LÝ THUYẾT ĐSGT 11

Mục lục 1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1 1.1 CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Hàm số y = sin x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Hàm số y = cos x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.3 Hàm số y = tan x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.4 Hàm số y = cot x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN . . . . . . . . . . . 8 1.2.1 Phương trình sin x = a (1) . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2 Phương trình cos x = a (2) . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.3 Phương trình tan x = a (3) (có nghiệm với mọi a ∈ R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.4 Phương trình cot x = a (4) (có nghiệm với mọi a ∈ R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP . . 10 1.3.1 Phương trình bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.2 Phương trình bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.3 Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x . . . . . . . 11 1.3.4 Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x . 11 1.3.5 Phương trình đối xứng theo sin x và cos x . . . . . . . . . 12 1.3.6 Phương pháp tổng quát để giải phương trình lượng giác 13 2 TỔ HỢP - XÁC XUẤT 14 2.1 QUY TẮC ĐẾM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.1 Quy tắc cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.2 Quy tắc nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2.1 Hoán vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2.2 Chỉnh hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2.3 Tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2.4 Hai tính chất cơ bản của số C k n . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3 Nhị thức Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3.1 Công thức nhị thức Newton . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3.2 Tam giác Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.4 PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.5 XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.5.1 Công thức tính xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.5.2 Quy tắc cộng xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.5.3 Quy tắc nhân xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN 17 3.1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC . . . . . . . . . . . . 17 3.2 DÃY SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.2.2 Cách cho một dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.2.3 Dãy số tăng, dãy số giảm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2.4 Dãy số bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.3 CẤP SỐ CỘNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.3.2 Số hạng tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.3.3 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.3.4 Tổng n số hạng đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.4 CẤP SỐ NHÂN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.4.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.4.2 Số hạng tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.4.3 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.4.4 Tổng n số hạng đầu tiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4 GIỚI HẠN 21 4.1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.1.1 Giới hạn hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.1.2 Giới hạn vô cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.1.3 Các giới hạn đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.1.4 Định lí về giới hạn hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.1.5 Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực . . . . . . . . . . . . 22 4.1.6 Cấp số nhân lùi vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.2.2 Các giới hạn đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 i 4.2.3 Định lí về giới hạn hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.2.4 Quy tắc tìm giới hạn vô cực . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.3 HÀM SỐ LIÊN TỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.3.1 Hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.3.2 Các định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 5 ĐẠO HÀM 25 5.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM . . . . . . . . . 25 5.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 5.1.2 Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa . . . . . . . . . . 26 5.1.3 Quan hệ giữa tính liên tục và sự có đạo hàm . . . . . . . 26 5.1.4 Ý nghĩa hình học của đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . 26 5.2 CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM . . . . . . . . . . . . . . . . 26 5.2.1 Đạo hàm một số hàm thường gặp . . . . . . . . . . . . . 26 5.2.2 Các phép toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 5.2.3 Đạo hàm hàm hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 5.3 ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC . . . . . . . . . 27 5.4 VI PHÂN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 5.4.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 5.4.2 Ứng dụng vi phân vào phép tính gần đúng . . . . . . . . 28 5.5 ĐẠO HÀM CẤP CAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 5.5.1 Đạo hàm cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 5.5.2 Đạo hàm cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ii LÍ THUYẾT ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11 TRẦN UY ĐÔNG ∗ TTGDTX Bảo Yên Lào Cai atesqrm@gmail.com 06/2008 1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CKIẾN THỨC CẦN NHỚ A. Đường tròn lượng giác A B B  A  O 1 1 -1 -1 R = 1 u u  x x  y y  t t  (+) (−) Hình 1: Trong đó: A: điểm gốc x  Ox: trục côsin (trục hoành) ∗ actemits 1 Lí thuyết đại số & giải tích 11 E 2 y  Oy: trục sin (trục tung) t  At: trục tang u  Bu: trục côtang B. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt Cung đối nhau Cung bù nhau Cung phụ nhau Cung hơn kém nhau π cos(−α) = cos α cos(π − α) = −cos α cos( π 2 − α) = sin α cos(π + α) = −cos α sin(−α) = −sin α sin(π − α) = sin α sin( π 2 − α) = cos α sin(π + α) = −sin α tan(−α) = −tan α tan(π − α) = −tan α tan( π 2 − α) = cot α tan(π + α) = tan α cot(−α) = −cot α cot(π − α) = −cot α cot( π 2 − α) = tan α cot(π + α) = cot α C. Công thức lượng giác C.1 Các hệ thức cơ bản • cos 2 α + sin 2 α = 1 • 1 + tan 2 α = 1 cos 2 α • 1 + cot 2 α = 1 sin 2 α • tan α cot α = 1 C.2 Công thức cộng • cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β • cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β • sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β • sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β • tan(α − β) = tan α −tan β 1 + tan α tan β • tan(α + β) = tan α + tan β 1 − tan α tan β Trần Uy Đông_TTGDTX Bảo Yên_Lào Cai 2 Lí thuyết đại số & giải tích 11 E 3 • cot(α + β) = cot α cot β − 1 cot β + cot α • cot(α − β) = cot α cot β + 1 cot β − cot α C.3 Công thức nhân đôi • cos 2α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 −2 sin 2 α = cos 4 α − sin 4 α • sin 2α = 2 sin α cos α • tan 2α = 2 tan α 1 − tan 2 α • cot 2α = cot 2 α − 1 2 cot α = cot α −tan α 2 ⇔ cot α − tan α = 2 cot 2α C.4 Công thức nhân ba • cos 3α = 4 cos 3 α − 3 cos α • sin 3α = 3 sin α − 4 sin 3 α • tan 3α = 3 tan α − tan 3 α 1 − 3 tan 2 α • cot 3α = cot 3 α − 3 cot α 3 cot 2 α − 1 C.5 Công thức hạ bậc • cos 2 α = 1 + cos 2α 2 • sin 2 α = 1 − cos 2α 2 • tan 2 α = sin 2 α cos 2 α = 1 − cos 2α 1 + cos 2α • cos 3 α = 3 cos α + cos 3α 4 • sin 3 α = 3 sin α − sin 3α 4 Trần Uy Đông_TTGDTX Bảo Yên_Lào Cai 3 Lí thuyết đại số & giải tích 11 E 4 C.6 Công thức tính sin α, cos α, tan α theo t = tan α 2 • sin α = 2t 