Tập san toán học và sinh viên 33 - 11/2010

CHÀO MỪNG NGÀY 20/11 Tháng 11, tiết trời đã trở lạnh sang đông, khiến ta quên đi ánh nắng mặt trời gay gắt, những cành phượng vĩ đỏ thắm bầu trời những lúc vào hạ, cũng không còn nữa thoáng khẽ khàng mang theo chút man mác se lạnh cuối thu… Nhưng giữa những ngày gió lạnh đầu mùa, trong mỗi chúng ta lại ấm lên cảm giác bồi hồi, xúc động khó tả, nhớ về thầy cô giáo của mình, bởi ngày 20-11 lại đến! 20-11, Ngày Nhà giáo Việt Nam, ngày lễ của toàn ngành Giáo Dục, cũng là dịp để tôn vinh những người thầy, người cô đã và đang đứng trên bục giảng truyền đạt tri thức và đạo làm người cho bao lớp học trò, tôn vinh truyền thống hiếu học và truyền thống tôn sư trọng đạo của dân tộc ta: “Không thầy đố mày làm nên” hay “Nhất tự vi sư, bán tự vi sư”…Chính thầy cô là những người đã chắp cánh cho mọi ước mơ của chúng ta bay cao, bay xa, cung cấp hành trang kiến thức để chúng ta bước vào đời và thành công trong cuộc sống… Con đò mộc, mái đầu sương Theo con đi khắp muôn phương mai này Khúc sông ấy vẫn ngày ngày Thầy đưa những chuyến đò đầy qua sông. Thầy cô ơi! Công ơn lớn lao của thầy cô, chúng con không biết phải đền đáp như thế nào. Chúng con biết, nhiều lúc đã làm thầy cô buồn lòng, không vui Chúng con xin hứa sẽ cố gắng học tập hơn nữa để có thể phần nào bù đắp những lỗi lầm của mình. Cũng vẫn biết rằng, thầy cô đã phải vất vả như thế nào khi lái một con đò, với biết bao nhiêu sóng gió, thầy cô vẫn một lòng vì chúng con, chở che và dìu dắt chúng con. Những lúc chúng con chùn bước, bàn tay ấm áp của thầy cô lại nâng đỡ nhẹ nhàng. Những lúc dường như bất lực, giọng nói truyền cảm ấy lại đến với chúng con, cho chúng con thêm nhiều nghị lực để tiếp tục phấn đấu. Thầy ơi, cô ơi, ngàn lần chúng con xin cảm ơn người! Chúng con sẽ cố gắng lắng nghe tiếng thời gian, nắm thật chặt trong tay dòng thời gian của mình, để có thể bước đến bến bờ thành công như niềm hi vong mà thầy cô dành cho chúng con. Đất nước cho chúng con một quê hương để thương, để nhớ. Cha mẹ cho chúng con một hình hài, dáng dấp để sống và học tâp. Và thầy cô cho chúng con một hành trang vững chắc để bước vào đời. Nhân ngày 20-11, ngày Hiến Chương Nhà Giáo Việt Nam, chúng con xin gửi đến thầy cô lời cảm ơn chân thành với tấm lòng tri ân sâu sắc nhất, cùng những lời chúc tốt đẹp. Chúc thầy cô luôn khỏe và mãi là những người đưa đò vĩ đại trên dòng sông tri thức của cuộc đời. ______________________________*______________________________ TẬP SAN TOÁN HỌC & SINH VIÊN Số 33, tháng 11 năm 2010 Chịu trách nhiệm xuất bản SỞ TT&TT NGHỆ AN Chịu trách nhiệm nội dung PGS.TS Nguyễn Thành Quang Trưởng ban: Trần Quốc Luật Phó ban: Nguyễn Thúy Hằng BTV: Đinh Bích Yến, Nguyễn Duy Diện, Lê Như Hảo, Hoàng Thị Ngọc Trà, Mai Thị Phương, Nguyễn Huy Hùng, Nguyễn Anh Sơn, Võ Viết Chương, Phan Hồng Quân, Nguyễn Thị Ngọc Hà, Bùi Văn Hoàng, Phạm Thị Liên, Nguyễn Thanh Huyền, Phan Đình Hùng. MỤC LỤC  Tạo thói quen khai thác giả thiết…………… 5  Toán học với sự phát triển kinh tế vĩ mô……….12  ĐH Vinh - nơi tạo dựng tương laic ho tuổi trẻ…18  Kinh nghiệm học môn Tô-pô……………… 22  Những định lý giải tích quan trọng…………… 16  Định lượng toán tử tuyến tính………………… 20  Đề ra kỳ này…………………………………….22  Tư duy hình học trong đại số………………… 25  Khảo sát tính liên tục đều…………………… 28  Hướng dẫn sử dụng LaTeX……………… … 30 In 250 bản tại Xưởng in Đại học Vinh, khuôn khổ 19.27 cm. Giấy phép xuất bản số 171/2010/GPXB – STTTT cấp ngày 09/11/2010. In xong và nạp lưu chiểu tháng 11 năm 2010. TOÁN HỌC & SINH VIÊN số 33 1 KẾT HỢP ĐÀO TẠO VÀ NGHIÊN CỨU KHOA HỌC TẠI KHOA TOÁN - TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH PGS.TS. NGUYỄN THÀNH QUANG Thành công nổi bật nhất trong quá trình phát triển của Khoa Toán - Trường Đại học (ĐH) Vinh là những thành tựu về công tác đào tạo và nghiên cứu khoa học. Một số tập thể nghiên cứu trong Khoa đã đạt được những kết quả mạnh, tập trung vào một số hướng quan trọng, có ý nghĩa khoa học, được nhiều nhà khoa học trong và ngoài nước đánh giá cao. Hiện nay, đội ngũ giảng viên toán của Trường ĐH Vinh gồm: 1 giáo sư, 10 phó giáo sư, 15 tiến sĩ. Khoa đang đào tạo 3 ngành đại học: Sư phạm Toán học, Toán học, Toán - Tin học và ứng dụng trên tổng số 600 