) . M x y z x y z x y z u u u gradu i j k x y z ∂ ∂ ∂  = ( + ( + ( ∂ ∂ ∂ r r r Phương trình của mặt phẳng tiếp xúc với mặt mức là: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) .( ) ) .( ) ) .( ) 0 x y z x y z x y z u u u x x y y z z x y z ∂ ∂ ∂ ( − + ( − + ( − = ∂ ∂ ∂ (1.6) Chú ý: Nếu cho mặt xác định bởi f (x, y, z) = 0, ta có thể xem nó là mặt mức của hàm u = f (x, y, z) với C = 0. Do đó ta có thể viết mặt phẳng tiếp xúc với mặt f (x, y, z) = 0 nhờ công thức (1.6). Ví dụ 3: Hãy viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt parabolic 2 2 z x y= + tại điểm M (2, 1, 5). Mặt đã cho có thể xét như một mặt mức của hàm 2 2 u z x y= − − . Bởi vì: 2 2 1gradu xi y j k= − − + r r r , cho nên 0 4. 2. M gradu i j k = − − + r r r . Do đó phương trình của mặt phẳng tiếp xúc của mặt parabolic đã cho tại M có dạng: 4( 2) 2( 1) 1( 5) 0x y z− − − − + − = hay 4 2 5 0x y z− − + + = 1.3 Các tính chất của Gradien Gradien có các tính chất rất quan trọng sau đây mà ta có thể sử dụng trong chứng minh các công thức vật lý: a/ grad(u+v) = gradu + gradv (1.7) 8 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý b/ grad(uv) = u.gradv + v. gradu (1.8) c/ grad 2 u vgradu ugradv v v − = (v≠0) (1.9) 1.4 Ý nghĩa vật lý của gradien Từ (1.3) ta thấy gradien của một đại lượng vô hướng cho ta một vectơ. Cho nên trong vật lý người ta dùng phương pháp trong đó tính một đại lượng vô hướng (không đơn trị) một cách đơn giản hơn, nhưng gradien của nó lại cho ta một đại lượng vật lý thực dưới dạng vectơ, đơn trị, có thể đo được trên thực nghiệm. Thí dụ, trong điện động lực học người ta tính thế vô hướng φ (không đơn trị), nhưng E grad ϕ = ur là cường độ điện trường có thể đo được trên thực nghiệm. 2. DIVE CỦA TRƯỜNG VECTƠ 2.1 Trường vectơ-đường vectơ 2.1.1 Trường vectơ – đường vectơ Trong vật lý ta luôn tiếp xúc với các trường vectơ như trường lực, trường từ hay trường điện như E grad ϕ = ur được nêu ở trên. Để biểu diễn hình học trường vectơ ta dùng các đường vectơ, là các đường trong không gian mà tại mỗi điểm của nó vectơ A ur nằm dọc theo tiếp tuyến của trường tại điểm này. Nếu trường vectơ là trường lực hấp dẫn, thì các đường vectơ (gọi là các đường lực) là các tia xuất phát từ gốc toạ độ. Trong trường gradien A grad ϕ = ur đường vectơ của trường là đường mà khi chuyển động dọc theo nó, đại lượng u tăng với vận tốc lớn nhất. Để tìm đường vectơ của trường 9 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh H.1.4 Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý ( , , ) ( , , ) ( , , )A P x y z i Q x y z j R x y z k= + + ur r r r Ta tiến hành như sau: Giả sử phương trình tham số của đường vectơ là x=x(t) ; y=y(t) ; z=z(t) Khi đó vectơ tiếp xúc tại điểm tuỳ ý của đường này có dạng x y z i j k t t t ∂ ∂ ∂ ℑ = + + ∂ ∂ ∂ ur r r r Theo định nghĩa của trường vectơ, vectơ này đồng phương với vectơ của trường tại điểm (x, y, z). Vì thế hình chiếu lên các trục toạ độ của các vectơ này tỉ lệ với nhau. ( , , ) ( , , ) ( , , ) dx dy dz dt dt dt P x y z Q x y z R x y z = = (2.1) Gọi giá trị chung của các tỉ số trên là Φ(x, y, z) ta có: ( , , , ) ( , , ) dx x y z t P x y z dt = Φ ; ( , , , ) ( , , ) dy x y z t Q x y z dt = Φ ; (2,2) ( , , , ) ( , , ) dz x y z t R x y z dt = Φ . Chú ý: vì hàm Φ(x, y, z, t) được chọn tuỳ ý nên phương trình của đường vectơ là không duy nhất. Ví dụ: Ta xét trường hấp dẫn sinh ra bởi chất điểm đặt tại gốc toạ độ. Khi đó các đường vectơ là các tia xuất phát từ gốc toạ độ, vì thế ống vectơ trong trường này có dạng hình nón với đỉnh ở gốc toạ độ (H.2.1). 2.1.2 Thông lượng của trường vectơ qua một mặt 2.1.2.1 Thông lượng 10 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh O z x y H.2.1 [...]