ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013 Môn : TOÁN - Khối : A và A1 PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số 3 2 y x 3x 3mx 1 (1)= − + + − , với m là tham số thực a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 0 b) Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (0; + ∞ ) Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình 1 tan x 2 2 sin x 4 π + = + ÷ Câu 3 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình 4 4 2 2 1 1 2 2 ( 1) 6 1 0 + + − − + = + − + − + = x x y y x x y y y (x, y ∈ R). Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân 2 2 2 1 1 ln − = ∫ x I x dx x Câu 5 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, · 0 ABC 30 = , SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB). Câu 6 (1,0 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện 2 (a c)(b c) 4c+ + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3 2 2 3 3 32a 32b a b P (b 3c) (a 3c) c + = + − + + PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu 7.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc đường thẳng d : 2x y 5 0 + + = và A( 4;8) − . Gọi M là điểm đối xứng của B qua C, N là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng MD. Tìm tọa độ các điểm B và C, biết rằng N(5;-4). Câu 8.a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng x 6 y 1 z 2 : 3 2 1 − + + ∆ = = − − và điểm A(1;7;3). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với ∆ . Tìm tọa độ điểm M thuộc ∆ sao cho AM = 2 30 . Câu 9.a (1,0 điểm). Gọi S là tập hợp tất cả số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt được chọn từ các số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Xác định số phần tử của S. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để số được chọn là số chẵn. B. Theo chương trình Nâng cao Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng :x y 0 ∆ − = . Đường tròn (C) có bán kính R = 10 cắt ∆ tại hai điểm A và B sao cho AB = 4 2 . Tiếp tuyến của (C) tại A và B cắt nhau tại một điểm thuộc tia Oy. Viết phương trình đường tròn (C). Câu 8.b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x 3y z 11 0 + + − = và mặt cầu 2 2 2 (S): x y z 2x 4y 2z 8 0+ + − + − − = . Chứng minh (P) tiếp xúc với (S). Tìm tọa độ tiếp điểm của (P) và (S). Câu 9.b (1,0 điểm) Cho số phức z 1 3i= + . Viết dạng lượng giác của z. Tìm phần thực và phần ảo của số phức 5 w (1 i)z = + . BÀI GIẢI Câu 1: a) m= 0, hàm số thành : y = -x 3 + 3x 2 -1. Tập xác định là R. y’ = -3x 2 + 6x; y’ = 0 ⇔ x = 0 hay x = 2; y(0) = -1; y(2) = 3 lim x y →−∞ = +∞ và lim x y →+∞ = −∞ x −∞ 0 2 +∞ y’ − 0 + 0 − y +∞ 3 -1 −∞ Hàm số nghịch biến trên (−∞; 0) ; (2; +∞); hàm số đồng biến trên (0; 2) Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; y(0) =-1; hàm số đạt cực đại tại x = 2; y(2) = 3 y" = -6x + 6; y” = 0 ⇔ x = 1. Điểm uốn I (1; 1) Đồ thị : b. y’ = -3x 2 + 6x+3m, y’ = 0 ⇔ m= 2 2x x − =g(x) do đó yêu cầu bài toán ⇔ y’ ( ) 0, 0;x ≤ ∀ ∈ +∞ ⇔ m 2 2x x ≤ − ( ) 0;x ∀ ∈ +∞ ⇔ ( ) ( ) 2 0 min 2 , 0; x m x x x > ≤ − ∀ ∈ +∞ ⇔ ( ) 1 1m g ≤ − = Câu 2 : 1+tanx=2(sinx+cosx) ⇔ cosx+sinx = 2(sinx+cosx)cosx (hiển nhiên cosx=0 không là nghiệm) ⇔ sinx+cosx=0 hay cosx = 1 2 ⇔ tanx=-1 hay cosx = 1 2 ⇔ 2 , 4 3 x k hay x k k π π π π = − + = ± + ∈ ¢ Câu 3 : Đk 1 ≥ x ( ) 2 2 2 1 6 1 0 + − + − + = x y x y y ( ) 2 1 4 0 ⇔ + − − = x y y ( ) ( ) 2 4 1 * ⇔ = + − y x y Vậy: 0 ≥ y 4 4 1 1 2 + + − − + = x x y y ⇔ ( ) ( ) ( ) 4 4 4 4 1 1 1 1 1 1 ** + + − = + + + + − x x y y Đặt f(t) = 4 1 1t t+ + − thì f đồng biến trên [1, +∞) Nên (**) ⇔ f(x) = f(y 4 + 1) ⇔ x = y 4 + 1 Thế vào (*) ta có : 4y = (y 4 + y) 2 = y 8 + 2y 5 + y 2 ⇔ 7 4 0 1 2 4 y x y y y = → = + + = ⇔ 0 1 y y = = (vì g(y) = y 7 + 2y 4 + y đồng biến trên [0, +∞) Vậy (x; y) = (1; 0) hay (x; y) = (2; 1). Cách khác : Từ (*) ⇒ y ≥ 0 Xét 4 1 0x y − + = ⇔ x = 1 và y = 0 : thỏa hệ phương trình nhận nghiệm y x 2 -1 3 0 Xét 4 1 0x y − + > • 4 4 ( 1 2) ( 1 ) 0x y x y + − + + − − = ⇔ 4 4 2 4 4 1 1 0 ( 1 )( 1 ) 1 2 x y x y x y x y x y − − − − + = − + − + + + + ⇔ 4 2 4 4 1 1 ( 1) 0 ( 1 )( 1 ) 1 2 x y x y x y x y − − + = − + − + + + + ⇔ x = y 4 + 1 (do y > 0) Câu 4 : 2 2 2 1 1 ln x I xdx x − = ∫ Đặt t=lnx ( ) , , (1) 0, 2 ln 2 t dx dt x e t t x ⇒ = = = = ( ) ln2 0 t t I t e e dt − ⇒ = − ∫ Đặt u=t , t t du dt dv e e − ⇒ = = − , chọn t t v e e − = + ⇒ I = ln2 ln2 0 0 ( ) ( ) t t t t t e e e e dt − − + − + ∫ = 5ln 2 3 2 − Cách khác : Đặt u ln x = dx du x ⇒ = dv = 2 2 2 x 1 1 dx (1 )dx x x − = − 1 v x x ⇒ = + 2 2 1 1 1 1 dx I x ln x (x ) x x x ⇒ = + − + ÷ ∫ 2 1 5 1 ln 2 (1 )dx 2 x 2 = − + ∫ 2 1 5 1 ln 2 (x ) 2 x = − − 5 1 ln 2 (2 ) 2 2 = − − 5 3 ln 2 2 2 = − Câu 5. Gọi H là trung điểm BC thì SH ⊥ (ABC) và SH = 3 2 a Ta có tam giác ABC là nửa tam giác đều nên BC=a, 3 , 2 2 = = a a AC AB 3 1 1 3 3 3 2 2 2 2 16 a a a a V = = , Gọi I là trung điểm AB HI=a/4, 3 2 = a SH Vẽ HK ⊥ SI thì HK ⊥ (SAB), ta có 2 2 2 1 1 1 3 52 3 4 2 a HK HK a a = + ⇒ = Vậy d(C, SAB)= 2HK = 2 3 3 52 13 = a a Cách khác : Ta có SI 2 = 2 13 16 a . Vậy S ∆ SAB = 2 39 16 a ⇒ d(C, SAB)= 3 3 ( ) 13 V a dt SAB = ∆ Câu 6. Gỉa thiết ⇔ 1 1 4 a b c c + + = ÷ ÷ Đặt x = a c ; y = b c thì (x + 1)(y + 1) = 4 ⇔ S + P = 3 ; P = 3 – S S A B C H I P = 3 3 2 2 32 3 3 x y x y y x + − + ÷ ÷ + + ≥ 3 2 2 8 3 3 x y x y y x + − + ÷ + + = 3 2 3 2 8 