cuong.phamkim@gmail.com GV: Ph ạm Kim C ường 1 Phone: 0935583941 CÁC QUI T ẮC TÍNH ĐẠO H ÀM Ta xét các hàm s ố u, v, … theo cùng một biến số x và cùng xác định trong kho ảng (a;b). Khi x nh ận một số gia x , các hàm s ố u, v … lần lượt nhận các số gia tương ứng l à vu , , … đ ạo h àm các hàm số này trong khoảng (a;b) được kí hì ệu u ’ , v ’ , … Đ ể cho gọn trong khi trình bày , ta không nh ắc lại miền xác định chung c ủa các hàm số nói trên. 1. Đ ạo h àm của tích một hằng số với một hàm số Đinh lí 3 : Gi ả sử u l à m ột hàm số theo x có đạo hàm u ’ và a là m ột hằng s ố . Ta có công thức : (a. u) ’ = a.u ’ Ch ứng minh: Xét hàm s ố y = ax trong đó a là một hằng số và u là một hàm số theo biến s ố x , có đ ạo hàm u ’ . Cho x m ột số gia x thì u và y l ần l ượt nhận các giá trị là: u + u và y + y Ta có y + y = a(u+ u ) = au + a u T ừ đó suy ra y = a u Do đó x u a x y . => 00 lim.lim xx x u a x y V ậy y ’ = a. u ’ Hay (au)’ = a. u ’ (đpcm). 2. Đ ạo hàm của tổng và hiệu của những hàm số Đ ịnh lí 4 : Gi ả s ử u v à v là những hàm số theo cùng biến số x, có đạo hàm u ’ và v ’ . Ta có công thức : (u + v) ’ = u ’ + v ’ (u - v) ’ = u ’ - v ’ Ch ứng minh Xét hàm s ố y = u + v tron g đó u, v là nh ững hàm số theo x, lần lượt có đ ạo h àm u ’ và v ’ . Cho x m ột số gia x thì u, v và y l ần lượt nhận các giá trị là: u + u , v + v và y + y Ta có y + y = (u + u ) + ( v + v ) = (u + v) + ( u + v ) Suy ra y = u + v cuong.phamkim@gmail.com GV: Ph ạm Kim C ường 2 Phone: 0935583941 Do đó x u x y + x v => 000 limlimlim xxx x v x u x y V ậy y ’ = u ’ + v ’ Hay (u + v) ’ = u ’ + v ’ Tương t ự ta có (u – v) ’ = u ’ + v ’ M ở rộng ta có : ''' ' wvuwvu Thí dụ 6 : Tính đạo hàm của hàm số y = 3. x 2 - 4x + 4 5 Gi ải : Áp d ụng định lí 3 v à 4 , ta được : y ’ = 3.(x 2 ) ’ – 4.(x) ’ + 5. ' 1 x = 6x – 4 - 2 5 x . 3. Đ ạo hàm của tích những hàm số Đ ịnh lí 5: Gi ả sử u v à v là những hàm số theo cùng biến số x, lần lượt có đ ạo hàm u ’ và v ’ . Ta có công th ức : (u.v) ’ = u ’ .v + v ’ .u Ch ứng minh Xét hàm s ố y = u.v , trong đó u và v là những hàm số theo x lần lượt có đ ạo h àm là u ’ và v ’ Cho x m ột số gia x thì u, v và y lần l ượt nhận các giá trị là: u + u , v + v và y + y Ta có y + y = (u + u ).( v + v ) = u.v + u. v + v. u + u . v T ừ đó suy ra : y = u. v + v. u + u . v Do đó x x v x u x u v x v u x y Vì u và v không ph ụ thuộc vào x nên ta có : 000 lim.lim.lim xxx x u v x v u x y 0 lim x x x v x u V ậy : y ’ = u.v ’ + v.u ’ + u ’ . v ’ .0 = u.v ’ + v.u’ Hay (u.v) ’ = u.v ’ + v.u’ (đpcm). Thí d ụ 7: Hàm s ố y = (x 2 + 1). x có đ ạo h àm là y ’ = (x 2 + 1) ’ . x + (x 2 + 1) . ( x ) ’ = cuong.phamkim@gmail.com GV: Ph ạm Kim C ường 3 Phone: 0935583941 = 2x. x + (x 2 + 1). x2 1 = x xx 2 1 2 5 . Áp d ụng: Dùng đ ịnh lí 5 , ta chứng minh đ ược kết quả quan trọng sau : (*) 1' .)