de thi hsg 6-7-8

PHÒNG GIÁO DỤC QUẬN THANH KHÊ HƯỚNG DẪN CHẤM CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS PHAN ĐÌNH PHÙNG MÔN TOÁN - LỚP 6 Khoá ngày 10 tháng 4 năm 2008 ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1 ( 2,5 điểm ) a) 1,0 điểm S = 2.       +++ 32.29 3 11.8 3 8.5 3 5.2 3 0,25đ S = 2.       −++−+−+− 32 1 29 1 11 1 8 1 8 1 5 1 5 1 2 1 . 0,25đ S = 2.       − 32 1 2 1 = 32 30 0,25đ Vì 30 < 32 nên S < 1 0,25đ b) 1,5 điểm Có a a 1− = 1 - a 1 và b b 1+ = 1 + b 1 0,5đ * Nếu a > 0 và b > 0 thì a 1 > 0 và b 1 > 0 0,25đ ⇒ 1 - a 1 < 1 + b 1 hay a a 1− < b b 1+ 0,25đ * Nếu a < 0 và b < 0 thì a 1 < 0 và b 1 < 0 0,25đ ⇒ 1 - a 1 > 1 + b 1 hay a a 1− > b b 1+ 0,25đ Bài 2 ( 2,5 điểm ) a) 1,0 điểm Theo bài ta có x = - 99 + ( - 98 ) + + ( -11 ) + ( - 10 ) + 10 + 11 + + 98 + 99 0,25đ x = ( - 99 + 99 ) + ( - 98 + 98 ) + + ( -11 + 11 ) + ( - 10 + 10 ) 0,25đ x = 0 ⇒ x 2006 = 0 và y = - 1 ⇒ y 2007 = ( - 1 ) 2007 = - 1 0,25đ Do đó ta có A = 2009 . x 2006 - 2008 . y 2007 = 0 - 2008.( -1 ) = 2008 0,25đ b) 1,5 điểm Ta có 22) 42424242 33333333 303030 333333 2020 3333 12 33 .( 4 7 =+++− x ⇒ 22) 42 33 30 33 20 33 12 33 .( 4 7 =+++− x 0,25đ ⇒ 22) 42 1 30 1 20 1 12 1 .(33. 4 7 =+++− x 0,25đ ⇒ 22) 7 1 6 1 6 1 5 1 5 1 4 1 4 1 3 1 .(33. 4 7 =−+−+−+−− x 0,25đ ⇒ 22) 7 1 3 1 .(33. 4 7 =−− x ⇒ 22 21 4 .33. 4 7 =− x 0,5đ ⇒ -11.x = 22 ⇒ x = - 2 0,25đ Bài 3 ( 2,0 điểm ) Gọi phân số tối giản lúc đầu là b a . Nếu chỉ cộng mẫu số vào mẫu số ta được phân số b a bb a 2 = + ; phân số này nhỏ hơn phân số b a 2 lần 0,5đ Để b ba 2 + gấp 2 lần phân số lúc đầu thì a + b phải bằng 4 lần a 0,5đ ⇒ Mẫu số b phải gấp 3 lần tử số a 0,5đ Phân số tối giản thoả mãn điều kiện trên là 3 1 0,5đ Bài 4 ( 3,0 điểm ) m t’ a) 2,0 điểm . Xét đủ hai trường hợp : n * Khi tia On nằm giữa hai tia Ox và Om t + Vì tia On nằm giữa hai tia Om và Ox ⇒ xOn = a 0 - b 0 0,25đ x y O + Vì Ot là phân giác của xOn nên nOt = 2 1 xOn = 2 00 ba − 0,25đ + Số đo của mOt là : mOt = mOn + nOt = 2 00 0 ba b − + = 2 00 ba + 0,5đ * khi tia Om nằm giữa hai tia Ox và On m n t’ + Vì tia Om nằm giữa hai tia Ox và On t ⇒ xOn = xOm + mOn = a 0 + b 0 0,25đ + Vì Ot là phân giác của xOn nên xOt = 2 1 xOn = 2 00 ba + 0,25đ x O y + Số đo của mOt là : mOt = xOm - xOt = − 0 a 2 00 ba + = 2 00 ba − 0,5đ b) 1,0 điểm Trong cả hai trường hợp trên, ta đều có : tOn + nOt’ = xOt + t’Oy = 90 0 0,5đ Mà tOn = xOt ( do Ot là phân giác của xOn ) 0,25đ ⇒ nOt’ = t’Oy hay Ot’ là phân giác của nOy 0,25đ Chú ý : HS có thể giải theo cách khác ( không vượt quá chương trình toán 6 ) đúng vẫn cho điểm tối đa Hết PHÒNG GIÁO DỤC QUẬN THANH KHÊ HƯỚNG DẪN CHẤM CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS PHAN ĐÌNH PHÙNG MÔN TOÁN - LỚP 7 Khoá ngày 10 tháng 4 năm 2008 ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1 ( 2,5 điểm ) a) 1,25 điểm + Rút gọn vế phải có       −+       −+       − 1 93 92 1 62 61 31 30 1 0,25đ = 93 1 62 1 31 1 −− = 186 1 0,5đ + Vậy ta có 186 x = 186 1 ⇒ x = 1 0,25đ + Tính được x = ± 1 0,25đ b) 1,25 điểm + Viết tách x m + 3 = x 3 .x m và đặt nhân tử chung trong ngoặc vuông đúng 0,25đ + Rút gọn và đưa tới ( 2x - 1 ) m - x m = 0 0,25đ + Chuyển vế có ( 2x - 1 ) m = x m và xét : * Nếu m là số tự nhiên lẻ thì 2x - 1 = x ⇒ x = 1 0,25đ * Nếu m là số tự nhiên chẵn thì 2x - 1 = x và 2x - 1 = - x ⇒ x = 1 và x = 3 1 ( loại ) 0,25đ + Vậy x = 1 0,25đ Bài 2 ( 2,0 điểm ) a) 1,0 điểm + Đặt 3 2005 làm nhân tử chung đúng 0,25đ + Tính đúng tổng trong ngoặc bằng 121 0,25đ + Vì 121 chia hết cho 11 nên tích 3 2005 .121 cũng chia hết cho 11 0,5đ + Kết luận tổng các luỹ thừa đã cho chia hết cho 11 0,25đ b) 1,0 điểm + Theo t/c dãy tỉ số bằng nhau thì 2009 2008 5 4 4 3 3 2 2 1 x x x x x x x x x x ===== = 2009432 2008321 xxxx xxxx ++++ ++++ 0,5đ + Lập tích các tỉ số để có 2009 1 2008 2009432 2008321 x x xxxx xxxx =         ++++ ++++ 0,5đ Bài 3 ( 2,0 điểm ) + Gọi các chữ số của số đó là x ; y ; z với 1 ≤ x ≤ 9 ; 0 ≤ y ≤ 9 ; 0 ≤ z ≤ 9 0,25đ + Vì số đó chia hết cho 18 nên chia hết cho 9 ⇒ ( x + y + z ) chia hết cho 9 (1) 0,25đ + Theo điều kiện trên thì 1 ≤ x + y + z ≤ 27 (2) 0,25đ Từ (1) & (2) ⇒ x + y + z nhận các giá trị 9 ; 18 ; 27 (3) 0,25đ Theo bài thì 6321 zyxzyx ++ === ∈ N (4) ; từ (4) & (3) thì x + y + z = 18 0,25đ + Thay x + y + z = 18 vào (4) lần lượt có x = 3 ; y = 6 và z = 9 0,25đ + Do số cần tìm chia hết cho 18 nên chữ số tận cùng là 6 0,25đ Kết luận : Các số cần tìm là 396 hoặc 936 0,25đ Bài 4 ( 3,5 điểm ) a) 1,5 điểm A N K I M B H C + Vì I ∈ đường trung trực của MH nên IB là phân giác của MIH (1) + Vì K ∈ đường trung trực của NH nên KC là phân giác của HKN (2) + Do IB và KC cắt nhau tại A nên AH là phân giác trong tại đỉnh H của ∆IHK 1,0 điểm + Do AH ⊥ BC nên BC phải là phân giác góc ngoài tại đỉnh H của ∆IHK (3) Từ (2) & (3) ⇒ IC là phân giác trong tại đỉnh I của ∆IHK, kết hợp với (1) ⇒ IC ⊥ AB + Có HM ⊥ AB & IC ⊥ AB nên CI // HM * Chứng minh tương tự, ta cũng có BK ⊥ AC & HN ⊥ AC nên BK // HN 0,5đ b) 2,0 điểm * Trong trường hợp A = 90 0 , chứng minh như câu a ta có I và K trùng với A 1,0đ * Trong trường hợp A > 90 0 , Lập luận tương tự câu a ta cũng có kết quả tương tự 0,75đ Vậy trong trường hợp A ≥ 90 0 ta vẫn có CI // HM và BK // HN 0,25đ Chú ý : HS có thể giải theo cách khác ( không vượt quá