UBND HUYỆN THẠCH THẤT PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 9 HUYỆN THẠCH THẤT NĂM HỌC 2012-2013 Môn: TOÁN Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm 01 trang) Câu 1: (2,0 điểm) 1. Rút gọn các biểu thức sau: a) 3 13 6 2 3 4 3 3 + + + − . b) x y y x x y xy x y − − + − với x >0; y >0; x ≠y. 2. Giải phương trình: 4 x 3 x 2 + = + . Câu 2: (2 điểm) Giải bài toán bằng các lập phương trình. Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B, ngay sau đó ngược dòng từ B về A hết tổng thời gian là 5 giờ . Biết quãng đường sông từ A đến B dài 60 km và vận tốc dòng nước là 5 km/h . Tính vận tốc thực của ca nô. Câu 3: (2 điểm) Cho hệ phương trình: ( ) m 1 x y 2 mx y m 1 − + = + = + (m là tham số). 1. Giải hệ phương trình khi m 2= ; 2. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x;y) thoả mãn: 2 x + y≤3. Câu 4: ( 3,5 điểm ) Cho đường tròn (O; R), BC là dây bất kì (BC< 2R). Kẻ các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại B và C chúng cắt nhau tại A. Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M (M khác B và C) rồi kẻ các đường vuông góc MI, MH, MK xuống các cạnh tương ứng BC, AC, AB. 1. Chứng minh tam giác ABC cân. 2. Chứng minh các tứ giác BIMK, CIMH là tứ giác nội tiếp . 3. Chứng minh MI 2 = MH.MK. 4. Gọi giao điểm của BM và IK là P, giao điểm của CM và IH là Q. Chứng minh PQ ⊥ MI. Câu 5: (0,5 điểm) Cho x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x 2 y 2 - 2xy + 2014. Hết UBND HUYỆN THẠCH THẤT PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẤN CHẤM KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 9 HUYỆN THẠCH THẤT NĂM HỌC 2012-2013 Môn: TOÁN Câu Nội dung Điểm 1. (1,5đ) a) 3 13 6 2 3 4 3 3 + + + − = ( ) ( ) 3 2 3 13 4 3 2 3 4 3 16 3 − + + + − − 0,25 = 6 3 3 4 3 2 3− + + + 0,25 = 10 0,25 b) x y y x x y xy x y − − + − với x >0; y >0; x ≠y = ( ) ( ) ( ) xy x y x y x y xy x y − − + + − 0,25 = x y x y− + + 0,25 = 2 x 0,25 2. (0,5đ) 4 x 3 x 2 + = + ĐK: x ≠ −2 Quy đồng khử mẫu ta được phương trình: x 2 + 2x + 4 = 3(x + 2) ⇔ x 2 − x − 2 = 0 0,25 Do a − b + c = 1 + 1 − 2 = 0 nên phương trình có 2 nghiệm: x = −1; x = 2 (thoả mãn) Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm x = −1; x = 2 0,25 Câu 2 2 điểm Gọi vận tốc thực của ca nô là x ( km/h) ( x>5) 0.25 Vận tốc xuôi dòng của ca nô là x + 5 (km/h) Vận tốc ngược dòng của ca nô là x - 5 (km/h) Thời gian ca nô đi xuôi dòng là : 60 5x + ( giờ) Thời gian ca nô đi xuôi dòng là : 60 5x − ( giờ) 0.5 Lập luận để ra PT: 60 5x + + 60 5x − = 5 0.5 => 60(x-5) +60(x+5) = 5(x 2 – 25) <=> 5 x 2 – 120 x – 125 = 0 x 1 = -1 ( không TMĐK) x 2 = 25 ( TMĐK) 0.5 Vậy vân tốc thực của ca nô là 25 km/h. 0.25 Câu 3 1. (1,0đ) Khi m = 2 