sinh viên. Về đào tạo sau đại học, Khoa có 5 chuyên ngành đào tạo thạc sĩ và tiến sĩ: Toán Giải tích, Đại số và Lý thuyết số, Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán, Hình học và Tôpô, Lý thuyết Xác suất và thống kê Toán học. Đã có 40 nghiên cứu sinh của Khoa bảo vệ thành công luận án tiến sĩ tại cơ sở đào tạo sau đại học - Trường Đại học Vinh, trong đó nhiều luận án bảo vệ đạt loại xuất sắc; nhiều luận án trực tiếp do cán bộ trong Khoa làm hướng dẫn chính. Toàn Khoa đã có 171 công trình toán học công bố trên các tạp chí Toán học chuyên ngành có uy tín trong và ngoài nước. Nhiều giảng viên của Khoa có công trình được liệt kê trong Tạp chí Mathematical Reviews của Hội Toán học Mỹ, trong đó có 4 giảng viên có từ 10 công trình trở lên; 11 giảng viên và nghiên cứu sinh có công trình công bố thuộc danh mục ISI. Hiện tại, Khoa có 13 giảng viên với độ tuổi dưới 35 đang theo học chương trình đào tạo tiến sĩ, trong đó có 6 người đang làm nghiên cứu ở nước ngoài. Trong những năm gần đây, có nhiều cán bộ giảng dạy Khoa Toán đã báo cáo khoa học tại nhiều nước trên thế giới như: Mỹ, Pháp, Italy, Trung Quốc, Thái Lan. Khoa đã thực hiện 12 đề tài nghiên cứu cơ bản cấp Nhà nước, 25 đề tài cấp Bộ. Nhiều giáo trình và sách chuyên khảo đã được xuất bản, phục vụ cho công tác đào tạo sau đại học ngành Toán trong và ngoài Trường ĐH Vinh. Tập thể sinh viên của Khoa đã đạt được thành tích: 20 giải thưởng trong Hội thi sinh viên nghiên cứu khoa học của Bộ Giáo dục và Đào tạo, trong đó có 2 giải Nhất, 3 giải Nhì; 115 giải trong các kỳ thi Olimpic Toán học sinh viên toàn quốc (2000-2010) do Hội Toán học cùng Bộ Giáo dục và Đào tạo đồng tổ chức, trong đó có 18 giải nhất. Sinh viên Nguyễn Trần Thuận khóa 46A đạt 2 giải nhất trong kỳ thi năm 2009, trong đó có môn thi Đại số đạt điểm tuyệt đối. Sinh viên Trần Quốc Luật khoá 50A đạt Giải nhất môn Giải tích trong kỳ thi năm 2010. Hoạt động thi Olimpic toán hàng năm của Hội Toán học đã góp phần động viên lòng say mê toán học của các em sinh viên, góp phần tôn vinh trí tuệ toán học của tuổi trẻ Việt Nam. Bốn lớp bồi dưỡng cử nhân tài năng toán tại Khoa đã được mở là một hình thức đào tạo chất lượng cao, tạo địa chỉ tin cậy để tạo nguồn cán bộ cho Khoa. Lớp cử nhân tài năng khóa V đang triển khai học 2 chuyên đề. Về công tác quản lý đào tạo, Khoa Toán đã chỉ đạo việc xây dựng nề nếp quản lý đào tạo qua các chuyên ngành và tổ bộ môn, xây dựng chương trình chuẩn, tổ chức thực hiện chương trình đào tạo, viết TOÁN HỌC & SINH VIÊN số 33 2 sách và giáo trình, rèn luyện phương pháp nghiên cứu cho sinh viên và học viên, xây dựng thư viện, mạng Internet tạo điều kiện cho sinh viên và học viên tự học. Song song với những nỗ lực kể trên, nhiều sinh viên giỏi của Khoa bằng nhiều con đường khác nhau đã được gửi đi đào tạo thạc sĩ ở các trường đại học nước ngoài. Các trường đại học của Mỹ, Nga, Trung Quốc, Đức, Pháp đã tiếp nhận NCS của Khoa. Chương trình hợp tác Hỗ trợ đào tạo các nhà toán học trẻ Việt nam (Formathvietnam) đã cấp cho Khoa 6 học bổng sau tiến sĩ tại Pháp. Có 01 NCS đã bảo vệ thành công luận án dưới sự đồng hướng dẫn của các nhà toán học hai nước Pháp - Việt. Tổ chức Formathvietnam cũng đã tổ chức tại Khoa Toán - Trường Đại học Vinh các trường toán ngắn hạn. Các giáo sư và các nhà toán học tên tuổi như Cachier, Mutsuo Oka, Feréderic Phạm, Nguyễn Thanh Vân, Lê Dũng Tráng, đã tới đọc bài giảng khoa học cho cán bộ, NCS và học viên cao học tại Khoa. Năm 2010, Tổ chức Rencontres du Vietnam (Gặp gỡ Việt Nam) do Giáo sư Trần Thanh Vân làm chủ tịch, đã trao 7 học bổng Odon Vallet cho 2 NCS và 5 sinh viên của Khoa có thành tích xuất sắc trong học tập, với tổng trị giá 53 triệu đồng. Từ năm 2008, Khoa đã ký kết một hợp tác đào tạo và nghiên cứu với Trung tâm Vật lý Lý thuyết Quốc tế Triese, Italy (ICTP) và trong khuôn khổ hợp tác này đã có 3 giảng viên trẻ của Khoa Toán được đi thực tập khoa học tại ICTP. Cơ sở đào tạo sau đại học trường ĐH Vinh đã mời được hơn 100 nhà toán học từ Viện Toán học, ĐHQG Hà Nội, ĐHSP Hà Nội, Đại học Huế, Viện Khoa học Giáo dục, tham gia giảng dạy, hướng dẫn luận văn thạc sĩ, luận án tiến sĩ. Khoa Toán thường xuyên tổ chức các hội nghị khoa học, nhằm giúp cho sinh viên, học viên được tiếp cận với hướng nghiên cứu mới, giao lưu với các nhà khoa học đầu ngành, có cơ hội trình bày các báo cáo và định hướng nghiên cứu. Nhiều cán bộ của Khoa đã có mối quan hệ hợp tác nghiên cứu khoa học thường xuyên với các nhà toán học trong và ngoài nước. Cùng với nhiều thành tích đã đạt được, hoạt động đào tạo ngành Toán vẫn còn nhiều hạn chế cần khắc phục: - Trình độ đầu vào của sinh viên, học viên không đồng đều. Sinh viên những năm đầu chưa tham gia nhiều hoạt động nghiên cứu, vẫn còn nhiều sinh viên chưa thực sự say mê trong học tập. Các ảnh hưởng mặt trái của cơ chế thị trường vẫn còn ít nhiều tác động đến người học, đã làm cho nhiều người thiếu nhiệt tình khám phá trong các nghiên cứu cơ bản có ý nghĩa khoa học lâu dài. Việc cập nhật và trao đổi các kiến thức tin học trong sinh viên còn yếu; học tập ngoại ngữ chưa thường xuyên liên tục, kém hiệu quả; khả năng tự học chưa cao. Sinh viên khai thác tài liệu thư viện (đặc biệt tài liệu tiếng nước ngoài), sử dụng hiệu quả công cụ mạng Internet, các phần mềm tin học trong học tập, nghiên cứu còn ít. - Đội ngũ cán bộ hướng dẫn chính luận án tiến sĩ của Khoa còn mỏng, trong Khoa chưa có nhiều mũi nhọn nghiên cứu cơ bản đủ mạnh để có thể hội nhập khu vực và quốc tế về đào tạo tiến sĩ. - Số giáo trình đã biên soạn và nghiệm thu đưa vào sử dụng còn ít, chưa đáp ứng đầy đủ nhu cầu học tập của sinh viên, học viên. - Thông tin phản hồi hai chiều giữa người dạy và người học chưa được chú trọng. Vẫn còn nặng về TOÁN HỌC & SINH VIÊN số 33 3 truyền thụ kiến thức cụ thể, không làm nổi bật được kiến thức gốc; nhiều người học không nắm được bản chất của các khái niệm cơ bản của toán học dẫn tới không ứng dụng được toán học vào các ngành khoa học khác và thực tiễn đời sống. - Nhiều sinh viên, học viên còn tâm lý ỷ lại, lười đào sâu suy nghĩ trong học tập và nghiên cứu; nặng học để mà thi chứ không học để mà biết, vận dụng. Từ thực tế đào tạo ngành toán tại Khoa trong thời gian qua, Khoa có những đề xuất sau: 1. Chất lượng đào tạo và nghiên cứu của đội ngũ các thầy giáo là tiền đề cần thiết và là niềm cảm hứng về tư duy sáng tạo cho các đồng nghiệp trẻ và sinh viên và chính điều này đảm bảo tính bền vững cho uy tín của Trường. Do đó, phải tăng cường vai trò quản lý, giám sát của bộ môn, khoa chuyên ngành đối với đào tạo và sinh hoạt khoa học của giảng viên, hoạt động chuyên môn của học viên ở những nội dung rất cụ thể: Kế hoạch làm việc, sinh hoạt chuyên môn, nội dung và chương trình giảng dạy. Thực hiện nghiêm túc các khâu: xét duyệt đề tài; bảo vệ đề cương nghiên cứu của NCS; đánh giá luận văn, luận án. Trong luận văn thạc sĩ và luận án tiến sĩ, với những cấp độ khác nhau cần xác lập cân đối giữa 3 nội dung: Lý thuyết - Nghiên cứu - Ứng dụng. 2. Đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin vào việc đổi mới phương pháp giảng dạy, đặc biệt khuyến khích cán bộ và sinh viên, học viên sử dụng các phần mềm tin học trong học tập, giảng dạy, nghiên cứu toán học. 3. Cần có kế hoạch cụ thể về đào tạo đội ngũ cán bộ trẻ, giỏi, có tâm huyết để đảm đương khối lượng lớn các chuyên đề cơ bản ở các chuyên ngành, đón đầu hợp tác quốc tế về đào tạo và nghiên cứu. 4. Tạo ra một môi trường làm việc chính quy cho mảng đào tạo: Trang bị phòng làm việc cho các bộ môn; thư viện, Internet công cộng miễn phí; phòng bảo vệ luận văn, luận án,… để cán bộ, sinh viên, học viên có điều kiện học tập và nghiên cứu tốt hơn. 5. Cần có chính sách cụ thể về hỗ trợ kinh phí cho sinh viên, học viên có kết quả nghiên cứu, để họ có thể tham gia các đề tài, hội nghị, hội thảo khoa học trong và ngoài nước; khen thưởng đối với những sinh viên, học viên có thành tích nghiên cứu tốt và cán bộ hướng dẫn thành công khoá luận, luận văn, luận án có kết quả xuất sắc. 6. Tinh giản nội dung giảng dạy theo xu thế hiện đại, hội nhập; tăng cường thời gian tự học và tự nghiên cứu của người học. Điều đó đặt ra một nhiệm vụ cho chúng ta là công tác đào tạo cần phải có một sự đổi mới mạnh mẽ về nội dung chương trình, phương pháp giảng dạy và học tập, biên soạn giáo trình cũng như công tác quản lý đào tạo. Cần có cơ chế chính sách thu hút giáo sư giỏi từ các trường đại học, viện nghiên cứu trong và ngoài nước tham gia