!"##$#% &'( )*" Thời gian làm bài: 120 phút +,-(2,5 điểm) 1) Cho biểu thức 4 2 x A x + = + Tính giá trị của biểu thức A khi x = 36. 2) Rút gọn biểu thức 4 16 : 4 4 2 x x B x x x + = + ÷ ÷ + − + (với x ≥ 0, x ≠ 16). 3) Với các biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức B(A – 1) là số nguyên. +,-(2,0 điểm) Giái bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Hai người cùng làm chung một công việc trong 12 5 giờ thì xong. Nếu mỗi người làm một mình thì thời gian để người thứ nhất hoàn thành công việc ít hơn người thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu giờ để xong công việc? +,-(1,5 điểm) 1) Giải hệ phương trình 2 1 2 6 2 1 x y x y + = − = 2) Cho phương trình : 2 2 (4 1) 3 2 0x m x m m− − + − = (ẩn x). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 thỏa mãn điều kiện 2 2 1 2 7x x+ = +,-(3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Bán kính CO vuông góc với AB, M là điểm bất kì trên cung nhỏ AC (M khác A và C), BM cắt AC tại H. Gọi K là hình chiếu của H trên AB. 1) Chứng minh tứ giác CBKH là tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh · · ACM ACK= 3) Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM. Chứng minh tam giác ECM là tam giác vuông cân tại C. 4) Gọi d là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại điểm A. Cho P là một điểm nằm trên d sao cho hai điểm P, C nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và .AP MB R MA = . Chứng minh đường thẳng PB đi qua trung điểm của đoạn thẳng HK. +,- (0,5 điểm) Với x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện x ≥ 2y, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = 2 2 x y xy + . HẾT ( Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm ) HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN THÀNH PHỐ HÀ NỘI NĂM HỌC 2012-2013 ./" 1) ĐKXĐ của biểu thức A là : x 0≥ Với x=36 ta có: A = 36 4 6 4 10 5 6 2 8 4 36 2 + + = = = + + 2) B= ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 4 2 4 4 16 2 . . 16 16 16 4 4 x x x x x x x x x x x x x − + + + − + + + ÷ = ÷ ÷ ÷ + − + + − B = 16 2 2 . 16 16 16 x x x x x x + + + = ÷ − + − 3) B(A-1) = 2 4 2 4 2 2 2 . 1 . . 16 16 16 2 2 2 x x x x x x x x x x x x + + + + − − + − = = ÷ ÷ ÷ ÷ − − − + + + B(A-1) = 2 16 Z x ∈ − . Vì x là số nguyên nên (x-16) là Ư(2) ={1,-1,2,-2} Suy ra các số nguyên x cần tìm là : {17,15,18,14} ./#" Gọi thời gian để người thứ nhất làm một mình xong công việc đó là x(h). Do thời gian để người thứ nhất làm một mình xong công việc đó ít hơn người thứ hai là 2h nên thời gian để người thứ hai làm một mình xong công việc đó : (x+2)h ĐK: x>0 Suy ra: Trong 1h người thứ nhất làm một mình xong 1 x công việc. Trong 1h người thứ hai làm một mình xong 1 2x + công việc. Trong 1h cả hai người làm chung xong ( 1 x + 1 ) 2x + công việc. Theo bài ra: Cả hai người làm chung thì 12 5 h xong công việc đó nên ta có PT: 2 12 1 1 1 1 5 2 2 5 1 5 2 2 12 2 12 x x x x x x x + + = ⇔ + = ⇔ = ÷ + + + 2 5 14 24 0x x⇔ − − = Giải PT được 2 nghiệm : x 1 =4 và x 2 =- 6 0 5 < (loại) Kết luận: thời gian để người thứ nhất làm một mình xong công việc