S GD&T THANH HểA TRNG THPT BM SN KIM TRA CHT LNG I TUYN TON NM HC 2012-2013 Thi gian lm bi: 180 phỳt khụng k thi gian phỏt Cõu I (4 im) Cho hm s y = x 3 -3x +1 1. Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s. 2. Bin lun theo tham s m s nghim ca phng trỡnh: ( 2 m 1+ )x 3 = 3( 2 m 1+ )x + 4m . Cõu II (6 im): 1. Gii phng trỡnh: xxx 7cossin33cos = 2. Gii phng trỡnh: 2 6 2 2013 6 2 4 2 log 3 1 (1) 1 x x x x x + = + + 3. Gii h phng trỡnh: 2 2 2 2 1 5 2 2 ( 1) 2 x y x xy xy y y y x + + = + + + = + Cõu III (2 im) Tinh tich phõn: 3 2 0 cos cos sin ( ) 1 cos x x x I x dx x + + = + Cõu IV (6 im) 1. Trong mt phng ta Oxy, cho tam giỏc ABC cú trc tõm l H(3; 4 1 ), tõm ng trũn ngoi tip l K(0; 8 29 ), trung im cnh BC l M( 3; 2 5 ). Xỏc nh ta cỏc nh A, B, C; bit honh ca B ln hn honh ca C. 2. Trên ba tia Ox, O y, Oz vuụng gúc vi nhau tng ụi mt lần lợt lấy các điểm A, B, C sao cho OA = a, OB= b, OC = c. a) Tính diện tích tam giác ABC theo a, b, c. b) Cho A, B, C thay đổi trên các tia thỏa mãn: OA + OB + OC + AB + AC + BC = k, (vi k dng không đổi). Hãy xác định giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện OABC. 3. Cho t din ABCD cú ba cnh AB, AC, AD ụi mt vuụng gúc vi nhau. Gi M, N, P ln lt l trung im cỏc cnh BC, CD, DB. Gi s AM = a, AN = b, AP = c v h l khong cỏch t A n mt phng (MNP). Chng minh rng 2 2 2 2 9 2 h a b c + + . Cõu V (2 im): Cho ba s [ ] x, y,z 1;3 . Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: 36x 2y z P yz xz xy = + + . Ht SỞ GD&ĐT THANH HÓA TRƯỜNG THPT BỈM SƠN ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG ĐỘI TUYỂN TOÁN NĂM HỌC 2012-2013 C©u Nội dung §iÓm I 1. Kh¶o s¸t . . . (2,0 ®iÓm) 4,0 ®iÓm Với 1,m = − ta được hàm số 3 3 1.y x x= − + Tập xác định: R Giới hạn tại vô cực: lim , lim . x x y y →+∞ →−∞ = +∞ = −∞ Sự biến thiên: 2 ' 3 3 0 1.y x x= − = ⇔ = ± 0,5 ' 0 ( ; 1) (1; ).y x> ⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞ Hàm số đồng biến trên các khoảng ( 1)−∞ − và (1; )+∞ . ' 0 ( 1;1).y x< ⇔ ∈ − Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 1;1).− Điểm cực đại của đồ thị ( 1;3),− điểm cực tiểu của đồ thị (1; 1).− 0,5 Bảng biến thiên: 0,5 Đồ thị đi qua điểm (-2; -1) và (2; 3). Điểm uốn I(0; 1) là tâm đối xứng 0,5 2. Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình (2,0 điểm) Phương trình đã cho tương đương x 3 -3x = 1m m4 2 + ⇔ x 3 -3x +1 = 1m m4 2 + +1 Số nghiệm PT là số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng y = 1m m4 2 + +1 0,5 Do -2 ≤ 1m m4 2 + ≤ 2 với mọi m ∈ R ⇒ -1 ≤ 1m m4 2 + +1 ≤ 3 với mọi m ∈ R Ta có: 1m m4 2 + +1 = -1 ⇔ 1 4 2 +m m = -2 ⇔ m = -1; Và 1m m4 2 + +1 = 3 ⇔ 1m m4 2 + = 2 ⇔ m = 1 0,5 Suy ra: Với m ≠ ±1 đường thẳng y = 1m m4 2 + +1 có 3 điểm chung với đồ thị (C) Với m = ±1 đường thẳng y = 1m m4 2 + +1 có 2 điểm chung với đồ thị (C) Vậy: với m ≠ ±1 phương trình có ba nghiệm, với m = ±1 thì PT có hai nghiệm. 1,0 II 1. Giải phương trình lượng giác (2,0 điểm) x y' y −∞ −∞ +∞ +∞ 1 − 1 − 1 3 0 0 − + + -2 -1 -1 1 1 3 2 x y O 6,0 điểm Giải phơng trình: xxx 7cossin33cos = Biến đổi tơng đơng phơng trình đã cho 2 cos cos7 3 3 sin 0 2sin3 sin 4 3 3sin 0 2sin 4 sin (3 4sin ) 3 3 sin 0 sin 2sin 4 (1 2cos2 ) 3 3 0 sin 0 3 3 2sin 4 (1 2cos 2 ) 2 x x x x x x x x x x x x x x x x = = = + = = + = 1,0 Giải (1) ta đợc x= k với k Giải (2): Ta có (2) =+ xxx 4sin2cos4sin 2 33 2 33 4sin2cos2sin4 2 =+ xxx (3) áp dụng BĐT Côsi cho 3 số: 2 2cos , 2 2cos ,2sin 22 2 xx x ta đợc =1 2 2 2 2 2 3 cos 2 cos 2 (sin 2 cos 2 ) sin 2 3 2 2 4 x x x x x + + 33 2 2cos2sin2cos2sin 22 xxxx do đó 1 33 2 4sin2cos2sin4 2 ++ xxx < 2 33 suy ra (3) vô nghiệm nên (2) vô nghiệm. Kết luận: Phơng trình có nghiệm x=k với k 1,0 2. Gii phng trỡnh logarit (2,0 im) 2 6 2 2013 6 2 4 2 log 3 1 (1) 1 x x x x x + = + + Ta cú: 2 6 2 6 2 1 2 4 2 4 2 2013 (1) 1 2013 x x x x x x + + + + = + + 2 6 2 2 6 2 4 2 1 (4 2).2013 ( 1).2013 x x x x x x + + + + = + + (2) Ta cú hm s ( ) .2013 t f t t= luụn ng bin trờn R nờn (2) 124 262 ++=+ xxx 013 26 = xx . 1,0 Phng trỡnh )0(013013 2326 === xuuuxx (3) Lp bng bin thiờn ca hm s: 13)( 3 = uuuf suy ra phng trỡnh ny ch cú nghim trong (0,2) nờn t 2cos (0 ) 2 u = < < (3) 3 1 1 4cos 3cos cos3 2 2 9 = = = . S: 9 cos2 =x . 1,0 3, Gii h phng trỡnh (2,0 im) 0,5 Hệ phương trình tương đương với: 2 2 (1 ) ( 2 ) 5 (1 )( 2 2) 2 y x x y x y x y x + + − = + − − = (I) * Nếu 0x = thì hệ (I) 2 2 1 0 (1 )(2 2) 0 y y y + = ⇔ + − = vô nghiệm. * Nếu 0x ≠ thì chia cả hai vế của cả hai PT trong hệ cho x ta được hệ tương đương 2 2 2 2 1 1 ( 2 ) 5 ( 2 2) 3 1 1 ( 2 2) 2 ( 2 2) 2 y y x y x y x x y y x y x y x x + + + − = + − − = ⇔ + + − − = − − = - Đặt 2 1 , 2 2 y u v x y x + = = − − , ta được hệ phương trình: 3 1 2 2 u v u uv v + = = ⇔ = = hoặc 2 1 u v = = 0,5 - Với 2 2 2 1 2 4 1 1 1 2 2 4 2 3 0 2 2 2 y x y u x y x v x y y y x y + = + = = + = ⇒ ⇔ ⇔ = = + − − = − − = 2 4 2 1 3 1 x y x y y y = + = ⇔ ⇔ = − ∨ = = − 10 3 x y = ∨ = 0,5 - Với 2 2 2 1 2 3 2 1 2 2 1 2 3 4 5 0 2 2 1 y x y u y x x v x y y y x y + = + = + = = ⇒ ⇔ ⇔ = = + − − = − − = 2 3 1 13 1 5 1 5 x y x x y y y y = + = = ⇔ ⇔ ∨ = − ∨ = = − = - Vậy hệ ban đầu có 4 nghiệm ( ; ) (2; 1) , (10; 3) , (1; 1) , (13; 5)x y = − − . 