( nn xnx (n nguyên dương) Ch ứng minh : Ta ch ứng minh bằng phương pháp qui nạp . Với n = 1, công thức (*) trở thành : (x) ’ = 1 Ta bi ết kết quả n ày là đúng . Gi ả sử công thức (*) đúng với n=k , nghĩa là ta có : (x k ) ’ = k.x k-1 (a) Ta ch ứng minh công thức (*) đúng với n = k+ 1 , tức l à phải chứng minh : (x k+1 ) ’ = (k+1).x k (b) Ta có : (x k+1 ) ’ = (x k .x) ’ = (x k ) ’ .x + x k .x ’ [do đ ịnh lí 5] = k.x k-1 .x + x k [do gi ả thiết (a)] = k.x k + x k = (k + 1).x k . V ậy (b) là đúng , do đó công thức (*) đươc chứng minh . Thí d ụ ta có : (x 3 ) ’ = 3x 2 , (x 4 ) ’ =4x 3 , …. M ở rộng định lí 5 ta có : (u.v.w) ’ = u ’ .v.w + u.v ’ .w + u.v.w ’ HS t ự chứng minh kết quả này . 4. Đ ạo h àm của thương hai hàm số : Đ ịnh lí 6 . Gi ả sử u và v là nhữn g hàm s ố theo cùng biến số x , v 0 l ần lượt có đ ạo hàm u ’ và v ’ . Ta có công th ức : 2 '' ' v uvvu v u (v 0) Ch ứng minh : Xét hàm s ố y = v u trong đó u và v là nh ững hàm số theo x , v 0 l ần lược có đ ạo hàm u ’ và v ’ . Cho x m ột số gia x thì u, v và y l ần lượt nhận các giá trị là: u + u , v + v và y + y Ta có y + y = vv uu T ừ đó suy ra : y = vv uu - v u = vvv vuuv . . Do đó vvv x v u x u v x y . 2 Vì hàm s ố v có đạo hàm nên v liên t ục tại điểm khảo sát , do đó : cuong.phamkim@gmail.com GV: Ph ạm Kim C ường 4 Phone: 0935583941 0 0lim x v M ặc khác, vì u và v không phụ thuộc vào x nên ta có : 0 lim x x y = 0 lim. 00 lim.lim. 2 x vvv xx x v u x u v . V ậy y ’ = 2 '' v uvvu Hay: 2 '' ' v uvvu v u (đpcm) Thí dụ 8: Đạo hàm của hàm số y = 1 12 x x là y ’ = 2 '' 1 1.121.12 x xxxx = 2 1 121.2 x xx = 2 1 3 x H ệ quả : N ếu u = 1 th ì u’ = 0 , do đó ta có : 2 ' ' 1 v v v Áp d ụng: Ta đ ã ch ứng minh được công thức : (*) 1' .)( nn xnx (n nguyên dương) Bây giờ ta chứng minh công thức : (**) 1' .)( mm xmx ( m là s ố nguy ên âm , x k hác 0) Đ ặt m = - n thì n là s ố nguy ên dương . Ta có : (x m ) ’ = (x -n ) ’ = ' 1 n x = 11 2 1 2 ' mn n n n n xmxn x nx x x (đpcm) Ta nh ận xét rằng công thức (**) vẫn đúng khi m = 0. K ết hợp công thức (*) v à (**) với nhận xét trên , ta có kết qu ả sau: 1' .)( nn xnx (n Z) ( Lưu ý : Nếu n 0 thì ph ải có điều kiện x 0). 5.