Bai giang toan A1

CHƯƠNG 2 MA TRẬN – ĐỊNH THỨC §1. Ma trận 1.1. Các khái niệm 1.2. Các phép toán §2. Đònh thức 2.1. Đònh nghóa 2.2. Các tính chất của đònh thức §3. Ma trận nghòch đảo §4. Hạng của ma trận §1. Ma trận 1.1. Các khái niệm cơ bản Ma trận cấp m×n là một bảng, gồm m×n số được xếp thành m dòng và n cột, kí hiệu: A m × n = 11 12 1n 21 22 2n m1 m2 mn a a a a a a a a a               L L L L L L L hoặc A m × n =(a ij ) a ij là phần tử nằm trên dòng i cột j của ma trận A Hai ma trận bằng nhau là hai ma trận cùng cấp và có các phần tử tương ứng bằng nhau, ghi A=B Ma trận vuông cấp n là ma trân có n dòng và n cột. Kí hiệu A n Đương chéo: khi A là ma trận vuông, các phần tử a ii ∀i tạo thành đường chéo chính, các phần tử a n1 , a n − 1 2 , , a 1n tạo thành đường chéo phụ. Ma trận tam giác là ma trận vuông có tất cả các phần tử a ij =0 khi ∀i>j hoặc khi ∀i<j. A = 11 12 1n 22 2n nn a a a 0 a a 0 a               L L L L L L L L hoặc 11 21 22 n1 n2 nn a 0 0 a a 0 a a a               L L L L L L L Ma trận dòng là ma trận chỉ có một dòng (véctơ dòng) Ma trận cột là ma trận chỉ có một cột (vectơ cột) Ma trận không là ma trận có a ij = 0 ∀ij, kí hiệu θ Ma trận chuyển vò của ma trận A là ma trận được xác đònh từ ma trận A bằng cách chuyển các dòng thành các cột tương ứng, kí hiệu là A T Ma trận chéo là ma trận vuông có a ij =0 ∀i≠j Ma trận đơn vò cấp n là ma trận chéo cấp n có a ii =1∀i. Ký hiệu I n TD: A = 1 4 1 2 0 3 A T = 1 2 4 0 1 3 (ma traọn chuyeồn vũ) A = 11 22 nn a 0 0 0 a 0 0 a L L L L (ma traọn cheựo) I 3 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 (ma traõn ủụn vũ caỏp 3) 1.2. Các phép toán trên ma trận Phép cộng hai ma trận cùng cấp Cho A m × n =(a ij ), B m × n =(b ij ) ⇒ A+B=(a ij +b ij ) m × n Phép nhân một số với một ma trận Cho A=(a ij ) m × n , λ∈R ⇒ λA=(λa ij ) m × n Chú ý: Phép trừ hai ma trận cùng cấp như sau: A−B = A+(-1)B Phép nhân hai ma trận Cho A m × p =(a ik ) và B p × n =(b kj ) Ta có: A.B = (c ij ) m × n với c ij = p ik kj k 1 a b = ∑ (điều kiện A nhân được với B là số cột của A bằng số dòng của B) A B doøng i         • • • •         •     •     •       •   coät j TD:   −     −     −       1 2 1 2 1 0 1 3 1 0 2 1 = 1 1 3 7 − −       1.3. Các tính chất Giả sử α, β là các số thực; A, B,C, I là các ma trận 1/ A+(B+C)=(B+A)+C; 2/ A+B=B+A 3/ α(βA)=(αβ)A; 4/ α(A+B)=αA+αB 5/ (α+β)A=αA+βA 6/ A(BC)=(AB)C 7/ A(B+C)=AB+AC 8/ (A T ) T =A 9/ (AB) T =B T A T 10/ α(AB)=(αA)B 11/ A n I n = I n A n = A n 12/ A+θ=θ+A=A Nếu A là ma trận vuông ta kí hiệu: A n = A.A A [...]