ta có hệ phương trình: x y 2 2x y 3 + = + = 0,25 ⇔ x 1 x y 2 = + = 0,25 ⇔ x 1 y 1 = = 0,25 Vậy với m = 2 hệ phương trình có nghiệm duy nhất: x 1 y 1 = = 0,25 2. (1,0đ) Ta có hệ: ( ) m 1 x y 2 mx y m 1 − + = + = + ⇔ x m 1 2 mx y m 1 = + − + = + 0,25 ⇔ ( ) x m 1 y m m 1 m 1 = − = − − + + ⇔ 2 x m 1 y m 2m 1 = − = − + + 0,25 Vậy với mọi giá trị của m, hệ phương trình có nghiệm duy nhất: 2 x m 1 y m 2m 1 = − = − + + Khi đó: 2x + y = −m 2 + 4m − 1 = 3 − (m − 2) 2 ≤ 3 đúng ∀m vì (m − 2) 2 ≥ 0 Vậy với mọi giá trị của m, hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn 2x + y ≤ 3. 0,50 Câu 4 3,5 điểm Vẽ hình đến phần a) 1 Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có AB = AC => ∆ABC cân tại A. 2. Theo giả thiết MI ⊥ BC => ∠MIB = 90 0 ; MK ⊥ AB => ∠MKB = 90 0 . => ∠MIB + ∠MKB = 180 0 mà đây là hai góc đối => tứ giác BIMK nội tiếp * ( Chứng minh tứ giác CIMH nội tiếp tương tự tứ giác BIMK 0.25 0.5 1 3. Theo trên tứ giác BIMK nội tiếp => ∠KMI + ∠KBI = 180 0 ; tứ giác CHMI nội tiếp => ∠HMI + ∠HCI = 180 0 . mà ∠KBI = ∠HCI ( vì tam giác ABC cân tại A) => ∠KMI = ∠HMI (1). Theo trên tứ giác BIMK nội tiếp => ∠B 1 = ∠I 1 ( góc nội tiếp cùng chắn cung KM); tứ giác CHMI nội tiếp => ∠H 1 = ∠C 1 ( góc nội tiếp cùng chắn cung IM). Mà ∠B 1 = ∠C 1 ( = 1/2 sđ cung BM) => ∠I 1 = ∠H 1 (2). Từ (1) và (2) => ∆MKI ∆MIH => MI MK MH MI = => MI 2 = MH.MK 1 4. Theo trên ta có ∠I 1 = ∠C 1 ; cũng chứng minh tương tự ta có ∠I 2 = ∠B 2 mà ∠C 1 + ∠B 2 + ∠BMC = 180 0 => ∠I 1 + ∠I 2 + ∠BMC = 180 0 hay ∠PIQ + ∠PMQ = 180 0 mà đây là hai góc đối => tứ giác PMQI nội tiếp => ∠Q 1 = ∠I 1 mà ∠I 1 = ∠C 1 => ∠Q 1 = ∠C 1 => PQ // BC ( vì có hai góc đồng vị bằng nhau) . Theo giả thiết MI ⊥BC nên suy ra IM ⊥ PQ. 0.75 Câu 5 Biến đổi được 2 1 3 15 2013 4 2 16 A xy xy = − − + ÷ 0,5 điểm Với mọi x, y ta có: 2 1 0 4 xy − ≥ ÷ (1) và 2 2 1 ( ) 0 ( ) 4 4 x y x y xy xy − ≥ ⇔ + ≥ ⇔ ≤ (2) Do đó 3 15 9 0 2013 2013 8 16 16 A A − ≥ + + ⇔ ≥ Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi cả (1) và (2) là đẳng thức nên x=y=0,5. Vậy 0,5 9 min 2013 0,5 16 x A y = = ⇔ = 0,25 0,25 (Chú ý: Các cách làm đúng khác vẫn cho điểm tối đa) . THẤT PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 9 HUYỆN THẠCH THẤT NĂM HỌC 20 12- 2013 Môn: TOÁN Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm 01 trang) Câu 1: (2, 0 điểm) 1 x 0 ,25 2. (0,5đ) 4 x 3 x 2 + = + ĐK: x ≠ 2 Quy đồng khử mẫu ta được phương trình: x 2 + 2x + 4 = 3(x + 2) ⇔ x 2 − x − 2 = 0 0 ,25 Do a − b + c = 1 + 1 − 2 = 0 nên phương trình có 2 nghiệm: x. 2 1 3 15 20 13 4 2 16 A xy xy = − − + ÷ 0,5 điểm Với mọi x, y ta có: 2 1 0 4 xy − ≥ ÷ (1) và 2 2 1 ( ) 0 ( ) 4 4 x y x y xy xy − ≥ ⇔ + ≥ ⇔ ≤ (2) Do đó 3 15 9 0 20 13 20 13 8