HÀM SỐ - LUYỆN THI ĐẠI HỌC

TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ðẠT “Vì chất lượng thật trong giáo dục” 727– 583 TRẦN CAO VÂN – ðÀ NẴNG *ðT: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 1- Ths. Nguyễn Văn Bảy MỤC LỤC CHUYÊN ðỀ 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số 2 Cực trị của hàm số 13 Phương trình tiếp tuyến………………………………………………………… 18 Tương giao giữa hai ñường……………………………………………………. 23 ðiểm thuộc ñồ thị thỏa mãn ñiều kiện cho trước…………………………… 30 CHUYÊN ðỀ 2 TÍCH PHÂN Tích phân………………………………………………………………………… 38 Diện tích hình phẳng……………………………………………………………… 56 Thể tích của khối tròn xoay……………………………………………………… 60 CHUYÊN ðỀ 3: BẤT ðẲNG THỨC Bất ñẳng thức Cô-si……………………………………………………………… 63 Bất ñẳng thức tam giác………………………………………………………… 70 Dùng tính ñơn ñiệu của hàm số ñể chứng minh bất ñẳng thức……………. 73 TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HĨA & LUYỆN THI THÀNH ðẠT “Vì chất lượng thật trong giáo dục” 727– 583 TRẦN CAO VÂN – ðÀ NẴNG *ðT: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 2- Ths. Nguyễn Văn Bảy § 1 KHO SẠT SỈÛ BIÃÚN THIÃN V V ÂÄƯ THË HM SÄÚ KHO SẠT SỈÛ BIÃÚN THIÃN V V ÂÄƯ THË HM SÄÚKHO SẠT SỈÛ BIÃÚN THIÃN V V ÂÄƯ THË HM SÄÚ KHO SẠT SỈÛ BIÃÚN THIÃN V V ÂÄƯ THË HM SÄÚ A. TỌM TÀÕT L THUÚT A. TỌM TÀÕT L THUÚTA. TỌM TÀÕT L THUÚT A. TỌM TÀÕT L THUÚT: :: : 1. Hm säú âa thỉïc: y = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0) y = ax 4 + bx 2 + c ( a ≠ 0) a) Táûp xạc âënh D = R. b) Kho sạt sỉû biãún thiãn: + Tênh cạc giåïi hản ca hm säú tải vä cỉûc. + Tênh y’. + Láûp bng biãún thiãn. + Kết luận các khoảng đơn điệu và các điểm cực trị của hàm số. c) Tçm âiãøm ún ca âäư thë hm säú d) V âäư thë hm säú : + Biểu diễn các điểm cực trị (nếu có) + Biểu diễn điểm uốn (nếu có) + Xác định các giao điểm với trục hồnh, trục tung (nếu có) + Vẽ đồ thị hàm số. Chú ý : + ðồ thị hàm số bậc ba ln có một điểm uốn và đó cũng chính là tâm đối xứng của đồ thị. + ðồ thị hm säú y = ax 4 + bx 2 + c cọ trủc âäúi xỉïng là Oy + Âäư thë hm trng phỉång hồûc cọ hai âiãøm ún hồûc khäng cọ âiãøm ún. 2. Hm phán thỉïc: Hm säú d cx bax y + + = a) Tìm táûp xạc âënh b) Kho sạt sỉû biãún thiãn: + Tçm cạc giåïi hản v tiãûm cáûn + Tênh y’. + Láûp bng biãún thiãn. + Kết luận các khoảng đơn điệu và các điểm cực trị của hàm số. c) V âäư thë: + Vẽ tiệm cận + Biểu diễn các điểm cực trị và giao điểm với các trục toạ độ (nếu có) + Vẽ đồ thị TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ðẠT “Vì chất lượng thật trong giáo dục” 727– 583 TRẦN CAO VÂN – ðÀ NẴNG *ðT: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 3- Ths. Nguyễn Văn Bảy Chuï yï: ðồ thị haìm säú phán thæïc ax b y cx d + = + nháûn giao âiãøm hai âæåìng tiãûm cáûn laìm tám âäúi xæïng và có một TCð và một TCN. III. Hình dạng ñồ thị các hàm số thường gặp: 1) ðồ thị hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ ≠≠ ≠ 0) 0 a > 0 a < ' 0 y = có hai nghiệm phân biệt ' 0 y = có nghiệm kép ' 0 y = vô nghiệm 2) ðồ thị hàm số y = ax 4 + bx 2 + c (a ≠ ≠≠ ≠ 0 ) 0 a > 0 a < ' 0 y = có ba nghiệm phân biệt ' 0 y = có duy nhất một nghiệm x = 0 TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ðẠT “Vì chất lượng thật trong giáo dục” 727– 583 TRẦN CAO VÂN – ðÀ NẴNG *ðT: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 4- Ths. Nguyễn Văn Bảy 3) ðồ thị hàm phân thức ( 0, 0) + = ≠ − ≠ + ax b y c ad bc cx d 0 ad bc − > 0 ad bc − < II. PHÉP BIẾN ðỔI ðỒ THỊ I. Từ ñồ thị (C) hàm số y = f(x) suy ra ñồ thị (C 1 ) của hàm số y = |f(x)|. Ta có: ( ) khi ( ) 0 | ( ) | ( ) khi ( ) 0 f x f x y f x f x f x ≥  = =  − ≤  Suy ra cách vẽ ñồ thị (C 1 ) như sau: + Giữ lại những ñiểm thuộc ñồ thị (C) thuộc trục hoành và nằm phía trên của trục hoành. + Lấy ñối xứng phần ñồ thị của (C) phía dưới trục hoành qua trục hoành. + Xóa phần ñồ thị nằm phía dưới trục hoành. ðồ thị (C) ðồ thị (C 1 ) II. Từ ñồ thị (C) của hàm số y = f(x) suy ra ñồ thị (C 2 ) của hàm số y = f(|x|). Ta có: + Hàm số y = f(|x|) là hàm số chẵn nên ñồ thị của hàm số nhận trục tung làm trục ñối xứng. + Khi 0 x ≥ ta có y = f(|x|) = f(x). Suy ra trên miền [ ) 0; +∞ ñồ thị (C 2 ) trùng với ñồ thị (C). Suy ra cách vẽ ñồ thị (C 1 ) như sau: + Giữ lại những thuộc ñồ thị của (C) thuộc trục tung và nằm bên phải trục tung và xóa ñi phần ñồ thị của (C) bên trái trục tung. + Lấy ñối xứng phần ñồ thị còn lại qua trục tung. TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ðẠT “Vì chất lượng thật trong giáo dục” 727– 583 TRẦN CAO VÂN – ðÀ NẴNG *ðT: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 5- Ths. Nguyễn Văn Bảy ðồ thị (C) ðồ thị (C 2 ) III. Từ ñồ thị (C) của hàm số ( ) ( 0) f x y c cx d = > + suy ra ñồ thị (C 3 ) của hàm số ( ) f x y cx d = + . Ta có: ( ) khi ( ) ( ) khi f x d x f x cx d c y f x d cx d x cx d c  > −   + = =  +  − < −  +  Suy ra cách vẽ ñồ thị (C 3 ) như sau: + Giữ lại phần ñồ thị (C) nằm bên phải tiệm cận ñứng. + Lấy ñối xứng phần ñồ thị của (C) nằm bên trái tiệm cận ñứng qua trục hoành và xóa ñi phần ñồ thị của (C) nằm bên trái tiệm cận ñứng. ðồ thị (C) ðồ thị (C 3 ) IV. Từ ñồ thị (C) của hàm số ( 0) ax b y a cx d + = > + suy ra ñồ thị (C 4 ) của hàm số ax b y cx d + = + . Ta có: TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ðẠT “Vì chất lượng thật trong giáo dục” 727– 583 TRẦN CAO VÂN – ðÀ NẴNG *ðT: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 6- Ths. Nguyễn Văn Bảy khi | | khi ax b b x ax b cx d a y ax b b cx d x cx d a +  > −  +  + = =  + +  − < −  +  Suy ra cách vẽ ñồ thị (C 3 ) như sau: + Giữ lại các ñiểm thuộc ñồ thị (C) thuộc ñường thẳng b x a = − và nằm bên phải ñường thẳng b x a = − . + Lấy ñối xứng phần ñồ thị của (C) bên trái ñường thẳng b x a = − qua trục hoành và xóa ñi phần ñồ thị của (C) bên trái ñường thẳng b x a = − . ðồ thị (C) ðồ thị (C 4 ) B. B. B. B. VÊ DUÛ MINH HOÜA VÊ DUÛ MINH HOÜAVÊ DUÛ MINH HOÜA VÊ DUÛ MINH HOÜA: :: : Ví dụ 1: 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số: y = x 3 – 3x 2 + 3 2) Xác ñịnh m ñể phương trình x 2 (|x| – 3) + 2m = 0 có 4 nghiệm phân biệt. Giải: • •• • TXð: D = R • •• • Sự biến thiên: + Giới hạn tại vô cực: +∞ = +∞→ y x lim và −∞ = −∞→ y x lim + Chiều biến thiên : y’ = 3x 2 – 6x y’ = 0 ⇔ 3x 2 – 6x = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 2 TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ðẠT “Vì chất lượng thật trong giáo dục” 727– 583 TRẦN CAO VÂN – ðÀ NẴNG *ðT: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 7- Ths. Nguyễn Văn Bảy Bảng biến thiên : x – ∞ 0 2 + ∞ y’ + 0 – 0 + y 3 + ∞ – ∞ –1 Hàm số ñồng biến trên khoảng ( – ∞ ; 0) và (0; + ∞ ) và nghịch biến trên khoảng (0; 2) Hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm x = 0, y Cð = 3 và ñạt cực tiểu tại ñiểm x = 2 và y CT = –1 • •• • ðiểm uốn: y’’ = 6x – 6 y’’ = 0 ⇔ x = 1 ⇒ ⇒⇒ ⇒ y = 1 Vậy I(1; 1) là ñiểm uốn của (C). • •• • ðồ thị: Nhận xét: ðồ thị hàm số nhận ñiểm uốn I(1; 1) là tâm ñối xứng 2) Ta có : x 2 (|x| – 3) + 2m = 0 ⇔ |x| 3 – 3x 2 + 3 = 3 – 2m (1) Xét hàm số y = |x| 3 – 3x 2 + 3 (C’) + Hàm số y = |x| 3 – 3x 2 + 3 là hàm số chẵn nên ñồ thị hàm số nhận trục tung làm trục ñối xứng. + Khi x ≥ 0, ta có y = |x| 3 – 3x 2 + 3 = x 3 – 3x 2 + 3. Do ñó trên miền [0; + ∞) ñồ thị (C’) và (C) trùng nhau. Từ ñó ta có ñồ thị (C’) như sau: TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ðẠT “Vì chất lượng thật trong giáo dục” 727– 583 TRẦN CAO VÂN – ðÀ NẴNG *ðT: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 8- Ths. Nguyễn Văn Bảy Số nghiệm của (1) bằng số giao ñiểm của (C’) với ñường thẳng y = 3 – 2m. Dựa vào ñồ thị ta có: Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt ⇔ – 1 < 3 – 2m < 3 ⇔ 0 < m < 2 Ví dụ 2: 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số: 12 4 1 24 ++−= xxy (C) 2) Xác ñịnh m ñể phương trình |x 4 – 8x 2 – 4| = 4m – 12 có 6 nghiệm phân biệt Giải: 1) TXð: D = R 2) Sự biến thiên: + Giới hạn tại vô cực: −∞ = +∞→ y x lim và −∞ = −∞→ y x lim + Chiều biến thiên : y’ = –x 3 + 4x y’ = 0 ⇔ –x 3 + 4x = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = ± 2 Bảng biến thiên : x – ∞ –2 0 2 + ∞ y’ – 0 + 0 – 0 + y 5 5 – ∞ 1 – ∞ Hàm số ñồng biến trên khoảng ( – ∞ ; –2) và (0; 2) và nghịch biến trên hai khoảng (–2; 0) và ( 2; + ∞ ) TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ðẠT “Vì chất lượng thật trong giáo dục” 727– 583 TRẦN CAO VÂN – ðÀ NẴNG *ðT: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 9- Ths. Nguyễn Văn Bảy Hàm số ñạt cực tiểu tại ñiểm x = 0, y CT = 1 và ñạt cực tiểu tại ñiểm x = ± 1 và y Cð = 5 3) ðiểm uốn: y’’ = 3x 2 – 4 y’’ = 0 ⇔ x = 3 4 ± ⇒ ⇒⇒ ⇒ y = 9 29 Vậy I( 3 4 ; 9 29 ) và I( 3 4 ; 9 29 ) là ñiểm uốn của (C). 4) ðồ thị: 2) Ta có |x 4 – 8x 2 – 4| = 4m – 12 ⇔ 312 4 1 24 −=++− mxx (1) Xét hàm số )'(12 4 1 24 Cxxy ++−= Dựa vào ñồ thị (C) ta có ñồ thị (C’) như sau: Số nghiệm của (1) bằng số giao ñiểm của (C’) với ñường thẳng y = m – 3. Dựa vào ñồ thị ta có: Phương trình (1) có sáu nghiệm phân biệt ⇔ 1 < m – 3 < 5 ⇔ 4 < m < 8 TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ðẠT “Vì chất lượng thật trong giáo dục” 727– 583 TRẦN CAO VÂN – ðÀ NẴNG *ðT: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 10- Ths. Nguyễn Văn Bảy Ví dụ 3: 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số y = 1 4 + + x x 2) Xác ñịnh m ñể phương trình )1(2 |1| 4 −= + + m x x có hai nghiệm phân biệt. Giải + TXð : D = R\{– 1} + Sự biến thiên: • Giới hạn, tiệm cận: +∞= + + + −→ 1 4 lim 1 x x x , −∞= + + − −→ 1 4 lim 1 x x x ⇒ TCð: x = – 1 1 1 4 lim = + + +∞→ x x x , 1 1 4 lim = + + −∞→ x x x ⇒ TCN: y = 1 • Chiều biến thiên: 2 )1( 3 ' − − = x y < 0, ∀ x ∈ D ⇒ Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng của tập xác ñịnh. Bảng biến thiên : x –∞ 1 +∞ y’ – – y 1 +∞ –∞ 1 + ðồ thị : [...]... a hàm s : • ði m A g i là đi m c c đ i c a đ th hàm s + xCð g i là đi m c c đ i c a hàm s + yCð g i là c c đ i c a hàm s hay giá tr c c đ i c a hàm s t i x = xCð • ði m B g i là đi m c c ti u c a đ th hàm s + xCT g i là đi m c c ti u c a hàm s + yCT g i là c c ti u c a hàm s hay giá tr c c ti u c a hàm s t i x = xCT II ði u ki n t n t i c c tr : 1 Hàm b c ba s y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d + ð o hàm. .. và tam giác OAB có di n tích b ng 4 Bi 11: Âãư thi âải hc khäúi B – 2008: Cho hàm s y = 4x3 − 6x2 + 1 (1) 1 Kh o sát s bi n thi n và v đ th c a hàm s (1) 2 Vi t phương trình ti p tuy n c a đ th hàm s (1), bi t r ng ti p tuy n đó đi qua đi m M(−1;−9) Bi 12: Âãư thi âải hc khäúi A – 2009: x+2 y= Cho hàm s 2x + 3 1 Kh o sát s bi n thi n và v đ th (C) c a hàm s đã cho 2 Vi t phương trình ti p tuy n c a... song våïi âỉåìng thàóng 5x – y = 0 Bi 9: Âãư thi âải hc khäúi B – 2006: x2 + x −1 Cho hàm s y = x + 2 1 Kh o sát s bi n thi n và v đ th (C) c a hàm s đã cho 2 Vi t phương trình ti p tuy n c a đ th (C) bi t ti p tuy n đó vng góc v i ti m c n xiên c a (C) Bi 10: Âãư thi âải hc khäúi D – 2007: 2x y= Cho hàm s x +1 1 Kh o sát s bi n thi n và v đ th (C) c a hàm s đã cho 2 Tìm t a đ đi m M thu c (C), bi... VÁÛN DỦNG: Bài 1: Cho hàm s y = x3 + 3mx2 + (3m + 18)x + m – 1 (Cm) Xác đ nh m đ : a) Hàm s có hai đi m c c tr b) Hàm s có hai đi m c c tr x1, x2 l n hơn 2 c) ð th hàm s có hai đi m c c tr n m v cùng m t phía so v i tr c tung x + 2x + m + 1 Bài 2: Cho hàm s : y = (1) x +1 Tìm m đ kho ng cách t đi m c c đ i c a đ th hàm s (1) đ n đư ng th ng (d): y = 3x + 4 b ng 2 10 Bài 3: Cho hàm s y = x3 – 3mx2 +... hai đi m c c tr n m v hai phía tr c hồnh 2 Bài 4: Cho hàm s y = 2x3 + 3(m – 1)x2 + 6(m – 2)x – 1 1.Kh o sát s bi n thi n và v đ th hàm s khi m = 2 2 Xác đ nh m đ đư ng th ng đi qua hai đi m c c tr c a (Cm) vng góc đư ng th ng (d) : y = x + 1 Bài 5: Cho hàm s y = x3 + mx2 + 7x + 3 (Cm) 1 Kh o sát s bi n thi n và v đ th hàm s khi m = 5 2 Tìm m đ hàm s có Cð và CT Vi t phương trình đư ng th ng đi qua... nghi m phân bi t: 2|x|3 – 9x2 +12 |x| = m Bi 7: (Âãư thi âải hc khäúi B – 2009) Cho hàm s y = 2x4 – 4x2 a) Kh o sát s bi n thi n và v đ th hàm s b) Xác đ nh m đ phương trình x2|x2 – 2| = m có 6 nghi m phân bi t 727– 583 TR N CAO VÂN – ðÀ N NG *ðT: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 1 2- Ths Nguy n Văn B y TRUNG TÂM B I DƯ NG VĂN HĨA & LUY N THI THÀNH ð T “Vì ch t lư ng th t trong giáo d c” § 2... a đ th hàm s là: y = px + q ax 2 + bx + c 2 Hàm phân th c y = mx + n – Tìm đi u ki n đ hàm s có c c tr – Tìm các đi m c c tr M, N c a đ th hàm s và vi t phương trình đư ng th ng (MN) Chú ý: Giá tr c c tr t i đi m x = x0 c a hàm s (1) là y0 = 2ax 0 + b m (Cơng th c này làm nháp và ch l y k t qu !) B VÊ DỦ MINH HA: 727– 583 TR N CAO VÂN – ðÀ N NG *ðT: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 1 4- Ths Nguy... LUY N THI THÀNH ð T “Vì ch t lư ng th t trong giáo d c” 2 Xác đ nh m đ đư ng th ng y = – x + m c t đ th hàm s y = x −1 t i x hai đi m phân bi t A, B sao cho AB = 4 Bi 9: (Âãư thi âải hc khäúi D – 2009) Cho hàm s y = x4 – (3m + 2)x2 + 3m (Cm) a) Kh o sát s bi n thi n và v đ th c a hàm s khi m = 0 b) Xác đ nh m đ đư ng th ng y = –1 c t (Cm) t i b n đi m phân bi t có hồnh đ nh hơn 2 Bi 10: (Âãư thi âải... CAO VÂN – ðÀ N NG *ðT: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 1 3- Ths Nguy n Văn B y TRUNG TÂM B I DƯ NG VĂN HĨA & LUY N THI THÀNH ð T (1) vô nghiệm ⇔ ⇔ ab ≥ 0 (1) có nghiệm kép bằng 0  ax 2 + bx + c 3 Hàm phân th c y = mx + n Ax 2 + Bx + C + ð o hàm có d ng: y ' = mx + n “Vì ch t lư ng th t trong giáo d c” ð t g(x) = Ax2 + Bx + C + Hàm s có c c tr ⇔ y’ = 0 có hai nghi m phân bi t ∆ > 0 n  ⇔... – ðÀ N NG *ðT: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 1 5- Ths Nguy n Văn B y TRUNG TÂM B I DƯ NG VĂN HĨA & LUY N THI THÀNH ð T Ví d 3: G i (Cm) là đ th c a hàm s “Vì ch t lư ng th t trong giáo d c” x 2 + 2mx + 1 − 3m 2 :y= (1) (m là x−m tham s ) Tìm m đ hàm s (1) có hai đi m c c tr n m v hai phía tr c tung Ta có y' = x2 − 2mx + m 2 − 1 ( x − m )2 Hàm s (1) có 2 c c tr n m v 2 phía tr c tung ⇔ y ' = . thị (C 1 ) II. Từ ñồ thị (C) của hàm số y = f(x) suy ra ñồ thị (C 2 ) của hàm số y = f(|x|). Ta có: + Hàm số y = f(|x|) là hàm số chẵn nên ñồ thị của hàm số nhận trục tung làm trục ñối xứng niệm cực trị của hàm số: • ðiểm A gọi là ñiểm cực ñại của ñồ thị hàm số. + x Cð gọi là ñiểm cực ñại của hàm số + y Cð gọi là cực ñại của hàm số hay giá trị cực ñại của hàm số tại x = . thị hàm số. + x CT gọi là ñiểm cực tiểu của hàm số + y CT gọi là cực tiểu của hàm số hay giá trị cực tiểu của hàm số tại x = x CT . II. ðiều kiện tồn tại cực trị: 1. Hàm bậc ba số