PHÒNG GD & ĐT BÌNH SƠN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN. TRƯƠNG THCS BÌNH MINH NĂM HỌC: 2012 - 2013 Môn thi: TOÁN 9 Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1. Cho biểu thức: 2 2 2 ( 1)( 2 ) x x P x x x x x x x + = + + − + − + a. Rút gọn P . b. Tính P khi 3 2 2x = + . c. Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên. Câu 2. Giải phương trình: a. 2 10 27 6 4x x x x− + = − + − b. 2 2 2 4 0x x x x x− − − + = Câu 3. a. Tìm các số nguyên ;x y thỏa mãn: 2 2 3 2 0y xy x+ − − = b. Cho 1; 0x y> > , chứng minh: 3 3 3 1 1 1 3 2 3 ( 1) 1 x x x x y y x y − − + + ≥ + ÷ ÷ − − c. Tìm số tự nhiên n để: 2012 2002 1A n n= + + là số nguyên tố. Câu 4. Cho hình vuông ABCD, có độ dài cạnh bằng a. E là một điểm di chuyển trên CD ( E khác C, D). Đường thẳng AE cắt đường thẳng BC tại F, đường thẳng vuông góc với AE tại A cắt đường thẳng CD tại K. a. Chứng minh: 2 2 1 1 AE AF + không đổi b. Chứng minh: os sin .cos sin .cosc AKE EKF EFK EFK EKF ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ = + c. Lấy điểm M là trung điểm đoạn AC. Trình bày cách dựng điểm N trên DM sao cho khoảng cách từ N đến AC bằng tổng khoảng cách từ N đến DC và AD. Câu 5. Cho ABCD là hình bình hành. Đường thẳng d đi qua A không cắt hình bình hành, ba điểm H, I , K lần lượt là hình chiếu của B, C, D trên đường thẳng d. Xác định vị trí đường thẳng d để tổng: BH + CI + DK có giá trị lớn nhất. Hết./. Họ Tên Hs: Lớp: ĐỀ CHÍNH THỨC PHÒNG GD & ĐT BÌNH SƠN HD CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN. NĂM HỌC: 2011 – 2012. Môn thi: TOÁN 9. Thời gian: 150 phút( không kể thời gian giao đề) Câ u Ý Nội dung cần đạt Điểm 1 a 2 2 ( 1) ( 2) ( 1)( 2) ( 2) 2( 1) 2 2 2 2 2 ( 1)( 2) ( 1)( 2) 2 2 ( 1)( 2) ( 1) ( 1)( 2) ( 1)( 2) ( 1) x x P x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + = + + − + − + + + − + + + + − + + = = − + − + + + + + + + = = = − + − + − 0,25 0,25 0.5 2,25 b 2 3 2 2 2 2 2 1 ( 2 1) 2 1x x = + ⇔ = + + = + = + ( 1) 2 1 1 2 2 1 2 ( 1) 2 1 1 2 x P x + + + + = = = = + − + − 0.25 0.25 c ĐK: 0; 1x x > ≠ : ( 1) 1 2 2 1 ( 1) 1 1 x x P x x x + − + = = = + − − − Học sinh lập luận để tìm ra 4x = hoặc 9x = 0.25 0.25 0.25 2 a ĐK: 4 6x ≤ ≤ : 2 2 10 27 ( 5) 2 2VT x x x= − + = − + ≥ , dấu “=” xẩy ra 5x ⇔ = 2 2 2 2 6 4 (1 1 )(( 6 ) ( 4) ) 2VP x x x x VP = − + − ≤ + − + − ⇔ ≤ , dấu “=” xẩy ra 1 1 6 4 5 6 4 x x x x x ⇔ = ⇒ − = − ⇔ = − − 5VT VP x = ⇔ = (TMĐK), Vậy nghiệm của phương trình: 5x = 0.25 0.25 0.25 0.25 1,75 b ĐK: 0x ≥ . Nhận thấy: 0x = không phải là nghiệm của phương trình, chia cả hai vế cho x ta có: 2 2 4 4 2 2 2 4 0 2 0 ( ) ( ) 2 0x x x x x x x x x x x x x − − − + = ⇔ − − − + = ⇔ + − + − = Đặt 2 2 2 4 4 0 4 4x t t x x t x x x + = > ⇔ = + + ⇔ + = − , thay vào ta có: ⇔ 2 2 3 ( 4) 2 0 6 0 ( 3)( 2) 0 2 t t t t t t t t = − − − = ⇔ − − = ⇔ − + = ⇔ = − Đối chiếu ĐK của t 4 2 3 3 3 2 0 ( 2)( 1) 0 1 x t x x x x x x x = ⇒ = ⇔ + = ⇔ − + = ⇔ − − = ⇔ = 0.75 3 a 2 2 2 2 2 2 3 2 0 2 3 2 ( ) ( 1)( 2)y xy x x xy y x x x y x x+ − − = ⇔ + + = + + ⇔ + = + + (*) VT của (*) là số chính phương; VP của (*) là tích của 2 số nguyên liên tiếp nên phải có 1 số bằng 0. 