... của trường vật thể rắn quay với vận tốc góc không đổi quanh một trục cố định u r r A = ω0 ρ eϕ u r Các thành phần của véctơ A là: 33 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý Aρ = 0 , Α z = 0 , Αϕ = ω0 ρ Sử dụng công thức (4.6) ta được: u 1 ∂ (ω ρ 2 ) ur r ur 0 Rot A = ez = 2ω0 ez = 2ω ρ ∂ρ u r u r Từ đây ta nhận thấy rằng div A và rot A là bất biến đối với... riêng, tại điểm (0, 0, 1) u r r rot A = −2i Ví dụ 2: Xét trường vận tốc tại các điểm của một vật thể rắn quay với vận tốc góc không đổi ω0 quanh trục Oz Giải: Ta đã biết trường này được cho bởi công thức: u r r r A = −ω0 yi + ω0 x j Do đó 17 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý u r r r rot A = (ω0 + ω0 )k = 2ω0 k 3.3 Định lý stokes dưới dạng vectơ u r r ∫ Adl... trí của 1 điểm được xác định bởi q1 = ρ , q2 = ϕ , q3 = z (H.1.2) Ta có mối liên hệ giữa hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ đề các vuông góc: z M  x = ρ cos ϕ   y = ρ sin ϕ z = z  21 z O GVHD: T.S Phạm Thị Minh y Hạnh φ ρ H.1.2 x Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý Khoảng biến thiên ρ ≥ 0;0 ≤ ϕ ≤ 2π ; −∞ < z < +∞ Các mặt tọa độ: ρ = const là mặt trụ có trục tọa độ Oz ϕ = const là nửa mặt... Minh Hạnh Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý Ta xét trường vectơ: u r r r r A = Pi + Q j + Rk và chu tuyến l nằm trong trường này Ta gọi tích phân đường ∫ Pdx + Qdy + Rdz (3.1) l u r là lưu thông của trường vectơ A theo chu tuyến u r Ta hiểu ngầm rằng lưu thông không chỉ phụ thuộc vào A và l, mà còn cả hướng của chu tuyến l Khi thay đổi hướng của đường cong, lưu thông thay đổi dấu u... với nhau theo từng đôi một tại mỗi điểm được gọi là hệ tọa độ cong trực giao Trong các ví dụ trên, u r li = li r hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu đều là các hệ tọa độ cong trực giao 22 qi GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh H.1.4 Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý Trong không gian cho điểm M nào đó, r gọi li (i=1, 2, 3) là các vectơ đơn vị tiếp xúc tại điểm này với các đường tọa độ qi và hướng... với vectơ ∆q1 r r u l r 1 r Vr M 1 H.1.5 u r ur u ∂r đơn vị l1 tại M Đó là vectơ đạo hàm , do đó ∂q1 u r r ∂r = h1 l1 ∂q1 23 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh M 1 Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý Đại lượng này xác định vận tốc biến thiên của bán kính vectơ dọc theo u r ∂r đường tọa độ q1 Hệ số h1 chỉ độ lớn của vectơ ∂q1 u r ∂r ∂x r ∂y r ∂z r = i+ j+ k Ta có: ∂q1 ∂q1 ∂q1 ∂q1 do đó ∂x... r r A ∧ B ) là trường vectơ và u u r r u u r r u u r r div( A ∧ B ) = ( Brot A) − ( Arot B ) Kết luận: Chương 1 chúng ta đã nghiên cứu những khái niệm quan trọng về trường và những đặc trưng cơ bản của trường vectơ và trường vô 19 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý hướng Cùng với nó là các phép tính của trường như: phép tính gradien của trường vô hướng,... lớn hơn lượng chất lỏng chảy vào nó Ngược lại, nếu thông lượng âm thì lượng chảy vào S lớn hơn lượng chất lỏng chảy ra từ S Ví dụ: Cho trường vectơ 11 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý u r r r r A = ( x + y )i + ( y − x) j + zk Tính thông lượng của trường này qua bề mặt của hình cầu bán kính với tâm tại gốc toạ độ Trong trường hợp này pháp tuyến tại điểm... rota có tính chất tuyến tính u r u r u r u u r r Điều này có nghĩa là nếu C = α A + β B trong đó A , B là các trường vectơ; α , β là các hằng số thì 18 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý u r u r u r divC = α div A + β divB u r u r u r rotC = α rot A + β rot B Chứng minh: Giả sử u r r r r A = P i + Q1 j + R1 k 1 u r r r r B = P2 i + Q2 j + R2 k Khi đó: u r... V →M u r r ( A, n)dS ∫∫ S V = lim ∫∫ ( P cos α + Q cos β + R cos γ ) S (2.4) V V →M trong đó α, β, γ là những góc chỉ phương của pháp tuyến ngoài 12 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý Theo công thức Ostrogradski ta đưa tích phân mặt về tích phân 3 lớp: ∂P u r div A = lim ∂Q ∂R ∫∫∫ ( ∂x + ∂y + ∂z )dV (2.5) V V V →M Theo định lý giá trị trung bình, trong