giảng dạy, hướng dẫn, đồng hướng dẫn và đánh giá khóa luận, luận văn, luận án cho học viên và sinh viên. 7. Huy động toàn bộ hệ thống tổ chức và chính trị trong Khoa giúp đỡ sinh viên học tập theo hệ thống tín chỉ: Tư vấn học tập, đăng ký học phần, tài liệu học tập, phương pháp học tập, hướng dẫn ôn thi học phần, Trong thời gian tới, Khoa Toán sẽ cố gắng có những bước đột phá mạnh hơn, nhanh hơn để tạo ra một số mũi nhọn trong đào tạo và nghiên cứu khoa học, hướng tới có thể hội nhập được với các trường đại học trong khu vực và quốc tế. TOÁN HỌC & SINH VIÊN số 33 4 TẠO THÓI QUEN KHAI THÁC GIẢ THIẾT BÀI TOÁN TRẦN QUỐC LUẬT – 50A Toán Trong đề thi Đại học Khối A, năm 2010 có bài toán “phân loại” như sau: BÀI TOÁN : Giải hệ phương trình:     2 2 2 4 1 ( 3) 5 2 0 * : 4 2 3 4 7. x x y y x y x                   1 2 Trước hết, ta đặt điều kiện 3 5 , . 4 2 x y   Rõ ràng đây là một hệ phương trình không mẫu mực. Ta hãy xem xét từng phương trình của hệ. Nhận thấy phương trình   1 có 2 ẩn “phân ly” “rời nhau” (có thể “cô lập” mỗi ẩn sang một vế của phương trình), đồng thời chứa một biểu thức trong dấu căn (hơn nữa bậc của x và y bằng nhau và bằng 3). Ta khai thác triệt để những điều này như sau. Trước hết “cô lập” mỗi ẩn về mỗi vế ta được   2 4 1 (3 ) 5 2 . x x y y     Đặt 5 2 , t y   ta có     2 2 4 1 1 2 t t x x   hay     2 2 2 1 . 4 1xx t t    Đến đây ta đã phát hiện ra hàm đặc trưng 2 ( ) ( 1), f t t t   rõ ràng   2 ' 3 1 0, f x t t R      nên hàm này đồng biến nên ta có 2 t x  hay 2 5 2 . x y     3 Với bản chất như vậy, ngoài cách trình bày trên ta còn có thể trình bày bước này như sau: Cách 1.1: Đặt 5 2 2 0, y t    ta có ngay   1 trở thành 2 2 (4 1) (4 1). x x t t    Suy ra     2 2 4 1 0 . x t x xt t x t            Cách 1.2 : Ta có:   3 3 2 5 2 5 1 4 4 2 2 y y x x               2 5 2 . x y    Vấn đề đã được giải quyết một nửa, ta sẽ xử lý phương trình   2 với điều kiện   3 . Cách 2.1: Thay   3 vào   2 ta có: 2 2 2 5 4 4 2 3 4 7 2 x x x            4 2 16 25 8 3 4 3 0 x x x         4   4 2 16 25 5 8 3 4 1 0 x x x             2 2 16 1 2 4 1 4 5 0 3 4 1 x x x x               2 16 2 1 2 1 4 5 0 3 4 1 x x x x               1 2 x   (do 3 0 4 x   ). Cách 2.2 : Nhận thấy 0 x  và 3 4 x  đều không phải là nghiệm nên 3 0 . 4 x   Thay 2 5 4 2 x y   vào phương trình thứ hai ta được   2 2 2 5 4 4 2 3 4 7. 4 x x x      Trong khoảng 3 0; 4       hàm số   2 2 2 5 4 ( ) 4 2 3 4 4 x g x x x      nghịch biến. Thật vậy, ta có 2 2 4 ( ) 4 (4 3) 4 (4 3) 0. 3 4 g x x x x x x         Mặt khác ta lại có 1 7. 2 g        Vì vậy phương trình ( ) 7 g x  chỉ có một nghiệm duy nhất là 1 . 2 x  Cách 2.3: Viết lại   4 dưới dạng ( ) ( ) f x g x  với ( ) 8 3 4 f x x   và 4 2 ( ) 16 25 3. g x x x     Khảo sát riêng lẻ ( ), ( ) f x g x thấy trên khoảng 3 0; 4       hàm ( ) f x nghịch biến và ( ) g x đồng biến nên   4 có nghiệm duy nhất. Cách 2.4 : Đặt 2 ( ) 4 2 3 4 . g x x x    Ta có 4 ( ) 8 0 3 4 g x x x      với mọi 0. x  +) Nếu 1 2 x  thì từ   3 ta có 2. y  Do vậy 2 1 ( ) ( ) 4 7 2 g x y g     , hệ   * vô nghiệm. TOÁN HỌC & SINH VIÊN số 33 5 +) 1 2 x  thì 2 y  , thỏa mãn. +) Nếu 1 2 x  thì từ   3 ta có 2. y  Do vậy 2 1 ( ) ( ) 4 7 2 g x y g     , hệ   * vô nghiệm. Cách 2.5: Thay 2 5 2 x y   vào   2 ta được 2 ( 1) 2 3 2 5 2 3. y y      Đặt 1 a y   thì ta được 2 2 3 2 3 2 3 a a     hay 3 2 3 2 3 2 . a a     Đặt 3 2 b a   ; 3 2 c b   ta có 3 2 . a c   Cách trình bày 1: +) Nếu 1 a  thì 1, b  nên 1, c  do vậy 1 a  , vô lý. +) Nếu 1 a  thì 1 b c   , thỏa mãn. Thay vào ta có nghiệm của hệ   * là 1 ; 2. 2 x y   +) Nếu 1 a  thì 1, b  nên 1, c  do vậy 1, a  vô lý. Cách trình bày 2: Không mất tính tổng quát, ta giả sử . a b c   Từ a b  có 3 2 , a a   nên 1. a  Tương tự 1. b  Do vậy 1 3 2 . b a    Đẳng thức xảy ra khi 1. a b   Từ đó 1. a b c    Cách 2.6: “Làm chặt” điều kiện được 3 0 ; 4 x   5 0 . 2 y   Chú ý với điều kiện này thì các hàm   2 1 ( ) 4 1 ; f x x x   2 2 ( ) g y y  đồng biến, đồng thời   2 ( ) 3 5 2 f y y y    và 2 1 ( ) 4 2 3 4 g x x x    nghịch biến. Ta đánh giá: Với 1 2 x  thì từ   1 ta có 2 ( ) 1 2. f y y    Từ   1 2 2 ( ) 3 ( ) 4 2 g x g y y       (mâu thuẫn). Với 1 2 x  tương tự ta có mâu thuẫn. Vậy 1 , 2 x  thay vào thấy thỏa mãn. Cách 2.7: Khử y ta có: 2 2 2 5 4 2 3 4 2 7 2 x x x            hay 4 2 16 24 8 3 4 3 0. x x x      Đặt 3 4 x t   thì [0; 3] t  . Khử x ta có: 8 6 4 2 12 30 36 128 183 0 t t t t t            6 5 4 3 2 1 3 2 5 4 7 2 61 0 t t t t t t t t           1 t   (vì       2 2 4 4 3 2 1 6 9 4 6 1 6 0 t t t t t t          với mọi [0; 3] t  ). Bài tập tương tự áp dụng: Giải các hệ phương trình sau: 2 2 4 3 2 2 6 5 4 3 1. 2 5 4 4. x x y x y y y y               2 2 3 ( 1) 2 5 4 1 2(2 1) 2. 2 3 2 2. x x x y y y x x y x                 ********************************************* CON VỚI THẦY Phan Hồng Quân (sưu tầm) Con với thầy Người dưng nước lã Con với thầy Khác nhau thế hệ… Đã nhiều lần tôi tự hỏi mình Mười mấy ngàn ngày không gặp lại Những thầy giáo dạy tôi ngày thơ dại Vẫn bên tôi dằng dặc hành trình… Vẫn theo tôi những lời động viên Mỗi khi tôi lầm lỡ Vẫn theo tôi những lời nhắc nhở Mỗi khi tôi tìm được vinh quang Qua buồn vui, qua những thăng trầm Câu trả lời sáng lên lấp lánh Với tôi thầy ký thác Thầy gửi tôi khát vọng người cha… Đường vẫn dài và xa Thầy giáo cũ đón tôi từng bước! Từng bước một, tôi bước Với kỷ niệm thầy tôi TOÁN HỌC & SINH VIÊN số 33 6 SUY NGHĨ VỀ MỘT BÀI TOÁN HAI KHÔNG GIAN TÔPÔ ĐỒNG PHÔI BÙI XUÂN QUANG – ĐH Hải Phòng Tóm tắt. Bài viết phân tích hướng chứng minh và một vài suy nghĩ sau khi giải một bài toán về hai không gian Tôpô đồng phôi. Mùa hè vừa qua tôi có may mắn được tham dự Trường hè Toán học cho Sinh viên tổ chức tại Viện Toán học. Tôi đăng kí lớp Tôpô (Giảng viên là PGS. TS. Hà Huy Vui). Bài tập sau đây là một trong những bài mà Thầy cho chúng tôi về nhà: Chứng minh rằng mặt cầu đơn vị 2 S ( 2 S là mặt cầu đơn vị trong 3 R ) nếu bỏ đi một điểm thì đồng phôi với 2 . R Bài toán này không phải là quá phức tạp, tuy nhiên nó lại chứa đựng nhiều điều thú vị. Bài viết này tôi sẽ trình bày một số suy nghĩ của mình về bài toán trên. Trước hết, tôi xin được nêu lên không chứng minh vài khái niệm và Định lý có liên quan trong việc trình bày để những ai chưa học Tôpô dễ theo dõi: 1. Giả sử X là một tập hợp khác rỗng,  là một họ những tập con của X ( ( ) P X   ).  được gọi là một cấu trúc Tôpô trên X nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau đây: i) Tập X và tập rỗng đều thuộc  . ii) Giao hữu hạn các tập thuộc  thì thuộc  . iii) Hợp bất kì các tập thuộc  thì thuộc  . Tập hợp X cùng với một cấu trúc tôpô trên nó được gọi là một không gian Tôpô (Topological space). 2. Ánh xạ f : X  Y giữa hai không gian tôpô X và Y được gọi là liên tục tại 0 x X  nếu với mọi lân cận V của   0 f x đều tồn tại một lân cận U của 0 x sao cho   f U V  . 3. Giả sử f : X  Y là ánh xạ giữa hai không gian tôpô X và Y. Khi đó, f được gọi là một phép đồng phôi nếu f là song ánh và ánh xạ ngược 1 f  của nó cũng liên tục. Lúc đó ta cũng nói không gian tôpô X đồng phôi với không gian tôpô Y, và kí hiệu là . X Y  4. Quan hệ đồng phôi giữa các không gian tôpô là quan hệ tương đương. 5. Phép đẳng cự là phép đồng phôi (nhưng ngược lại thì không luôn đúng). Bây giờ chúng ta trở lại bài toán. Cũng xin nói luôn là do khuôn khổ bài báo nên tôi chỉ đưa ra các kết quả mà không chứng minh chi tiết, phần còn lại xin dành cho bạn đọc. Tôi giải bài toán này như sau: Thay vì xét hình cầu 2 S , xét mặt cầu: S     3 2 2 2 , , : . x y z R x y z z      và chứng minh rằng S\{N} (với N là một điểm nào đó nằm trên S ) đồng phôi với 2 R . Khi đó trong lớp Tôpô chúng tôi có một bạn thắc mắc là đề bài Thầy cho là 2 S , tại sao lại chứng minh cho S thì Thầy trả lời là: “Về mặt tôpô thì hai mặt cầu đó giống nhau”. Chúng ta hãy cùng lý giải sự giống nhau đó. Cũng cần nói luôn là do mục đích của bài báo nên có thể ban đầu bạn đọc thấy sự trình bày không được tự nhiên lắm, sự không tự nhiên đó sẽ được lý giải ở cuối bài viết. 1. Đầu tiên tôi dựng mặt cầu B=   3 2 2 2 1 ; ; : 4 x y z R x y z           . Ta thấy B có tâm là gốc O và nằm bên trong hình cầu 2 S . Ta xét phép tương ứng sau đây (xem hình vẽ): Từ gốc toạ độ O, ta kẻ tia Ot bất kỳ cắt B tại M, cắt 2 S tại ' M . Khi đó, bạn đọc có thể kiểm tra một cách chi tiết rằng, ánh xạ sau đây: : f B  2 S   ' M f M M   là một phép đồng phôi. 2. Tiếp theo, ta tịnh tiến mặt cầu B theo trục Oz để tâm của mặt cầu này trùng với điểm 1 0;0; 2       . Ta gọi mặt cầu này là S, suy ra S     3 2 2 2 , , : . x y z R x y z z      Lúc này ta có ngay S  B (do “  ” là một quan hệ tương đương như trong phần lý thuyết ta đã nói). 