3 9 2 S S P S S P + − − + + = 3 2 3 2(3 ) 8 3 (3 ) 9 2 S S S S S S + − − − + − + = 3 3 2 5 6 1 8 8 2 12 2 2 2 S S S S S S + − − − = − ÷ ÷ + = 3 ( 1) , 2 2 S S S− − ≥ P’ = 3 (S – 1) 2 – 1 2 > 0, ∀S ≥ 2 ⇒ P min = P (2) = 1 – 2 Dấu “=” xảy ra chẳng hạn khi x = y = 1. Câu 7a. C(t;-2t-5) Gọi I là trung điểm của AC, suy ra 4 2 3 ; 2 2 − + − + ÷ t t I Ta có: IN 2 = IA 2 , suy ra t =1 Tọa độ C(1;-7) B là điểm đối xứng của N qua AC. Dễ dàng tìm được B(-4;-7) Câu 8a. Ptmp (P) ⊥ ∆ có 1 pháp vectơ là (-3; -2; 1). Vậy ptmp (P) là : -3(x – 1) – 2(y – 7) + z – 3 = 0 ⇔ 3x + 2y – z – 14 = 0 M thuộc ∆ ⇔ M (6 -3t; -1 – 2t; -2 + t) YCBT ⇔ (5 – 3t) 2 + (-8 – 2t) 2 + (-5 + t) 2 = 120 ⇔ 14t 2 – 8t – 6 = 0 ⇔ t = 1 hay t = 3 7 − Vậy tọa độ điểm M là (3; -3; -1) hay ( 51 7 ; 1 7 − ; 17 7 − ). Câu 9a. Số các số tự nhiên chẵn có trong S là : 3.6.5=90 Số phần tử của S là : 5.6.7=210 Xác suất cần tìm là 90 : 210 =3/7 B. Theo chương trình Nâng cao Câu 7b. Cos(AIH) = 1 5 IH IA = ⇒ IH = 2 Vậy MH = MI – IH = 4 2 ; với M ∈ Oy MI ⊥ AB ⇒ MI : x + y + c = 0 ; M (0;-c) MH = d (M; ∆) = 2 c = 4 2 ⇒ c = 8 hay c =-8 • Với c = 8 : I (t; -t + 8) d (I; ∆) = (8 ) 2 2 t t IH − − = = ⇔ t = 3 hay t = 5 t = 3 ⇒ I (3; 5); t = 5 ⇒ I (5; 3) • Với c = -8 : I (t; -t - 8) d (I; ∆) = 2 ⇔ t = -3 hay t = -5 t = -3 ⇒ I (-3; -5); t = -5 ⇒ I (-5; -3) Vì I và M nằm 2 bên đường thẳng ∆ nên nhận I (5; 3); I (-5; -3) M A B I H ⇒ Pt 2 đường tròn cần tìm là : (x – 5) 2 + (y – 3) 2 = 10 hay (x + 5) 2 + (y + 3) 2 = 10. Câu 8b. (S) có tâm là I (1; -2; 1) và R 2 = 14. Khoảng cách từ tâm I đến mp (P) là : 2(1) 3( 2) 1 11 14 + − + − = 14 = R Vậy (P) tiếp xúc với (S). Pt (d) qua I và ⊥ ∆ : 1 2 1 2 3 1 x y z − + − = = , T ∈ (d) ⇒ T (1 + 2t; 3t – 2; 1 + t) T ∈ (P) ⇒ t = 1. Vậy T (3; 1 ; 2). Câu 9b. r = 1 3 + = 2; tgϕ = 3 , chọn ϕ = 3 π ⇒ dạng lượng giác của z là z = 2(cos sin ) 3 3 i π π + ⇒ z 5 = 5 5 1 3 32(cos sin ) 32( ) 3 3 2 2 i i π π + = − ⇒ w = 32(1 + i) 1 3 ( ) 2 2 i − = 1 3 1 3 32( ) 32 ( ) 2 2 2 2 i + + − Vậy phần thực của w là : 1 3 32( ) 2 2 + và phần ảo là 1 3 32( ) 2 2 − . . tam giác ABC là n a tam giác đều nên BC =a, 3 , 2 2 = = a a AC AB 3 1 1 3 3 3 2 2 2 2 16 a a a a V = = , Gọi I là trung điểm AB HI =a/ 4, 3 2 = a SH Vẽ HK ⊥ SI thì HK ⊥ (SAB), ta có 2. 1 ** + + − = + + + + − x x y y Đặt f(t) = 4 1 1t t+ + − thì f đồng biến trên [1, + ) Nên (**) ⇔ f(x) = f(y 4 + 1) ⇔ x = y 4 + 1 Thế vào (*) ta có : 4y = (y 4 + y) 2 = y 8 + 2y 5 + y 2 ⇔. phẳng (SAB). Câu 6 (1,0 điểm) Cho các số thực dương a, b, c th a mãn điều kiện 2 (a c)(b c) 4c+ + = . Tìm giá trị nhỏ nhất c a biểu thức 3 3 2 2 3 3 3 2a 32b a b P (b 3c) (a 3c) c + = + − + + PHẦN