... cột j det A = a1 j A1 j + a2 j A2 j + + anj Anj (3) (4) TC5: Nếu tất cả các phần tử của một dòng(cột) là tổng của hai số hạng thì đònh thức có thể phân tích thành tổng của hai đònh thức ′ a11 + a11 a 21 ′ a12 + a12 a11 = a 22 a 21 ′ a12 a11 + a 22 a 21 ′ a12 a 22 TC6: Thừa số chung của một dòng(cột) có thể đưa ra ngoài đònh thức ka11 TD: a 21 ka12 a 22 =k a11 a 21 a12 a 22 = a11 ka 21 a12 ka 22 TC7:... vuông An=(aij), ta gọi đònh thức cấp n của ma trận A là một số, ký hiệu detA hoặc |A|, được đònh nghóa như sau: Khi n=1: A1= [a11 ] ⇒ detA1 =a11 Khi n=2: A2=  a11 a  21 a12   a 22  ⇒ detA2 = a11 detM11 a12 detM12 = a11 a22− a12 a21 Khi n>2: An=(aij) ⇒detA =a11 detM11 a12 detM12+ +(−1)1+na1ndetM1n (1) TD: Tính các đònh thức 1 1 2 3 4 3 −2 1 =-2; 2 0 1 1 −2 =(-2+0-6)-(3+8+0)=-19 1 2 3 1 0 −2 0 −2 1 −2 1 0... detA=detAT 2.3 Cách tính đònh thức Đònh thức cấp 2: A=  a11 a  21 a12  a 22   , từ đònh nghóa ⇒ |A| =a11 a22 a12 a21 (Tích các phần tử trên đường chéo chính trừ tích các phần tử trên đường chéo phụ) Đònh thức cấp 3 A= a 11   a 21   a 31  a12 a 22 a 32 a13   a 23   a 33   |A|= (a11 a22a33+a21a3 2a13 +a12 a23a31)− (a13 a22a31+a2 1a12 a33+ + a23a3 2a11 ) Sơ đồ trực quan: • • • • • • • • • • • • • • • -... khác 1 −1 1 TD: Tính đònh thức: D= 5 1 1 0 1 2 3 0 −1 3 −1 0 2 Khai triển theo cột 3, D=1 1 1 1 2 3 −1 3 −1 2 =−13 Chú ý: Đònh thức của ma trận tam giác a11 a 21 0 L a 22 L 0 0 L a n1 L L L a n2 L a nn = a11 0 a12 L a1n a 22 L a 2n L 0 L 0 L L L a nn =a11 a22 ann b) Biến đổi về đònh thức tam giác a + 2x a + 2x a + 2x a x x x a x TD: Tính D = x a x x x a x x a =(a+2x) = 1 1 1 x a x x x a =(a+2x) 1 1 0... Đònh ngh a1: Cho ma trận vuông A cấp n, nếu tồn tại ma trận vuông B cấp n sao cho AB = BA = I n thì ta nói A khả đảo và gọi B là ma trận nghòch đảo của A, kí hiệu A −1 Vậy AA−1 = A−1A = In Đònh nghóa 2: Ma trận vuông A gọi là không suy biến nếu detA ≠ 0 Đònh lí 1: Ma trận vuông A có ma trận nghòch đảo (khả đảo) khi và chỉ khi A không suy biến Khi đó A-1 = aij) 1 |A|  A11   A12  M   A1n  A 21... một số hữu hạn bước sẽ kết thúc vì r(A)≤Min(m,n) 1 2 3 4   0 0 3 5   TD: Tìm hạng của ma trận A= con cấp 2 khác 0 suy ra r(A)=2 vì có đònh thức b/ Ma trận bậc thang dòng A=  a11   0    0  a12 a 22 0 a1r a1n   a 2r a 2n    0 a rr a rn   ⇒r(A)=r Nếu aii≠0 ∀i thì hạng của ma trận bậc thang bằng r (số dòng của ma trận bậc thang Đònh lí 1 Khi thực hiện các phép biến đổi sau... =-14 2.2 Các tính chất TC1: detAn =a11 detM11−a21detM21+ +(−1)n+1an1detMn1 (2) TC2: Đổi chỗ hai dòng(hai cột) cho nhau thì đònh thức đổi dấu TC3: Đònh thức có hai dòng(cột) giống nhau thì bằng 0 TC4: Gọi phần bù đại số của phần tử aij là: Aij =(−1)i+j detMij (Mij là ma trận con bù của aij), ta có: ai1 A k1 + ai2 A k 2 + + ain A kn det A khi i = k = khi i ≠ k  0 a1 j A1k + a2 j A2k + + anj Ank det