3. Vấn đề còn lại là phải chứng minh cho S bỏ đi một điểm nào đấy thì đồng phôi với 2 R . Phép chứng minh được thực hiện như sau (hình vẽ): TOÁN HỌC & SINH VIÊN số 33 7 Rõ ràng   0;0;1 N  S. Với mỗi P(x;y;z)  S\{N} ta kẻ tia Pj cắt 2 R tại Q(x;y). Với một sự kiên trì và cẩn thận thích đáng, bạn đọc có thể kiểm tra được ánh xạ sau: :  S\{N}  2 R   P P Q    là một phép đồng phôi. Đến đây, ta coi như bài toán đã được giải quyết. Nếu suy nghĩ thêm một chút nữa về bài toán, tôi tin sẽ có điều gì đó thú vị, bây giờ ta hãy đồng nhất 2 R với không gian phức C (như cách đã biết trong Giải tích phức). Ta thấy khi P dần tới N thì tia Pj dần tới vị trí song song với . C Vậy ta có thể coi N  S tương ứng với điểm xa vô tận  của mặt phẳng phức, mặt phẳng phức có bổ sung thêm điểm xa vô tận được gọi là mặt phẳng phức mở rộng và chúng ta kí hiệu là C . Như vậy, tương ứng  như trên được mở rộng tới đồng phôi giữa S và C (hay 2 R cũng vậy) bằng cách đặt   N    . Đến đây, tôi tin là chúng ta có thể hiểu thêm được bản chất của điểm vô cùng trên không gian phức. Cuối cùng, lúc nãy là ta thiết lập“sự đồng phôi” của S\{N} với 2 R bằng hình học (đồng nhất 2 R với C ), để có thể tính toán bằng giải tích, chúng ta cần thay đổi thứ tự và kí hiệu một chút để lời tính toán được dễ dàng hơn: Trong không gian Euclide 3 R với hệ toạ trực chuẩn   ; , , O    , xét mặt cầu S: 2 2 2        . Ứng với mỗi điểm   ; z x y C   ta nối nó với N  S. Đường thẳng này cắt S tại điểm 2 2 2 2 ; ; 1 1 1 z x y T z z z             và ta cần chứng minh ánh xạ :  C  S \{N}   2 2 2 2 ; ; ; 1 1 1 z x y x y z z z             là đồng phôi. Ngược lại, khi T  N ta thực hiện phép giới hạn khi 1   ta được   ; z x y    . Vậy là chúng ta đã chứng minh bằng giải tích sự đúng đắn của bài toán. Kết thúc bài báo, cho phép em được gửi tới Ban tổ chức Trường hè Toán học cho Sinh viên 2010 lời cảm ơn sâu sắc nhất vì đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho chúng em học tập và giao lưu trong suốt thời gian ở Viện Toán học và ĐHSPHN. LẦN ĐẦU XA NHÀ Nguyễn Thị Ngọc Hà (sưu tầm) Lần đầu tiên con đi học xa nhà Bỏ lại đằng sau quê hương vời vợi nhớ Xe lăn bánh mẹ còn thao nhắc nhở Nước mắt con chạm má tự bao giờ Học xa nhà con mới biết làm thơ Nỗi nhớ mẹ tràn trên trang giấy trắng Con ở một mình trong căn phòng vắng lặng Tiếng mẹ lại vọng về cố gắng nhé con Học xa nhà con lại sợ những hoàng hôn Cứ thấy nhà ai quây quần ăn cơm tối Con giật mình nước mắt rơi vội Mặn chát bờ môi, nghẹn đắng tâm hồn Học xa nhà con thấy mình lớn khôn Là lần đầu xa vòng tay của mẹ Dù ở đâu con cũng thấy mình nhỏ bé Mỗi khi trở về bên mẹ yêu thương! ********************* LỜI RU CỦA THẦY Phan Hồng Quân (sưu tầm) Mỗi nghề có một lời ru Dở hay thầy cũng chọn ru khúc này Lời ru của gió màu mây Con sông của mẹ đường cày của cha Bắt đầu cái tuổi lên ba Thầy ru điệp khúc quê nhà cho em Yêu rồi cũng nhớ yêu thêm Tình yêu chẳng có bậc thềm cuối đâu! Thầy không ru đủ nghìn câu Biết con chữ cũng đứng sau cuộc đời Tuổi thơ em có một thời Ước mơ thì rộng như trời, ngàn năm Như ru ánh lửa trong hồn Cái hoa trong lá, cái mầm trong cây Thầy ru hết cả mê say Mong cho trọn ước mơ đầy của em. Mẹ ru em ngủ tròn đêm Thầy ru khi mặt trời lên mỗi ngày Trong em hạt chữ xếp dày Đừng quên mẹ vẫn lo gầy hạt cơm Từ trong vòm mát ngôi trường Xin lời ru được dẫn đường em đi (Con đường thầy ngỡ đôi khi Tuổi thơ lăn một vòng bi tới rồi!) Hẳn là thầy cũng già thôi Hóa thân vào mỗi cuộc đời các em Thì dù phấn trắng bảng đen Hành trang ấy đủ thầy đem theo mình. TOÁN HỌC & SINH VIÊN số 33 8 BÍ QUYẾT NÓI CHUYỆN TRƯỚC ĐÁM ĐÔNG BÙI VĂN HOÀNG – 50 Toán Tin học - Ứng dụng Phần lớn mọi người xem việc phải nói chuyện trước đám đông là nỗi sợ hãi kinh khủng nhất. Nỗi sợ đó còn hơn cả sợ rắn, sợ đi máy bay, hoặc ngay cả sợ cái chết. Nhưng chúng ta, không thể trốn tránh nó mãi. Nhiều người trong chúng ta có thể được mời ra trình bày một báo cáo, phát biểu trong buổi họp phụ huynh học sinh, nói lời chúc mừng trong lễ cưới. Làm sao để bạn có thể vượt qua những thử thách đó? Thật đơn giản chỉ với một chút thời gian luyện tập. Quy tắc quan trọng nhất trong việc nói chuyện trước đám đông là bạn phải biết mình nói gì. Điều này nghe có vẻ ngớ ngẩn, nhưng thông thường các “diễn giả” không hề có một ý niệm rõ ràng về những gì họ truyền đạt đến người nghe. Bạn cần phải biết chính xác bạn sẽ đưa người nghe đến đâu. Một khi đã biết, hãy liệt kê nó thành 3 hay 4 điểm chính và soạn bài nói của mình tập trung vào những điểm này thôi. Bạn không phải là một cuốn từ điển sống, việc đưa ra quá nhiều thông tin hay không đủ thông tin cũng đều dở như nhau. Thực hành, nhưng không cần quá nhiều: Liệt kê ra những gì bạn sẽ nói và tập nói 1 hay 2 lần. Sẽ rất hay nếu như bạn canh thời gian trong khi tập, việc đó sẽ giúp bạn kiểm soát được thời gian nói mà không sợ bị lố. Có thể sẽ có những phút ngẫu hứng tình cờ xảy ra làm bạn bất ngờ và làm khán giả thích thú. Bạn sẽ không còn muốn xuất hiện trước đám đông nếu bạn đã nói về một đề tài cả ngàn lần rồi, bạn sẽ cảm thấy chán và chẳng thèm để ý tới khán giả nữa. Bạn cũng nên lập kế hoạch sẽ mặc những gì. Chú ý rằng đó phải là bộ đồ mà bạn cảm thấy thoải mái khi mặc vào và điều quan trọng nhất, đó phải là bộ đồ mà bạn biết sẽ làm mình nổi bật. Quyết định trước việc mình sẽ mặc gì trong ngày diễn thuyết sẽ làm bạn bớt lo lắng hơn. Hãy là chính mình! Nhiều người cảm thấy cần phải rập khuôn theo phong cách của ai đó khi nói trước đám đông, đó là vì họ cảm thấy họ không đủ tự tin để lôi cuốn sự chú ý của khán giả. Một số cảm thấy bị “khớp” và nghiêm túc quá mức và quên rằng tính hài hước cũng là một công cụ quan trọng của diễn giả. Đừng nên chỉ tập trung vào vấn đề chính, đôi khi những giai thoại cá nhân hay những mẩu chuyện nhỏ cũng là một cách rất tốt để hòa nhập với khán giả. Khán giả là bạn bè! Khán giả luôn ở đó, bởi vì họ quan tâm tới những gì bạn sẽ nói và muốn nghe bạn nói về vấn đề đó. Họ muốn bạn phải làm tốt. Đừng nghĩ khán giả như là một khối người thù địch, hãy xem họ chỉ là một nhóm cá nhân riêng lẻ. Hãy cố gắng nhìn vào một ai đó một lúc. Khi nói chuyện với khán giả, tiếp thu những ý kiến phản hồi của họ để hoàn thành bài nói chuyện của mình. Bạn sẽ vượt qua thôi mà! Tôi chưa bao giờ nghe thấy có ai chết trên bục diễn thuyết cả. Bạn cũng không bị thở dốc, hụt hơi, quên mất tên mình hay nổi nóng. Đấy là những chuyện gây ám ảnh cho bất cứ ai phải đứng trước đám đông. Người ta gọi đó là cơn ác mộng của diễn viên. Việc đó hoàn toàn bình thường. Sử dụng một số kỹ thuật thư giãn trước khi bắt đầu. Bạn có thể tìm một nơi để nhảy lên nhảy xuống hoặc dậm chân thật manh, điều này sẽ giúp bạn cảm thấy vững vàng và giảm bớt căng thẳng. Lắc bàn tay và co duỗi nắm tay. Điều này sẽ làm tay bạn bớt run. Nếu run tay thực sự là một vấn đề thì hãy nắm lấy một tấm danh thiếp hay nắm vào bục diễn thuyết khi nói chyện. Lè lưỡi ra, trợn mắt và há miệng to hết cỡ, sau đó nhăn tít mặt lại. Việc này sẽ làn thư giãn các cơ mặt của bạn. Hít thật sâu và thở mạnh ra tiếng để làm ấm giọng của bạn. Tưởng tượng như bạn đang ở trên một đám mây, không gì có thể làm hại đến bạn khi bạn đang ở trong đó. Hãy cố gắng giữ hình ảnh ấy trong đầu khi bạn đang đứng trên diễn đàn. Nói chuyện trước công chúng càng nhiều, việc đó càng trở nên dễ dàng hơn. Có khi bạn còn cảm thấy thích nữa ấy chứ! ƯỚC MƠ CÔ GIÁO Phạm Thị Liên – 51A Toán Tôi đứng đây bên giảng đường rộng mở Tà áo dài chắp cánh những ước mơ Nhớ bé thơ cái ngày vừa bập bẹ "Búp bê ngoan nghe cô giáo giảng bài" Thấm thoắt xưa giờ hết chặng đường dài Nay mười tám tôi không còn khờ dại Khoác áo dài bước tới Đại học Vinh Học trò xưa không còn búp bê xinh Bàn ghế xưa cũng không còn gạch đá Mà giờ đây lòng tôi đang hối hả Mai đến rồi làm cô giáo tương lai. [...]... triển khai ý tưởng của mình về một đề tài ở bộ môn yêu thích - Tham gia các cuộc thi Olympic Toán, viết bài cho tập san Toán học và Sinh viên TOÁN HỌC & SINH VIÊN số 33 - Tham gia các buổi tọa đàm, seminar bàn về phương pháp học tập, trao đổi kinh nghiệm - Luôn tạo cho mình thói quen tự học, tự tìm tòi, nghiên cứu Bên cạnh những vấn đề đã nêu trên, còn một điều mà mình nghĩ rằng nó cũng không kém phần... của hình vẽ” năm 1822, là công trình của nhà toán học Pháp J.V.Poncelet (178 8-1 867) Từ năm thứ hai, chúng ta đã được học môn hình học Afin và hình học Ơclit; đó chính là tiền đề, là kiến thức nền để học tốt môn hình học xạ ảnh Hình học xạ ảnh chính là môn học nối tiếp của môn hình học Afin và hình học Ơclit Theo cách nhìn của tôi, hình học xạ ảnh và hình học Afin có mối quan hệ tương quan với nhau,... TOÁN HỌC SINH VIÊN SỐ 33 (11/2010) 1 Đỗ Đức Hiếu, SV lớp Anh3-CLC-KT-K49, ĐH Ngoại Thương, Hà Nội, 2 Phan Minh Trí, HS lớp 12T, trường THPT chuyên Lương Văn Chánh, Phú Yên 3 Phạm Thị Liên, SV lớp 51A Toán, ĐH Vinh 4 Đinh Bích Yến, SV lớp 49A Toán, ĐH Vinh 12 NHỮNG ĐỊNH LÝ GIẢI TÍCH QUAN TRỌNG TRẦN QUỐC LUẬT – 50A Toán, NGUYỄN THANH HUYỀN – 51A Toán Tóm tắt Nhằm giúp các bạn sinh viên khoa Toán Đại học. .. 2 2  3 2  7 2 từng vị trí thì nó biến đổi ra sao? TOÁN HỌC & SINH VIÊN số 33 Bạn xem có kì lạ không! 16 ĐỊNH LƯỢNG TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH TRẦN QUỐC LUẬT – 50A Toán Tóm tắt Bài viết tập hợp một số bài toán định lượng toán tử tuyến tính nhằm giúp các bạn sinh viên năm thứ ba có một cái nhìn toàn diện hơn về toán tử tuyến tính và làm quen với loại bài tập này Trong bài viết này, nếu không chú thích gì thêm... Hội sinh viên thì phong trào học tập, nghiên cứu khoa học (NCKH) của Khoa cũng có nhiều bước tiến, luôn là hoạt động bề nổi và dẫn đầu + Về học tập Khắc phục được những khó khăn ban đầu về chương trình học theo hệ thống tín chỉ, cùng với sự giúp đỡ, tạo điều kiện của Khoa và Nhà trường, mỗi sinh viên Khoa Toán đã dần làm quen được với hình thức đào tạo mới, có nhiều cố gắng trong quá trình học tập, ... (0;1) cho trước O C B A' M TOÁN HỌC & SINH VIÊN số 33 Xuất xứ bài toán: Sáng tác Địa chỉ nhận bài : toanhocsinhvien@gmail.com 28 LỜI THẦY NGÀY ẤY TRẦN THỊ THANH NHÀN – 48A Toán “Khi được biết em thích và muốn chọn nghề sư phạm, Thầy rất vui và hạnh phúc, bởi trong số thế hệ học trò bây giờ, vẫn có những người yêu nghề dạy học và có lý tưởng như em Nhưng bên cạnh niềm vui và hạnh phúc đó, đấy là sự... HÌNH HỌC TRONG ĐẠI SỐ PHẠM THỊ LIÊN – 51A Toán Tóm tắt Bài viết Định hướng hình học trước một số bài toán đại số và sự tương giao giữa các phép biến đổi hình học và phép biến đổi đại số Phương trình, hệ phương trình và bất đẳng thức là những dạng toán cơ bản trong các chuyên đề bồi dưỡng học sinh trung học phổ thông Bài viết này tôi sẽ giới thiệu đến các bạn một số bài tập được giải theo tư duy hình học. .. ta học bằng các ví dụ cụ thể, gần gũi hơn, ví dụ như quy về các không gian một, hai, ba chiều để hiểu hơn vấn đề Các bạn cũng cần phải làm nhiều bài tập Có thể tham khảo các cuốn bài tập: [1] Văn Như Cương , Bài tập hình học Afin và hình học Ơclit [2] Nguyễn Hữu Quang, Trương Đức Hinh, Bài tập hình học xạ ảnh [3] Phạm Khắc Ban, Phạm Bình Đô, Hình học Afin và hình học Ơclit qua các ví dụ và bài tập. .. giúp đỡ lẫn nhau trong học tập, rèn luyện Và nơi đây cũng là nơi ươm mầm những ước mơ, nơi tạo dựng tương lai cho tuổi trẻ Hòa cùng với niềm vui chung của cả trường, năm học qua cũng là mốc thời gian đánh dấu sự TOÁN HỌC & SINH VIÊN số 33 trưởng thành của Khoa Toán qua 50 năm xây dựng và phát triển Cùng nhìn lại những hoạt động và kết quả đạt được, sinh viên Khoa Toán không khỏi không tự hào về những thành... nào và đi theo phương hướng ra sao để tiếp tục phát triển, đó mới là điều quan trọng Hy vọng rằng, với bầu nhiệt huyết sẵn có, niềm say mê khoa học, tuổi trẻ Khoa Toán sẽ tiếp tục học tập, nghiên cứu và sẵn sàng cống hiến, xứng đáng là niềm tự hào của Khoa Toán, xứng đáng là những sinh viên trường Đại học Vinh “Bản lĩnh, Trí tuệ, Văn minh, Tình nguyện” ẢNH VUI TOÁN HỌC (!) CÁC BẠN ĐƯỢC THƯỞNG KỲ NÀY TOÁN . của toán học dẫn tới không ứng dụng được toán học vào các ngành khoa học khác và thực tiễn đời sống. - Nhiều sinh viên, học viên còn tâm lý ỷ lại, lười đào sâu suy nghĩ trong học tập và nghiên. SINH VIÊN số 33 2 sách và giáo trình, rèn luyện phương pháp nghiên cứu cho sinh viên và học viên, xây dựng thư viện, mạng Internet tạo điều kiện cho sinh viên và học viên tự học. Song. giảng viên toán của Trường ĐH Vinh gồm: 1 giáo sư, 10 phó giáo sư, 15 tiến sĩ. Khoa đang đào tạo 3 ngành đại học: Sư phạm Toán học, Toán học, Toán - Tin học và ứng dụng trên tổng số 600 sinh viên.