0,5 III Tính tích phân (2,0 điểm) 2,0 điểm 3 2 0 cos cos sin ( ) 1 cos x x x I x dx x π + + = + ∫ 2 2 2 0 0 0 cos (1 cos ) sin .sin .cos . 1 cos 1 cos x x x x x x dx x x dx dx J K x x π π π + + = = + = + ÷ + + ∫ ∫ ∫ 0,5 - Tính 0 .cos .J x x dx π = ∫ . Đặt cos sin u x du dx dv xdx v x = = ⇒ = = 0 0 0 ( .sin ) sin . 0 cos 2J x x x dx x π π π ⇒ = − = + = − ∫ 0,5 - Tính 2 0 .sin 1 cos x x K dx x π = + ∫ Đặt x t dx dt π = − ⇒ = − Đổi cận : x 0 π t π 0 2 2 2 0 0 0 ( ).sin( ) ( ).sin ( ).sin 1 cos ( ) 1 cos 1 cos t t t t x x K dt dt dx t t x π π π π π π π π − − − − ⇒ = = = + − + + ∫ ∫ ∫ 2 2 2 0 0 0 ( ).sin sin . sin . 2 1 cos 1 cos 2 1 cos x x x x dx x dx K dx K x x x π π π π π π + − ⇒ = = ⇒ = + + + ∫ ∫ ∫ Đặt cos sin .t x dt x dx= ⇒ = − Đổi cận: x 0 π t 1 1 − 1 2 1 2 1 dt K t π − ⇒ = + ∫ , đặt 2 tan (1 tan )t u dt u du = ⇒ = + Đổi cận: t 1 − 1 u 4 π − 4 π 2 2 4 4 4 2 4 4 4 (1 tan ) . 2 1 tan 2 2 4 u du K du u u π π π π π π π π π π − − − + ⇒ = = = = + ∫ ∫ . Vậy 2 2 4 I π = − 1,0 IV 1. Xác định tọa độ các đỉnh A, B, C, biết rằng (2,0 điểm) 6,0 điểm Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua K thì AA’ là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Suy ra tứ giác BHCA’ là hình bình hành ⇒ M là trung điểm của A’H ⇒ KMAH .2 = = 2( ) 8 5 ; 2 5 − = (-5; 4 5 ). Từ đó xác định được: A( -2;1). 0.5 Ta có: R = KA = KB = KC = 8 697 là bán kính vòng tròn ngoại tiếp ABC. Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC: x 2 + (y – 8 29 ) 2 = 64 697 hay x 2 + y 2 – 4 29 y + 4 9 = 0. 0.5 Phương trình cạnh BC: 4x – y – 7 = 0. Tọa độ của B, C là hệ phương trình: =+−+ =−− 0 4 9 4 29 074 22 yyx yx . 0.5 == == ⇔ 1;2 5;3 yx yx . Vì x B > x C nên B(3;5), C(2;1). Vậy: A( - 2; 1), B(3;5) và C(2;1). 0.5 2. Trªn ba tia Ox, O y, Oz vuông góc…. H¹ OH vu«ng gãc víi BC ⇒ AH vu«ng gãc víi BC (®Þnh lÝ ba ®êng vu«ng gãc) Ta cã 22 22 2 22 22 222 111 cb cb OH cb cb cbOH + =⇒ + =+= L¹i cã 22 222222 22 22 2222 cb accbba cb cb aOHOAAH + ++ = + +=+= v BCà 2 =b 2 +c 2 Do ®ã: DiÖn tÝch tam gi¸c ABC bằng 222222 2 1 . 2 1 accbbaBCAH ++= 0,5 0,5 Tính gi¸ trÞ lín nhÊt cña thÓ tÝch tø diÖn OABC (1,0 điểm) Ta có abcSOAV OBCAOBC 6 1 . 