đó là: 4h. thời gian để người thứ hai làm một mình xong công việc đó là:6h ./%"1) 2 1 4 2 2 4 6 1 6 2 1 1 x y x y x y x y + = + = ⇔ − = − = Cộng hai PT của hệ theo vế được: 10 5 2x x = ⇔ = Thay x=2 vào PT đầu của hệ đã cho được: 2 1 2 1 2 y y + = ⇔ = . KL: Hệ đã cho có nghiệm duy nhất x=2;y=1 2) Ta có: ( ) ( ) 2 2 2 4 1 4 3 2 4 1 0m m m m∆ = − − − = + > , với mọi m (vì 2 0m ≥ với mọi m nên 4m 2 +1 1 0≥ > với mọi m). Suy ra PT luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m. * Theo Vi-et ta có: 1 2 2 1 2 4 1 . 3 2 x x m x x m m + = − = − Suy ra: x 1 2 +x 2 2 =7 ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 7 5 2 3 0 3 5 m x x x x m m m = ⇔ + − = ⇔ − − = ⇔ = − KL: m=1 hoặc m=- 3 5 là các GT cần tìm. ./0" a) * Học sinh chứng minh được : · · 0 0 90 & 90BCH BKH= = Suy ra: · · 0 180BCH BKH+ = → Tứ giác CBKH nội tiếp đường tròn đk BH b) * Ta có : · · ACM ABM= (2 góc nt cùng chắn cung AM) Do Tứ giác CBKH nội tiếp đường tròn đường kính BH , suy ra: · · ACK ABM= ( 2 góc nt cùng chắn cung HK) Vậy: · · ACM ACK= c) Học sinh chứng minh được: · · · · ( . . ) &ACM BCE c g c CM CE ACM BCE MCE ACB∆ = ∆ → = = → = . Do · 0 90ACB = (góc nt chắn nửa đường tròn) nên · 0 90MCE = → ∆ ECM vuông cân tại C. 4) Vì (d) là tiếp tuyến, AB là đường kinh của đường tròn (O), nên d ⊥ AB tại A (bán kính vuông góc với tiếp tuyến tại tiếp điểm). Suy ra: · · · · PAM ABM OBM BMO= = = 1 + ) 2 3 Lại có: AP.MB=MA.R=MA.OM · · · ~ ( . . ) AP MO APM MOB c g c AMP MBO ABM MA MB ⇔ = → ∆ ∆ → = = = = · · · 0 90OMB PMO AMB→ = = → PM là tiếp tuyến của đường tròn (O). * Gọi Q là giao điểm của tia BM và (d). - Chứng minh được: PA=PQ(=PM) . - HK//AQ nên Áp dụng định lí ta lét có: IH IK IH IK PQ AP = → = (I là giao điểm của BP và HK) ./4" Cách 1: Do x, y dương và x 2 2 x y y ≥ ⇔ ≥ . Đặt t = 2 x y ≥ . Ta có: M = 2 1 1 1 3 4 4 t t t t t t t + = + = + + ÷ . Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương 1 , 4 t t . Kết hợp với t 2≥ ta có: M 1 3 5 2 . .2 4 4 2 t t ≥ + = ( Dấu = khi t=2) Kết luận: min M = 5 2 2 x y⇔ = Cách 2: M = 2 2 x y xy + với x, y là các số dương và x ≥ 2y Ta có 2 2 1 x(2 y) M 2(x y ) = + ≤ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x 4y x y 3y 4(x y ) 4(x y ) + + + = + + (Bất đẳng thức Cauchy) = 2 2 2 2 2 2 1 3y 1 3y 1 3 2 4 4(x y ) 4 4(4y y ) 4 20 5 + ≤ + = + = + + (Thay mẫu số bằng số nhỏ hơn). Suy ra Max 1 2 M 5 = khi x = 2y, do đó giá trị nhỏ nhất của M = 5 2 đạt được khi x = 2y. ( GV Dương Hồng Hạnh – THCS Khải Xuân – Thanh Ba – Phú Thọ ) . thức M = 2 2 x y xy + . HẾT ( Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm ) HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN THÀNH PHỐ HÀ NỘI NĂM HỌC 2012 -2013 ./" 1) ĐKXĐ của biểu thức. NỘI NĂM HỌC 2012 -2013 ./" 1) ĐKXĐ của biểu thức A là : x 0≥ Với x=36 ta có: A = 36 4 6 4 10 5 6 2 8 4 36 2 + + = = = + + 2) B= ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 4 2 4 4 16 2 . . 16 16 16 4 4 x x x x. 1 x y x y x y x y + = + = ⇔ − = − = Cộng hai PT của hệ theo vế được: 10 5 2x x = ⇔ = Thay x=2 vào PT đầu của hệ đã cho được: 2 1 2 1 2 y y + = ⇔ = . KL: Hệ đã cho có