1 0 1 1 2 0 2 2 x x y x x y + = = − ⇒ = ⇔ ⇔ + = = − ⇒ = Vậy có 2 cặp số nguyên ( ; ) ( 1;1)x y = − hoặc ( ; ) ( 2;2)x y = − 0.5 2.0 b 1; 0x y > > 3 3 1 1 1 1 0; 0 0; 0; 0 ( 1) x x y x y y − ⇔ − > > ⇔ > > > − Áp dụng BĐT Côsi cho 3 số dương: 3 3 3 3 1 1 1 3 1 1 3. .1.1 2 (1) ( 1) ( 1) ( 1) 1x x x x + + ≥ ⇔ ≥ − − − − − 3 3 3 3 1 1 1 3( 1) 1 1 3 .1.1 2 (2) x x x x y y y y − − − − + + ≥ ⇔ ≥ − ÷ ÷ ÷ 3 3 3 3 1 1 1 3 1 1 3. .1.1 2 (3) y y y y + + ≥ ⇔ ≥ − Từ (1); (2); (3): 3 3 3 3 3 3 1 1 1 3 3( 1) 3 6 ( 1) 1 1 1 1 3 6 6 3 3 2 3( ) ( 1) 1 1 x x x y y x y y x x x x x x y y x y x y − − + + ≥ − + + ÷ − − − − + − ⇔ + + ≥ + = + ÷ − − − 0.75 c Xét 0n = thì A = 1 không phải nguyên tố; 1n = thì A = 3 nguyên tố. Xét n > 1: A = n 2012 – n 2 + n 2002 – n + n 2 + n + 1 = n 2 ((n 3 ) 670 – 1) + n.((n 3 ) 667 – 1) + (n 2 + n + 1) Mà (n 3 ) 670 – 1) chia hết cho n 3 -1, suy ra (n 3 ) 670 – 1) chia hết cho n 2 + n + 1 Tương tự: (n 3 ) 667 – 1 chia hết cho n 2 + n + 1 Vậy A chia hết cho n 2 + n + 1>1 nên A là hợp số. Số tự nhiên ần tìm n = 1. 0.25 0.5 4 P N' M' Q M H K F B A D C E N 0.25 a Học sinh c/m: ∆ ABF = ∆ ADK (g.c.g) suy ra AF = AK Trong tam giác vuông: KAE có AD là đường cao nên: 0.5 0,5 2 2 2 1 1 1 AK AE AD + = hay 2 2 2 2 1 1 1 1 AF AE AD a + = = (không đổi) 3.0 b HS c/m 1 1 . .sin . .cos 2 2 KEF S KE EF AEK KE EF AKE ∧ ∧ = = Mặt khác: 1 1 . .( ) 2 2 KEF S EH KF EH KH HF = = + . Suy ra: : . . . .cos .( ) cos . cos . . sin . os sin . os EF EF EH KH EH HF KE EF AKE EH KH HF AKE KE EF EH KH EH HF AKE EFK c EKF EKF c EFK EK KE ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ + = + ⇔ = ⇔ = + = + 0,25 0,25 0,5 c Giả sử đã dựng được điểm N thỏa mãn. NP + NQ = MN Lấy N’ đối xứng N; M’ đối xứng M qua AD suy ra tam giác NN’M cân tại N ⇒ MN’ là phân giác của ' DMM ∧ ⇒ Cách dựng điểm N: - Dựng M’ đối xứng M qua AD - Dựng phân giác ' DMM ∧ cắt DM’ tại N’ - Dựng điểm N đối xứng N’ qua AD Chú ý: Học sinh có thể không trình bày phân tích mà trình bày được cách dựng vẫn cho điểm tối đa. 0.25 0.25 0.25 5 0.25 1.0 Gọi O giao điểm 2 đường chéo hình bình hành, kẻ OP vuông góc d tại P HS lập luận được BH + CI + DK = 4OP Mà OP ≤ AO nên BH + CI + DK ≤ 4AO. Vậy Max(BH + CI + DK) = 4AO Đạt được khi P ≡ A hay d vuông góc AC 0.25 0.25 0.25 Học sinh làm các cách khác đúng với yêu cầu đề ra vẫn chấm điểm tối đa d P O K I H C D A B . Hs: Lớp: ĐỀ CHÍNH THỨC PHÒNG GD & ĐT BÌNH SƠN HD CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN. NĂM HỌC: 2011 – 2012. Môn thi: TOÁN 9. Thời gian: 150 phút( không kể thời gian giao đề) Câ u Ý Nội. PHÒNG GD & ĐT BÌNH SƠN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN. TRƯƠNG THCS BÌNH MINH NĂM HỌC: 2012 - 2013 Môn thi: TOÁN 9 Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1. Cho biểu thức:. > 3 3 1 1 1 1 0; 0 0; 0; 0 ( 1) x x y x y y − ⇔ − > > ⇔ > > > − Áp dụng BĐT Côsi cho 3 số dương: 3 3 3 3 1 1 1 3 1 1 3. .1.1 2 (1) ( 1) ( 1) ( 1) 1x x x x + + ≥ ⇔ ≥ − − −