chương trình toán 7 ) đúng vẫn cho điểm tối đa Hết PHÒNG GIÁO DỤC QUẬN THANH KHÊ HƯỚNG DẪN CHẤM CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS PHAN ĐÌNH PHÙNG MÔN TOÁN - LỚP 8 Khoá ngày 10 tháng 4 năm 2008 ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1 ( 2,0 điểm ) a) 1,0 điểm + Tập xác định x ≠ 1; x ≠ - 1 và x ≠ ± 2 0,25đ + Rút gọn P = x x 2 2 − 0,75đ b) 1,0 điểm + Viết P = x - x 2 0,25đ + Để P có giá trị nguyên thì x là ước của 2 ⇔ x = ± 1 ( loại ) 0,25đ x = ± 2 ( nhận ) 0,25đ + Từ đó các giá trị nguyên của P là 1 và - 1 0,25đ Bài 2 ( 2,5 điểm ) a) 1,0 điểm + Viết M = 2)1( 2 2 ++x 0,25đ + Vì ( x + 1 ) 2 ≥ 0 với mọi x ⇒ ( x + 1 ) 2 + 2 ≥ 2 với mọi x 0,25đ + Có M ≤ 1 2 2 = nên M có giá trị lớn nhất là M = 1 0,25đ + Dấu “ = ” xảy ra khi x = -1 0,25đ b) 1,5 điểm Gọi chiều rộng là x (m) thì chiều dài là x + 7 (m), điều kiện x > 0 0,25đ Theo định lý Pi-ta-go thì x 2 + ( x + 7 ) 2 = 13 2 0,25đ ⇔ x 2 + x 2 + 14x + 49 = 169 ⇔ 2x 2 + 14x - 120 = 0 ⇔ ( x + 12 )( 2x - 10 ) = 0 Vậy x = -12 ( loại ) hoặc x = 5 ( nhận ) 0,5đ Tính được diện tích của hình chữ nhật S = 60m 2 0,5đ Bài 3 ( 2,5 điểm ) a) 1,0 điểm + Chuyển vế và tách - ab+1 2 = - abab + − + 1 1 1 1 0,25đ + Nhóm, quy đồng mẫu của từng nhóm và thực hiện đúng phép cộng 0,25đ + Đặt nhân tử chung trên tử thức để có : )1)(1)(1( )1()( 22 2 abba abab +++ −− 0,25đ + Vì a ≥ 1 và b ≥ 1 nên phân thức trên ≥ 0 ; từ đó suy ra điều cần c/m 0,25đ b) 1,5 điểm + ĐKXĐ : x ≠ ± m 0,25đ + Quy đồng và khử mẫu 2 vế, đưa về PT ( m - 1 ).x = ( m - 1 )( 2m - 3 ) 0,25đ + Với m ≠ 1 ta có x = 2m -3 0,25đ + Để thoả mãn ĐKXĐ thì 2m - 3 ≠ m ⇔ m ≠ 3 và 2m - 3 ≠ - m ⇔ m ≠ 1 0,25đ Vậy khi m ≠ 1 và m ≠ 3 thì PT đã cho có 1 nghiệm x = 2m - 3 0,25đ + Với m = 1, PT có dạng 0.x = 0 ⇒ mọi số thực x ≠ ± 1 đều là nghiệm của PT 0,25đ Bài 4 ( 3,0 điểm ) a) 1,0 điểm ( Hình vẽ ) B + Có BIC > A ⇒ Vẽ BIN = A ( N ∈ BC ) 0,25đ ⇒ ∆ABI ∽ ∆IBN ( g-g ) 0,25đ ⇒ AB/ BI = BI/ BN ⇒ BI 2 = AB.BN 0,25đ M + Có BN < BC nên BI 2 < AB.BC 0.25đ K b) 1,5 điểm + Tính được HCB = 40 0 ⇒ HCK = BCK = 20 0 0,25đ H N + Tam giác vuông AHC có ACH = 30 0 ⇒ AH = CH/2 0,25đ (1) + Vì CK là phân giác HCB nên kết hợp với (1) A I C ⇒       =       = BK BC HK CH HK AH 2 1 2 1 0,25đ (2) + Vẽ KM ⊥ BC tại M thì ∆BMK ∽ ∆BAC ( g-g ) ⇒ BM AB BK BC = ⇔ BM AB BK BC 22 = 0,25đ Kết hợp với (2) ⇒ HK AH BC AB BK BC == 2 (3) ; vì BI là phân giác ABC nên BC AB IC IA = (4) 0,25đ + Từ (3) & (4) ⇒ HK AH IC IA = ⇒ HI // CK 0,25đ c) 0,5 điểm Do HI // CK nên CHI = HCK = 20 0 ( 2 góc so le trong ) 0,5đ Chú ý : HS có thể giải theo cách khác ( không vượt quá chương trình toán 8 ) đúng vẫn cho điểm tối đa Hết