Đề thi HSG 13-14

TRƯỜNG THCS THIỆU PHÚ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2013-2014 MÔN THI: TOÁN ( Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề ) Câu 1: (2,5 đ) Cho biểu thức: M = ( 25 1 25 a a a − − − ) : ( 25 5 2 3 10 2 5 a a a a a a a − − + − − + − − + ) a. Rút gọn M b. Tìm giá trị của a để M<1 c. Tìm GTLN của M Câu 2: ( 1 đ): Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 3 x + 4 x = 5 x Câu 3: ( 3 đ) a/ Cho hai số dương x, y thoả mãn x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2 2 1 1 M x y y x     = + +  ÷  ÷     b/ Cho x, y, z là các số dương thoả mãn 1 1 1 6 x y y z z x + + = + + + . Chứng minh rằng: 1 1 1 3 3 3 2 3 2 3 2 3 3 2x y z x y z x y z + + ≤ + + + + + + . Câu 4: ( 2 đ) Cho điểm A di chuyển trên đường tròn O đường kính BC = 2R ( A không trùng với B và C). Trên tia AB lấy điểm M sao cho B là trung điểm của AM. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BC và I là trung điểm của HC. a/ CMR: M chuyển động trên một đường tròn cố định. b/ CMR: ∆ AHM đồng dạng với ∆ CIA. Câu 5: ( 1,5 đ) Cho hai điểm A, B cố định và điểm M di động sao cho tam giác MAB có ba góc nhọn. Gọi H là trực tâm của tam giác MAB và K là chân đường cao vẽ từ M của tam giác MAB. Tìm GTLN của tích KH.KM./. Hết HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG LỚP 9 Năm học: 2013 -2014 Thời gian làm bài: 150 phút. Câu Ý Nội dung Điểm 1 2,5đ a. ĐK: a ≥ 0 ; a ≠ 4 ; a ≠ ≠ 25 (a       ( 5) 1 ( 5)( 5) a a a a   − −   − +   : 25 5 2 ( 5)( 2) 2 5 a a a a a a a   − − + + −   + − − +   = 5 5a − + : 25 25 4 ( 5)( 2) a a a a a   − + − − +   + −   = 5 5a − + . ( 5)( 2) 4 a a a + − − = 5 2a + 0,5 0,5 0,5 b c. 5 2a + < 1 <=> 5 2a + -1< 0 <=> 5 2 2 a a − − + < 0 <=> 3- a < 0 ( vì a + 2>0) <=> a > 3 <=> a >9 Vậy với a>9; a ≠ ≠ 25 thì M<1 Để M đạt GTLN < = > 5 2a + < = > a + 2 nhỏ nhất < = > a = 0 Vậy với a= 0 thì M đạt GTLN 0,5 0,5 2 Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 3 x + 4 x = 5 x 3 x + 4 x = 5 x <=> ( 3 5 ) x + ( 4 5 ) x =1 Ta thấy : x= 2 là nghiệm của phương trình Xét : x ≠ 2 Nếu x> 2 thì ( 3 5 ) x + ( 4 5 ) x >1 Nếu x< 2 dễ thấy : x= 0 và x= 1 không là nghiệm của phương trình Nếu x<0 ta đặt x= -y thì y > 0 nên y ≥ 1 Ta có: ( 3 5 ) x + ( 4 5 ) x =1 <=> ( 3 5 ) -y + ( 4 5 ) -y = 1 1đ 0,25 0,25 0,25 <= > ( 5 3 ) y + ( 5 4 ) y = 1 phương trình vô nghiệm vì ( 5 3 ) y + ( 5 4 ) y ≥ 5 5 3 4 + > 1 Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên duy nhất : x = 2 0,25 3 3,0 đ a Cho hai số dương thỏa mãn: x + y =1. Tìm GTNN của biểu thức: M = 2 2 2 2 1 1 x y y x     + +  ÷  ÷     M = 2 2 2 2 1 1 x y y x     + +  ÷  ÷     = 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 x y x y x y x y x y + + + + + = ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 x y x y xy x y xy xy +     + = = = +  ÷  ÷     Ta có: 1 1 15 16 16 xy xy xy xy xy   + = + +  ÷   * Ta có: 1 1 1 1 2 . 2. 16 16 4 2 xy xy xy xy + ≥ = = (1) * 1 1 1 1 4 1 15 15 4 2 2 4 16 16 4 16 4 x y xy xy xy xy xy + ≤ = ⇒ ≤ ⇒ ≥ ⇒ ≥ = ⇒ ≥ (2) Từ (1) và (2) 1 1 15 1 15 17 16 16 2 4 4 xy xy xy xy xy     ⇒ + = + + ≥ + =  ÷  ÷     Vậy M = 2 2 1 17 289 4 16 xy xy     + ≥ =  ÷  ÷     Dấu “=” xảy ra 1 1 1 16 4 2 xy xy xy x y x y x y   = =   ⇔ ⇔ ⇔ = =     = =   (Vì x, y > 0) Vậy min M = 289 16 tại x = y = 1 2 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 b Cho x, y là các số dương thỏa mãn: 1 1 1 6 x y y z z x + + = + + + Chứng minh rằng: 1 1 1 3 3 3 2 3 2 3 2 3 3 2x y z x y z x y z + + ≤ + + + + + + Áp dụng BĐT 1 1 4 a b a b + ≥ + (với a, b > 0) 1 1 1 1 4a b a b   ⇒ ≤ +  ÷ +   Ta có: ( ) ( ) 1 1 1 1 1 3 3 2 2 2 4 2 2x y z x y z x y z x y z x y z   = ≤ +  ÷ + + + + + + + + + + +   0,25 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 4 4x y x z x y y z x y x z x y y z       ≤ + ≤ + + +      ÷ + + + + + + + + + +         1 2 1 1 16 x y x z y z   ≤ + +  ÷ + + +   Tương tự: 1 1 2 1 1 3 2 3 16x y z x z x y y z   ≤ + +  ÷ + + + + +   1 1 2 1 1 2 3 3 16x y z y z x y x z   ≤ + +  ÷ + + + + +   cộng vế theo vế, ta có: 1 1 1 1 4 4 4 3 3 2 3 2 3 2 3 3 16x y z x y z x y z x y x z y z   + + ≤ + +  ÷ + + + + + + + + +   4 1 1 1 1 3 .6 16 4 2x y x z y z   ≤ + + = =  ÷ + + +   0,25 0,25 0,25 0,5 4 O' I H M O A B C 2đ a Lấy O’ đối xứng với O qua B, khi đó O’ cố định. Ta có AOB MO B ′ V : V ( c.g.c) 'O M OA R ⇒ = = , do đó M chuyển động trên đường tròn (O’; R) cố định. 0,5 0,5 b Ta có  ABC vuông ở A (Vì có 1 cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác) nên: · · MAH ACI = (1) (2 góc có cạnh tương ứng vuông góc) mà  AHB   CHA (g.g)  2 2 AC AB AC AB AC AB AM HC AH CI AH CI AH AH = ⇒ = ⇒ = = Vậy AC AM CI AH = (2) Từ (1) & (2)   AHM   CIA (c.g.c) 0,25 0,25 0,25 0,25 5 Ta có: BKM   HKA (g.g)  . . BK KM BK KA KM KH HK KA = ⇒ = Mặt khác: BK.KA 2 2 2 4 BK KA AB +   ≤ =  ÷   . Dấu “=” xảy ra khi BK = KA 2 . 4 AB KM KH⇒ ≤ . Vậy max (KM.KH) = 2 4 AB khi BK = KA, tức là K là trung điểm của AB. 1,5đ 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 H K A B M . TRƯỜNG THCS THI U PHÚ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2013-2014 MÔN THI: TOÁN ( Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề ) Câu 1: (2,5 đ) Cho biểu thức:. là chân đường cao vẽ từ M của tam giác MAB. Tìm GTLN của tích KH.KM./. Hết HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG LỚP 9 Năm học: 2013 -2014 Thời gian làm bài: 150 phút. Câu Ý Nội dung Điểm 1 2,5đ a. ĐK: