ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013 Môn : TOÁN; khối D I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số 32 2 3 ( 1) 1 (1) y x mx m x , m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. b) Tìm m để đường thẳng y = -x +1 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt. Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình sin3 cos2 sin 0 x x x Câu 3 (1,0 điểm) Giải phương trình 21 2 2 1 2log log (1 ) log ( 2 2) 2 x x x x Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân 1 2 2 0 ( 1) 1 x dx x Câu 5 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, 0 120BAD , M là trung điểm cạnh BC và 0 45SMA . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC). Câu 6 (1,0 điểm) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 1xy y . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 22 2 6 3 x y x y P xy x xy y . II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) : Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm 93 ; 22 M là trung điểm của cạnh AB, điểm H(-2; 4) và điểm I(-1; 1) lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tìm tọa độ điểm C. Câu 8.a (1,0 điểm)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(-1; -1; -2), B(0;1;1) và mặt phẳng (P): x + y + z - 1 =0. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên (P). Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, B và vuông góc với (P). Câu 9.a (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (1 )( ) 2 2 i z i z i . Tính môđun của số phức 2 21 zz w z B. Theo chương trình Nâng cao Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): 22 ( 1) ( 1) 4 xy và đường thẳng : 3 0 y . Tam giác MNP có trực tâm trùng với tâm của (C), các đỉnh N và P thuộc , đỉnh M và trung điểm của cạnh MN thuộc (C). Tìm tọa độ điểm P. Câu 8.b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(-1; 3; -2) và mặt phẳng (P): x – 2y – 2z + 5 = 0. Tính khoảng cách từ A đến (P). Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và song song với (P). Câu 9.b (1,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 2 3 3 () 1 xx fx x trên đoạn [0; 2] BÀI GIẢI Câu 1: a) m= 1, hàm số thành : y = 2x 3 – 3x 2 + 1. Tập xác định là R. y’ = 6x 2 – 6x; y’ = 0 x = 0 hay x = 1; y(0) = 1; y(1) = 0 lim x y và lim x y x 0 1 + y’ + 0 0 + y 1 + CĐ 0 CT Hàm số đồng biến trên (∞; 0) ; (1; +∞); hàm số nghịch biến trên (0; 1) Hàm số đạt cực đại tại x = 0; y(0) = 1; hàm số đạt cực tiểu tại x = 1; y(1) = 0 y" = 12x – 6; y” = 0 x = 1/2. Điểm uốn I (1/2; 1/2) Đồ thị : b) Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d): 32 2 0 2 3 0 ( ) 2 3 0 (1) x x mx mx g x x mx m (d) cắt (C) tại 3 điểm (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 2 9 8 0 8 0 9 (0) 0 mm mm gm Câu 2 : sin3 cos2 sin 0 x x x 2cos2 sin cos2 0 cos2 2sin 1 0 x x x x x cos2 0x hay 1 sin 2 x 42 xk hay 2 6 xk hay 7 2 6 xk ( kZ ) Câu 3 : Giải phương trình 21 2 2 1 2log log (1 ) log ( 2 2) 2 x x x x Đk : 0 < x < 1 Pt 2 2 1 1 1 (*) x x x Đặt 1tx (0< t < 1) (*) thành 4 2 4 3 2 1 1 5 6 5 1 0 t t t t t t t y x 0 1 1 2 2 11 5 6 0 (**) tt tt Đặt 1 2 u t u t (**) thành 2 5 4 0 4 u u u (vì u>2) Vậy 2 1 4 4 1 0 2 3 t t t t t vì (0 < t < 1) Nghĩa là 1 2 3 3 1 4 2 3x x x Câu 4 : 11 2 22 00 1 2 2 1 11 x x x I dx dx xx 11 1 2 2 0 00 2 1 ln 1 1 ln2 1 xdx dx x x Câu 5 Tam giác ABC là tam giác đều, tam giác SMA vuông cân tại A 3 2 a AM SA V= 3 1 3 3 3 2 2 4 aa aa Vì AD// BC nên d(D, (SBC))= d(A, (SBC))= 1 1 3 6 2 2 2 2 4 aa SM Câu 6. 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 4 4 x xy y y y y y 2 2 2 12 2 6( ) 3 61 3 xx x y x y yy P xy x x xy y xx y yy Đặt x t y , điều kiện 1 0 4 t 2 12 6( 1) 3 tt P t tt Xét 2 12 6( 1) 3 tt ft t tt với 1 0 4 t 2 3 2 3 7 1 () 21 23 t ft t tt 2 3 2 1 3 7 8 5 1 1 0; : , 4 27 2 21 23 t t t tt B S A D M C I 1 '( ) 0 0; 4 f t t f đồng biến trên 1 0; 4 1 7 10 5 () 4 30 f t f Vậy max 7 10 5 30 P khi 1 2 x , 2y Câu 7a. Đường thẳng AB đi qua M có vectơ pháp tuyến 1 (7; 1) 2 IM nên có phương trình: 7 33 0 xy . Gọi B(b; 7b + 33). M là trung điểm AB tọa độ A : 9 3 (7 33) 7 30 A A xb y b b (7 ;34 7 ) ( 2 ; 29 7 ) AH b b BH b b 2 9 20 0 54 bb b hay b TH1 : b = -5: B(-5; -2) và A (-4; 5) Phương trình AH là: 2 6 0 xy . Gọi C (6 - 2c;c) AH. Do 2 2 2 5 30 25 0 1 5 IB IC c c c c (loại vì trùng với điểm A). Vậy C(4; 1) TH2 : b = -4 : B(-4; 5) và A (-5; -2) Phương trình AH là: 2x – y + 8 = 0. Gọi C (c; 2c + 8) AH. Do 2 2 2 5 30 25 0 1 5IA IC c c c c (loại vì trùng với điểm B). Vậy C(-1; 6) Do đó C (4; 1) hay C (-1; 6). Câu 8a. Gọi d là đường thẳng qua A và vuông góc với (P) 1 1 2 : 1 1 1 x y z d Gọi H là hình chiếu của A trên (P) 2 2 1 ( ) ; ; 3 3 3 H d P H Gọi (Q) là mặt phẳng cần tìm thì (Q) đi qua A và có một vectơ pháp tuyến là () , ( 1;2; 1) P n AB n Vậy ( ): 2 1 0 Q x y z Câu 9a. (1 + i)(z – i) + 2z = 2i (3 + i)z = -1 + 3i 13 3 i zi i .Ta có: 22 2 1 2 1 13 z z i i wi zi 10w B. Theo chương trình Nâng cao Câu 7b. (C) có tâm I(1;1), R=2. Do ( , ) d I R tiếp xúc (C) tại T Do I là trực tâm tam giác PMN nên MI vuông góc 1 MI xx Mà M thuộc (C) nên M(1; -1) Gọi J là trung điểm MN suy ra IJ là đường trung bình của tam giác MTN 1 IJ yy I N P M O J T x y Mà J thuộc (C) nên J(3; 1) hay J(-1; 1) Nếu J(3;1) thì N(5;3) Gọi P(t;3) thuộc . Ta có 1 ( 1;3) NI MP t P Nếu J(-1;1) thì N(-3;3) Gọi P(t;3) thuộc . Ta có 3 (3;3) NI MP t P Câu 8b. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P): 1 6 4 5 2 , 3 1 4 4 d A P Gọi (Q) là mặt phẳng cần tìm (Q) đi qua A và có một vectơ pháp tuyến là 1; 2; 2 n (Q): x – 2y – 2z +3 = 0. Câu 9b. 2 2 2 4 6 () ( 1) xx fx x ( ) 0 1 f x x hay x = -3 (loại) f(0) = 3, f(2) = 5/3, f(1) = 1 Vì f liên tục trên [0; 2] nên [0;2] max ( ) 3fx và [0;2] min ( ) 1fx Trần Minh Thịnh, Trần Văn Toàn, Lưu Nam Phát, Lê Ngô Thiện (Trung tâm LTĐH Vĩnh Viễn – TP.HCM) . 1) 1 x dx x Câu 5 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, 0 120BAD , M là trung điểm cạnh BC và 0 45SMA . Tính theo a thể tích của khối. ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013 Môn : TOÁN; khối D I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số 32 2. 4 : 11 2 22 00 1 2 2 1 11 x x x I dx dx xx 11 1 2 2 0 00 2 1 ln 1 1 ln2 1 xdx dx x x Câu 5 Tam giác ABC là tam giác đều, tam giác SMA