Đ ạo h àm của hàm số hợp: g x• u • •y f cuong.phamkim@gmail.com GV: Ph ạm Kim C ường 5 Phone: 0935583941 Hàm s ố hợp : Cho u = (x) là hàm s ố theo biến x và y = g(u) là hàm số theo bi ế n u .Th ế th ì y là hàm số hợp của hai hàm số và g . Theo th ứ tự kí hi ệu : f = g o . v ậy : y = f(x) = g[ (x)]. Đ ịnh lí 7: N ếu h àm số y = (x) có đ ạo h àm theo x là u ’ x = ’ (x) và hàm s ố y=g(u) có đ ạo h àm theo u là y ’ u = g ’ (u) thì hàm s ố hợp y = f(x) = g[ (x)] có đ ạo h àm theo x là : f ’ (x) = g ’ (u). ’ (x) hay y ’ x = y ’ u . u ’ x Ch ứng minh: Cho x m ột số gia 0x thì hàm s ố y = (x) nh ận số gia t ương ứng là y = g(u+ u ) – g(u) (1) Ta nh ận xét rằng u có th ể bằng 0 . Để đ ơn giản ta chứ ng minh đ ịnh lí 7 trong trư ờng hợp 0u . Khi đó ta có : x u u y x y . y y+ y y y u u u+ u u x x x x+ x Khi x 0 thì x u có giới hạn là ’ (x) . Mặc khác vì hàm số u = (x) có đ ạo hàm tại x nên liên tục tại điểm này, cho nên khi x 0 thì u 0 , do đó khi x 0 thì u y có gi ới hạn l à g ’ (u). T ừ (1) ta suy ra : 0 )().('lim ' x xug x y hay y ’ x = y ’ u . u ’ x Các h ệ quả quan trọng : 1) Cho y = u n , trong đó n là s ố nguyên và u là hàm số có đạo hàm theo x là u ’ x . áp d ụng định lí 7 ta được : y ’ x = y ’ u .u ’ x = n.u n-1 .u ’ x . K ết quả này được viết gọn là : cuong.phamkim@gmail.com GV: Ph ạm Kim C ường 6 Phone: 0935583941 (u n ) ’ = n.u n-1 .u ’ Thí dụ 9 : Đ ạo h àm của hàm số y = (3x -2) 4 là : y ’ = 4(3x-2) 3 .(3x-2) ’ = 12.(3x-2) 3 2) Cho y = x , v ới u là hàm số có đạo hàm theo x là u ’ x . Áp d ụng định lí 7, ta đư ợc : y ’ x = ' . 2 1 x u u K ết quả này được viết gọn l à : u u u 2 ' ' Thí d ụ 10: Đ ạo h àm của hàm số y = 1 2 x là : y ’ = 11.2 2 1.2 1 222 ' 2 x x x x x x . 6. Đ ạo hàm của hàm số ngược : f Cho hàm s ố y = f(x) từ tập tập hợp • x • y X lên t ập hợp Y có h àm số ngược là g x = g(y) t ừ tập hợp Y lên tập hợp X. vì f có hàm số ngược nên f có tính X Y ch ất sau: ).()(,, 212121 xfxfxxXxx Đ ịnh lí sau đây cho ta cách tính đ ạo hàm của hàm số y = f(x) nếu ta biết đạo hàm của hàm số ngược x = g(y) . Đ ịnh lí 8: Cho hàm s ố y = f(x) (từ X lên Y) có hàm số ngược là x = g(y) (t ừ Y l ên X) . Nếu hàm số x = g(y) tại đi ểm y o có đ ạo h àm g ’ (y o ) 0 và n ếu h àm số y = f(x) liên tục tại điểm x o = g(y o ) thì t ồn tại đạo hàm f ’ (x o ) và : f ’ (x 0 ) = )( 1 ' o yg Chứng minh: Cho x o m ột số gia x thì hàm s ố y = f(x) có số gia t ương ứng là : oo xfxxfy Vì x 0 + x x o nên f(x 0 + x ) f(x o ), do đó 0y Ta có th ể viết y x x y 1 (1) cuong.phamkim@gmail.com GV: Ph ạm Kim C ường 7 Phone: 0935583941 Cho 0x , vì hàm s ố y = f(x) li ên tục tại x o nên 0y , do đó 0 ' o yg y x (2) T ừ (1) v à (2) suy ra : 0 1 lim ' x yg x y o hay o o yg xf ' ' 1 (đpcm). Thí dụ 11: Tính đạo hàm của hàm số y = x bằng cách dùng đạo hàm c ủa h àm số ngược . Gi ải : X ét hàm s ố y = x t ừ X = [0; ) lên Y = [0; ) . Hàm s ố này có hàm s ố ngược là x = y 2 . Trên khoảng (0; ) hàm số x = y 2 có đạo hàm x ’ y = 2y 0 Trên kho ảng (0; ) hàm s ố y = x liên t ục . V ậy hàm s ố y = x có đ ạo hàm trên (0; ) : y ’ x = x y 2 1 2 1 . The end