1 + t 2 • cos α = 1 − t 2 1 + t 2 • tan α = 2t 1 − t 2 C.7 Công thức biến đổi tích thành tổng • cos α cos β = 1 2  cos(α − β) + cos(α + β)  • sin α sin β = 1 2  cos(α − β) − cos(α + β)  • sin α cos β = 1 2  sin(α − β) + sin(α + β)  C.8 Công thức biến đổi tổng thành tích • cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α − β 2 • cos α −cos β = −2 sin α + β 2 sin α − β 2 • sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α − β 2 • sin α −sin β = 2 cos α + β 2 sin α − β 2 • tan α + tan β = sin(α + β) cos α cos β • tan α −tan β = sin(α − β) cos α cos β C.9 Công thức thường dùng khác Trần Uy Đông_TTGDTX Bảo Yên_Lào Cai 4 Lí thuyết đại số & giải tích 11 E 5 • cos α + sin α = √ 2 cos(α − π 4 ) = √ 2 sin(α + π 4 ) • cos α −sin α = √ 2 cos(α + π 4 ) = − √ 2 sin(α − π 4 ) • sin α cos α = sin 2α 2 • cos 4 α + sin 4 α = 3 + cos 4α 4 • cos 6 α + sin 6 α = 5 + 3 cos 4α 8 1.1 CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1.1.1 Hàm số y = sin x - Tập xác định: R - Tập giá trị: [−1; 1] - Là hàm số lẻ - Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π - Đồng biến trên mỗi khoảng  − π 2 + k2π; π 2 + k2π  và nghịch biến trên mỗi khoảng  π 2 + k2π; 3π 2 + k2π  , k ∈ Z - Đồ thị là một đường hình sin y x O 1 -1 π/2 π 3π/2 2π −π/2 −π −3π/2 −2π Hình 2: Đồ thị hàm số y = sin x 1.1.2 Hàm số y = cos x - Tập xác định: R - Tập giá trị: [−1; 1] Trần Uy Đông_TTGDTX Bảo Yên_Lào Cai 5 Lí thuyết đại số & giải tích 11 E 6 - Là hàm số chẵn - Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π - Đồng biến trên mỗi khoảng  −π +k2π; k2π  và nghịch biến trên mỗi khoảng  k2π; π + k2π  , k ∈ Z - Đồ thị là một đường hình sin + Do sin(x + π 2 ) = cos x, ∀x ∈ R nên tịnh tiến đồ thị hàm số y = sin x sang trái, song song với trục hoành, một đoạn là π 2 ta được đồ thị hàm số y = cos x 1.1.3 Hàm số y = tan x - Tập xác định: D 1 = R \  π 2 + kπ | k ∈ Z  - Tập giá trị: R - Là hàm số lẻ - Là hàm tuần hoàn với chu kì π - Đồng biến trên mỗi khoảng  − π 2 + kπ; π 2 + kπ  , k ∈ Z - Đồ thị (tự xem) 1.1.4 Hàm số y = cot x - Tập xác định: D 2 = R \ {kπ | k ∈ Z} - Tập giá trị: R - Là hàm số lẻ - Là hàm tuần hoàn với chu kì π - Nghịch biến trên mỗi khoảng (kπ; π + kπ), k ∈ Z - Đồ thị (tự xem) Trần Uy Đông_TTGDTX Bảo Yên_Lào Cai 6 Lí thuyết đại số & giải tích 11 E 7 Cách xác định giá trị các hàm số lượng giác - Trên đường tròn lượng giác, cho cung lượng giác Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên x  Ox và y  Oy. Gọi T và U lần lượt là giao điểm của tia OM với t  At và u  Bu. O A A  M B B  H K U T α x x  y y  t t  u  u s (+) (−) Truc cotang Truc tang Truc sin Truc cosin Hình 3: sin α = OK cos α = OH tan α = AT cot α = BU Bổ sung về khái niệm hàm số tuần hoàn Một cách tổng quát: “Hàm số y = f(x) xác định trên tập hợp D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số T = 0 sao cho với mọi x ∈ D ta có x + T ∈ D , x −T ∈ D và f(x + T ) = f(x) Nếu có số T dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì hàm số đó được gọi là một hàm số tuần hoàn với chu kì T” Trần Uy Đông_TTGDTX Bảo Yên_Lào Cai 7 [...]... sin4 + cos4 = 1 − 2 sin x 2 2 2(cos6 x + sin6 x) − sin x cos x √ g) =0 2 − 2 sin x cos 3x + sin 3x h) 5 sin x + = cos 2x + 3 1 + 2 sin 2x ^ Trần Uy Đông_TTGDTX Bảo Yên_Lào Cai 10 Lí thuyết đại số & giải tích 11 1.3.3 E 11 Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x Xét phương trình (1.3) a sin x + b cos x = c (a; b = 0) Cách giải: • C1: √ a b sin x + √ cos x = c (1.3) ⇔ a2 + b2 √ a2 + b 2 a2 + b 2... sin 2x d) = 3 2 cos2 x − sin x − 1 ^ 1.3.4 Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x Dạng: (1.4) a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x = d Trần Uy Đông_TTGDTX Bảo Yên_Lào Cai 11 Lí thuyết đại số & giải tích 11 E 12 trong đó a, b, c và d là những số đã cho, với a = 0 hoặc b = 0 hoặc c = 0 Cách giải: • C1: Chia cả hai vế của (1.4) cho sin2 x (nếu sin x = 0) d = d(1 + cot2 x) (1.4) ⇔ c cot2 x... Đông_TTGDTX Bảo Yên_Lào Cai 16 Lí thuyết đại số & giải tích 11 E 17 • P (Ω) = 1, P (∅) = 0 2.5.2 Quy tắc cộng xác suất Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì xác suất để A hoặc B xảy ra là P (A ∪ B) = P (A) + P (B) (2.9) Mở rộng cho k biến cố đôi một xung khắc Khi đó (2.10) \Đặc biệt P (A1 ∩ A2 ∩ ∩ Ak ) = P (A1 ) + P (A2 ) + + P (Ak ) Xác suất của biến cố đối A là (2 .11) 2.5.3 P (A) = 1 − P (A) Quy...Lí thuyết đại số & giải tích 11 1.2 1.2.1 E 8 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Phương trình sin x = a (1) • |a| > 1: phương trình (1) vô nghiệm • |a| ≤ 1: đặt a = sin α Khi đó x = α + k2π, k∈Z (1) ⇔ x = π − α + k2π, k∈Z... 1 ⇔ x = k2π • cos x = −1 ⇔ x = π + k2π π • cos x = 0 ⇔ x = + kπ 2 • tan x = 0 ⇔ x = kπ π • tan x = 1 ⇔ x = + kπ 4 π • tan x = −1 ⇔ x = − + kπ 4  Trần Uy Đông_TTGDTX Bảo Yên_Lào Cai 8 Lí thuyết đại số & giải tích 11 E 9 π + kπ 2 π • cot x = 1 ⇔ x = + kπ 4 π • cot x = −1 ⇔ x = − + kπ 4 Bổ sung • cot x = 0 ⇔ x =  1 Với f là một hàm số sin thì u(x) = v(x) + k2π (k ∈ Z) f (u(x)) = f (v(x)) ⇔ u(x) = π... Giải tìm được t Thay trở lại t = 2 cos(x − ), suy ra x 4 Dạng tương tự: - Đặt t = sin x + cos x = (1.7) √ a(sin x − cos x) + b sin x cos x + c = 0 Trần Uy Đông_TTGDTX Bảo Yên_Lào Cai 12 Lí thuyết đại số & giải tích 11 E 13 Cách giải: √ √ π 2 sin(x − ) với điều kiện |t| ≤ 2 4 1 − t2 2 - Khi đó t = 1 − 2 sin x cos x ⇒ sin x cos x = Thế vào (1.7), tìm t, rồi 2 suy ra x Ví dụ: Giải phương trình √ a) 2 sin... cos4 x = | sin x| + | cos x| d) (cos 2x − cos 4x)2 = 6 + 2 sin 3x 3x e) cos 2x + cos −2=0 4 f) cos 2x + cos 4x + cos 6x = cos x cos 2x cos 3x + 2 Trần Uy Đông_TTGDTX Bảo Yên_Lào Cai 13 E Lí thuyết đại số & giải tích 11 2 2.1 2.1.1 14 TỔ HỢP - XÁC XUẤT QUY TẮC ĐẾM Quy tắc cộng “Giả sử một công việc có thể thực hiện theo một trong k phương án A1 , A2 , , Ak Có n1 cách thực hiện phương án A1 , n2 cách thực... một chỉnh hợp chập k của n phần tử Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử được kí hiệu là Ak , ta có n Ak = n (2.3) n! (n − k)! (quy ước 0! = 1) Trần Uy Đông_TTGDTX Bảo Yên_Lào Cai 14 E Lí thuyết đại số & giải tích 11 2.2.3 15 Tổ hợp Một tập con gồm k phần tử của A (1 ≤ k ≤ k) được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử Tổ hợp chập 0 của n phần tử là tập ∅ k Số các tổ hợp chập k của n phần tử được kí... an−k bk = k=0 (quy ước a0 = b0 = 1) 2.3.2 Tam giác Pascal 0 1 n−1 n Dùng để tính các hệ số Cn , Cn , , Cn , Cn trong công thức nhị thức Newton Trần Uy Đông_TTGDTX Bảo Yên_Lào Cai 15 E Lí thuyết đại số & giải tích 11 16 1 1 1 1 1 1 3 4 1 1 5 6 2 1 3 6 10 10 15 1 4 20 1 5 15 1 6 1 Hình 4: Tam giác Pascal 2.4 PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ - Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là không... cos x − cos3 x sin x = 4 x c) cot x + sin x(1 + tan x tan ) = 4 2 d) sin6 x + cos6 x = cos 4x e) 4(sin4 x + cos4 x) + sin 4x − 2 = 0 a) sin x = − ^ Trần Uy Đông_TTGDTX Bảo Yên_Lào Cai 9 Lí thuyết đại số & giải tích 11 1.3 1.3.1 E 10 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Phương trình bậc nhất Dạng: (1.1) at + b = 0 (a = 0) trong đó t là một hàm số lượng giác Cách giải: biến đổi trực tiếp về phương . + sin 3x 1 + 2 sin 2x  = cos 2x + 3 Trần Uy Đông_TTGDTX Bảo Yên_Lào Cai 10 Lí thuyết đại số & giải tích 11 E 11 1.3.3 Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x Xét phương trình (1.3) a. a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = d Trần Uy Đông_TTGDTX Bảo Yên_Lào Cai 11 Lí thuyết đại số & giải tích 11 E 12 trong đó a, b, c và d là những số đã cho, với a = 0 hoặc b = 0 hoặc. 1 u u  x x  y y  t t  (+) (−) Hình 1: Trong đó: A: điểm gốc x  Ox: trục côsin (trục hoành) ∗ actemits 1 Lí thuyết đại số & giải tích 11 E 2 y  Oy: trục sin (trục tung) t  At: trục tang u  Bu: trục côtang B. Giá