PHÒNG GD & ĐT NGHĨA ĐÀN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN VÒNG 2 NĂM HỌC 2009 - 2010 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MÔN: TOÁN 9 Thời gian làm bài 150 phút (Không kể thời gian giao đề) ___________________________________________________ Câu I. (6 điểm) 1. Chứng minh rằng: a Z∀ ∈ thì 3 2 6 7 12A a a a= − − + luôn chia hết cho 6. 2. Tìm số tự nhiên có 2 chữ số xy , biết rằng 2 2 xxyy xx yy = + 3. Cho a, b, c là các số hữu tỉ đôi một khác nhau. Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) P a b b c c a = + + − − − là số hữu tỉ. Câu II. (4 điểm) 1. Giải phương trình: 2 4 5 2 2 3x x x+ + = + 2. Giải hệ phương trình: 2 2 3 3 5 5 15 x y xy x y x y + − = + = + Câu III. (4 điểm) 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức B x y z = + + , biết rằng , ,x y z là số thực thoả mãn điều kiện: 2 2 2 3 1 2 x y yz z+ + = − . 2. Cho , ,a b c R ∈ và 2010abc = . Chứng minh rằng: 2010 1 2010 2010 2010 1 a b c ab a bc b ca c + + = + + + + + + Câu IV. (6 điểm) 1. Cho đường tròn (O; R), hai đường kính AH và DE. Qua H kẻ tiếp tuyến với (O) cắt AD và AE kéo dài lần lượt tại B và C. Gọi M; N thứ tự là trung điểm của BH và HC. a. Chứng minh DM, EN là các tiếp tuyến của (O; R). b. Chứng minh trực tâm I của tam giác AMN là trung điểm của OH. c. Hai đường kính AH và DE của (O; R) phải thỏa mãn điều kiện gì để diện tích tam giác AMN bé nhất? 2. Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R, C là một điểm thuộc đường tròn đó. Chứng minh rằng: Nếu ∆ ACO và ∆ BCO có bán kính đường tròn nội tiếp bằng nhau thì C là điểm chính giữa cung AB. Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm PHÒNG GD & ĐT NGHĨA ĐÀN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN VÒNG 2 NĂM HỌC 2009 - 2010 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN 9 Hướng dẫn chấm gồm 04 trang Câu Ý Nội dung Điểm Câu I 1 Chứng minh rằng: a Z∀ ∈ thì 3 2 6 7 12A a a a= − − + luôn chia hết cho 6. A = a 3 – 6a 2 – 7a + 12 A = a 3 – a – 6a 2 – 6a + 12 A = a(a – 1)(a + 1) – 6a 2 – 6a + 12 Do a(a – 1)(a + 1) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên a(a – 1)(a+1) 6 Mặt khác – 6a 2 – 6a + 12 6 nên A 6 1 đ 0,5 đ 0,5 đ 2 Tìm số tự nhiên có 2 chữ số xy , biết rằng 2 2 xxyy xx yy = + Điều kiện: 1 ≤ x, y ≤ 9 và x,y nguyên Ta có: 2 2 = + xxyy xx yy (1) ⇔ x.100.11 + y.11= x 2 .11 2 + y 2 .11 2 ⇔ 100x + y = 11(x 2 + y 2 ) => ( ) 11x y + M => x + y =11 ( với 2 ≤ x + y ≤ 18) => (x; y) chỉ có thể là các cặp số: (2; 9); (9; 2); (3; 8); (8; 3); (4; 7); (7; 4); (5; 6); (6; 5) Thay lần lượt từng cặp trên vào (1) ta thấy chỉ có x = 8 và y = 3 thỏa mãn. Vậy số cần tìm là 83. 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,75 đ 0,5 đ 3 Cho a, b, c là các số hữu tỉ đôi một khác nhau. Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) P a b b c c a = + + − − − là số hữu tỉ. Ta có: 2 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) P a b b c c a = + + − − − = 2 2 2 1 1 1 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )a b b c c a a b b c b c c a c a a b + + + + + = − − − − − − − − − 2 1 1 1 1 1 1 P a b b c c a a b b c c a = + + = + + ÷ − − − − − − Do , ,a b c là các số hữu tỉ đôi một khác nhau nên P Q∈ 1 đ 0,25 đ 0,25 đ Câu II 1 Giải phương trình: 2 4 5 2 2 3x x x+ + = + ĐK: 3 2 x ≥ − Ta có: 2 4 5 2 2 3x x x+ + = + ⇔ 2 2 1 2 3 2 2 3 1 0x x x x+ + + + − + + = 0,25 đ 1 đ 0,75 đ 2 2 1 0 ( 1) ( 2 3 1) 0 2 3 1 0 x x x x + = ⇔ + + + − = ⇔ + − = 1x ⇔ = − (TMĐK) Vậy: phương trình có nghiệm duy nhất x = -1 2 Giải hệ phương trình: 2 2 3 3 5 5 15 x y xy x y x y + − = + = + Ta có: 2 2 3 3 5 5 15 x y xy x y x y + − = + = + 2 2 2 2 5 ( )( ) 5 15 x y xy x y x y xy x y + − = ⇔ + + − = + 2 2 5 5( ) 5 15 x y xy x y x y + − = ⇔ + = + 2 2 2 2 5 5 5 5 5 15 0 x y xy x y xy x y x y y + − = + − = ⇔ ⇔ + = + = 2 5 5 0 0 x x y y = = ± ⇔ ⇔ = = Vậy hệ có 2 nghiệm là: ( 5;0 ) ; ( 5;0− ) 1 đ 0,75 đ 0,25 đ Câu III 1 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức B x y z = + + , biết rằng , ,x y z là số thực thoả mãn điều kiện: 2 2 2 3 1 2 x y yz z+ + = − . Ta có : y 2 + yz + z 2 = 1 - 2 3 2 x ⇔ 2y 2 + 2yz + 2z 2 = 2 – 3x 2 ⇔ 3x 2 + 2y 2 + 2yz + 2z 2 = 2 ( 1 ) ⇔ x 2 + y 2 + z 2 + 2xy + 2xz + 2yz + x 2 – 2xy + y 2 + x 2 – 2xz + z 2 = 2 ⇔ ( x + y + z ) 2 + ( x – y ) 2 + ( x – z ) 2 = 2 Do ( x – y ) 2 ≥ 0; ( x – z ) 2 ≥ 0 nên suy ra ( x + y + z ) 2 ≤ 2 Hay - 22 ≤++≤ zyx Dấu “ = ” xảy ra khi x – y = 0 và x – z = 0 hay x = y = z Thay vào ( 1 ) ta có: 9x 2 = 2; x = 3 2 ; x = - 3 2 Vậy Với: x = y = z = - 3 2 thì min B = - 2 Với: x = y = z = 3 2 thì max B = 2 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 2 Cho , ,a b c R ∈ và 2010abc = . Chứng minh rằng: 2010 1 2010 2010 2010 1 a b c ab a bc b ca c + + = + + + + + + Vì 2010abc = suy ra a; b; c khác 0. Thay 2010 abc = vào vế trái, ta có: . . 1 . (1 ) ( 1 ) 1 abc a b c ab abc a abc bc b abc ca c ab ac b c ab ac c b c ac ca c + + = + + + + + + + + = + + + + + + 0,5 đ 1 đ 0,25 đ 1 1 1 ac c ac c + + = = + + (Đpcm) 0,25 đ Câu IV K N C M B I H O E A D 0,25 đ 1a Ta có: ( vì tam giác DHO cân tại O). ( vì tam giác DMH cân tại M). Mà = 90 0 ⇒ = 90 0 ⇒ MD ⊥ OD ⇒ MD là tiếp tuyến của (O;R). Tương tự NE là tiếp tuyến của (O;R) (đpcm) 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 1b Kẻ MK ⊥ AN tại K và MK cắt AH tại I ⇒ I là trực tâm của AMN Ta chứng minh I là trung điểm của OH. Thật vậy: Do ABC vuông tại A, đường cao AH ⇒ AH 2 = BH.CH ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ BHO AHN (c.g.c) ⇒ Mà ( cùng phụ với ) ⇒ ⇒ OB//MI ⇒ I là trung điểm của OH. Vậy trực tâm I của tam giác AMN là trung điểm của OH (đpcm) 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 1c Ta có: S AMN = = R.MN = (BH + HC) .2 = R = R. = 2.R 2 0,5 đ 0,25 đ S AMN = 2R 2 BH = HC ABC vuông cân tại A AH là phân giác của · BAC cũng là phân giác của · DAE . Do đó: AD =AE hay tứ giác ADHE là hình vuông. Suy ra: AH ⊥ DE Vậy min S AMN = 2R 2 AH ⊥ DE (đpcm) 0,5 đ H 0,25 đ 2 Ta có: 1 1 . . 2 2 ACO S AO CH R CH ∆ = = 1 1 . . 2 2 BCO S BO CH R CH ∆ = = ACO BCO S S ∆ ∆ ⇒ = (1) Gọi r 1 ; r 2 lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ACO và BCO. Ta có: 1 1 1 1 . . . .( 2 ) 2 2 2 2 ACO S r AC r OA r OC r AC R ∆ = + + = + 1 1 1 1 . . . .( 2 ) 2 2 2 2 BCO S r BC r OB r OC r BC R ∆ = + + = + Vì ACO BCO S S ∆ ∆ = (theo (1)) nên 1 .( 2 ) 2 r AC R+ = 1 .( 2 ) 2 r BC R+ Suy ra: » » AC BC hay AC BC= = . Vậy C là điểm chính giưa của cung AB. 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Chú ý: Nếu thí sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. . GD & ĐT NGHĨA ĐÀN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN VÒNG 2 NĂM HỌC 2009 - 2010 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MÔN: TOÁN 9 Thời gian làm bài 150 phút (Không kể thời gian giao đề) ___________________________________________________ Câu. tiếp bằng nhau thì C là điểm chính giữa cung AB. Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm PHÒNG GD & ĐT NGHĨA ĐÀN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN VÒNG 2 NĂM HỌC 2009 - 2010 HƯỚNG DẪN