PHương pháp quy nạp

§2. §3. §4. §1. §1. Tiết 37  CÁI RIÊNG  CỤ THỂ  CÁI CHUNG  TỔNG QUÁT PHÉP QUY NẠP PHÉP SUY DiỄN PHƯƠNG PHÁP SUY LUẬN PHÉP SUY DiỄN PHÉP QUY NẠP “Quy nạp và suy diễn gắn chặt với nhau như phân tích và tổng hợp” PHÉP QUY NẠP LÀ GÌ Hãy cùng tìm hiểu về phương pháp quy nạp Toán học Có hai cách suy luận: “Suy diễn” và “Quy Nạp” Mối quan hệ giữa hai cách suy luận đó như thế nào ? Ph. Ăng-ghen “Quy nạp và suy diễn gắn chặt với nhau như phân tích và tổng hợp” (1820-1895) Hoạt động 1: a) Với n = 1,2,3,4,5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai b) ∀n∈N* thì P(n) , Q (n) đúng hay sai P(n): “ >3n +1 ” và Q(n): “ 3 n > n ” với n∈N* 2 n Xét hai mệnh đề chứa biến: P(n) : “ 3 n > 3n+1 ” Q(n) : “ 2 n > n ” Hoạt động nhóm Các em sử dụng phiếu học tập số 1 Nhóm 1: Tổ 1 & Tổ 2 Nhóm 2: Tổ 3 & Tổ 4 Xét 2 mệnh đề chứa biến P(n) : “ 3 n > 3n+1 ” và Q(n) : “ 2 n > n ” a. Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai? b. Với mọi n∈N* thì P(n), Q(n) đúng hay sai? Trả lời: a. P(n) : “ 3 n > 3n+1 ” Q(n): “ 2 n > n ” n ? 3n+1 1 2 3 4 5 3 n n ? n 1 2 3 4 5 2 n b. Với mọi n∈N* P(n) sai; Q(n) chưa thể khẳng định chắc chắn là đúng hay sai. vì ta không thể kiểm tra hết với mọi n∈N* 3 9 27 81 243 4 7 10 13 16 < > > > > 2 8 16 32 5 4 3 2 1 4 > > > > > Đ Đ Đ Đ Đ Đ Đ Đ Đ S Các em quan sát và trả lời Nhóm 1: Tổ 1 & Tổ 2 Nhóm 2: Tổ 3 & Tổ 4 Các nhóm cử đại diện trả lời Với n =1;2;3;4;5 P(n) Sai Với n =1;2;3;4;5 Q(n) Đúng Ghi nhận:  Muốn chứng tỏ một kết luận là SAI, ta chỉ cần chỉ ra một trường hợp sai là đủ  Muốn chứng tỏ một kết luận là ĐÚNG, ta phải chứng minh nó đúng với mọi trường hợp  Với n∈N* thì việc làm phép thử với một số giá trị của n ( cho dù làm được với một số lượng lớn) cũng không thể coi đó là chứng minh. Do đó, Phương pháp quy nạp toán học là phương pháp hữu hiệu để giải các bài toán dạng này §1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Bước 1: Bước 2: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1. Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ n = k ≥ 1 (gọi là giả thiết quy nạp). I. Phương pháp quy nạp Toán học: Chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Bước3 : Các em chép phần này vào vở Chứng minh rằng với n∈N* thì : 1 + 3 + 5 + . . . + (2n – 1) = n 2 (1) Giải: 1) Khi n = 1: VT = 1, VP = 1 2 = 1 .Vậy (1) đúng. 2) Đặt VT = S n . Giả sử với n = k ≥ 1 ta có: S k = 1 + 3 + 5 + . . . + (2k –1) = k 2 (gt quy nạp) 3) Ta chứng minh (1)cũng đúng với n = k+1 : Ví dụ 1: II. Ví dụ áp dụng : S k+1 =1 + 3 + 5 + …+ (2k – 1) + [2(k + 1) – 1] = (k +1) 2 Thật vậy: S k+1 = S k + [2(k + 1) – 1] = k 2 + 2k + 1 = ( k + 1) 2 Vậy: (1) đúng với mọi n∈N*. 1 1 + 3 = 1 + 3 + 5 = 1 + 3 + 5 + 7 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 1 4 = 2 2 9 = 3 2 16 = 4 2 25 = 5 2 = 1 2 + 3 + 5 + 7 + 9 n + + (2n – 1) = n 2 2.2 1.1 3.3 4.4 5.5 .n Mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n∈N* Chứng minh : 1 + 3 + 5 + 7+ … + (2n – 1) = n 2 Quan sát phần minh họa cho ví dụ 1 [...]... Củng cố: Nắm vững các bước thực hiện một bài toán chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học •Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n =1 (hoặc n = p ) •Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với n = k ≥ 1 (hoặc với số tự nhiên bất kỳ n = k ≥ p) (giả thiết quy nạp) •Bước 3: Chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k+1 •Cần chú ý vào giả thiết quy nạp và dựa vào yêu cầu của bài toán để kết luận Dặn dò: 1/ Làm lại... này vào vở 2) Giả sử với(1) đúng với n = k ≥ 1, ta có: Ak = (k3 – k) 3 (giả thiết quy nạp) 3) Ta chứng minh Ak+1 3 Thật vậy: Ak+1 = (k+1)3- (k+1) = k3 +3k2 +3k +1- k -1 = (k3- k) +3(k2+k) = Ak+ 3(k2+k) Ak 3 và 3(k2+k) 3 nên Ak+1 3 Vậy: An = n3 – n chia hết cho 3 với mọi n∈N* Hoạt động 2: HOẠT ĐỘNG NHÓM I Phương pháp quy nạp toán học Để chứng minh mệnh đề đúng với mọi n∈N* ta thực hiện theo các bước... bất kỳ n = k ≥ 2 (giả thiết quy nạp) •Ở bước 3: Chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k+1 •Bài tập này các em sẽ được hướng dẫn trong tiết luyện tập  Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n ≥ p ( p là một số tự nhiên ) thì : •Ở bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = p •Ở bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kỳ n = k ≥ p (giả thiết quy nạp) •Ở bước 3: Chứng minh... ĐỘNG NHÓM I Phương pháp quy nạp toán học Để chứng minh mệnh đề đúng với mọi n∈N* ta thực hiện theo các bước sau: B1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n=1 B2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k ≥ 1 (Giả thiết qui nạp- GTQN) B3: Ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với n=k+1 II Ví dụ áp dụng: HOẠT ĐỘNG NHÓM : Với mọi n∈N* có un = 13n –1 CMR : Với mọi n∈N* có un = 10n – 4 Các em sử dụng phiếu học tập số 2 … CMR … 6 3 … . QUÁT PHÉP QUY NẠP PHÉP SUY DiỄN PHƯƠNG PHÁP SUY LUẬN PHÉP SUY DiỄN PHÉP QUY NẠP Quy nạp và suy diễn gắn chặt với nhau như phân tích và tổng hợp” PHÉP QUY NẠP LÀ GÌ Hãy cùng tìm hiểu về phương pháp. cũng không thể coi đó là chứng minh. Do đó, Phương pháp quy nạp toán học là phương pháp hữu hiệu để giải các bài toán dạng này §1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Bước 1: Bước 2: Kiểm tra rằng. tìm hiểu về phương pháp quy nạp Toán học Có hai cách suy luận: “Suy diễn” và Quy Nạp Mối quan hệ giữa hai cách suy luận đó như thế nào ? Ph. Ăng-ghen Quy nạp và suy diễn gắn chặt