3 1 == 0,25 Từ giả thiết cú 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 k a b c AB BC CA a b c 3 2( ) 3 3 2 3(1 2) 3(1 2) 3(1 2) a b b c c a abc k ab bc ca abc abc abc abc k abc = + + + + + = + + + + + + + + + + + + + = + + + 0,5 Từ đó 3 )21(3 6 1 + k V OABC Vậy max V= )21(3)21(3 6 1 3 + === + k cba k 0,25 Chng minh rng 2 2 2 2 9 2 h a b c+ + Tam giác ABC vuông tại A nên 2 BC AM = NP là đờng trung bình của BCD nên 2 BC NP = Suy ra AM = NP Tơng tự đối với các cặp cạnh đối diện còn lại Vy hai cnh i din bt k ca t din AMNP cú di bng nhau. 0,5 0,5 + Tứ diện ABCD vuông tại A nên ta chng minh đợc 2 2 2 2 1 1 1 1 h AB AC AD = + + (1) + Mặt khác 2 2 2 2 2 2 1 1 1 9 AB AC AD AB AC AD + + + + (2) + Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 AB AC AC AD AD AB AB AC AD + + + + + = + + = 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 BC CD DB a b c + + = + + (3) + Từ (1), (2) và (3) ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 1 9 9 2( ) 2 h a b c h a b c + + + + 0,25 0,25 0,25 0,25 V Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc P 1,0 im Xột hm s: [ ] 2 2 2 2 2 2 2 36x 2y z f (x) ,x 1;3 ,y,z l tham sụ yz zx xy 36 2y z 36x 2y z 36 2.9 9 f '(x) 0 yz zx x y x yz x yz = + + = = > f (x) ng bin trờn [ ] 1;3 nờn: 0,25 0,25 N P A B D C M [ ] 2 2 2 2 2 2 2 36 2y z f (x) f (1) g(y), y 1;3 ,z là tham sô yz z y 36 2 z 36 2y z 36 2*9 1 g '(y) 0 z y z y y z y z ≥ = + + = ∈ − + − − + − = − + − = ≤ < g(y) nghịch biến trên [ ] 1;3 [ ] 2 12 6 z 18 1 18 1 g(y) g(3) h(z),z 1;3 ;h '(z) 0. z z 3 3 9 3 z ⇒ ≥ = + + = ∈ = − + ≤ − + < ⇒ h(z) nghịch biến trên [ ] 1;3 18 h(z) h(3) 1 7 3 ⇒ ≥ = + = Vậy P 7 ≥ dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: x=1 và y = z = 3; Do đó MinP = 7 0,25 Chó ý: Häc sinh gi¶i c¸ch kh¸c nÕu ®óng vÉn cho ®iÓm tèi ®a. . ca biu thc: 36x 2y z P yz xz xy = + + . Ht SỞ GD&ĐT THANH HÓA TRƯỜNG THPT BỈM SƠN ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG ĐỘI TUYỂN TOÁN NĂM HỌC 2012-2013 C©u Nội dung §iÓm I 1. Kh¶o s¸t . . KIM TRA CHT LNG I TUYN TON NM HC 2012-2013 Thi gian lm bi: 180 phỳt khụng k thi gian phỏt Cõu I (4 im) Cho hm s y = x 3 -3x +1 1. Kho sỏt s bin thi n v v th (C) ca hm s. 2. Bin lun theo. 1.y x x= − + Tập xác định: R Giới hạn tại vô cực: lim , lim . x x y y →+∞ →−∞ = +∞ = −∞ Sự biến thi n: 2 ' 3 3 0 1.y x x= − = ⇔ = ± 0,5 ' 0 ( ; 1) (1; ).y x> ⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞ Hàm số