TRƯỜNG THCS th¹ch kh«i THÀNH PHỐ THỪA THIÊN HUẾ THI THỬ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2013- 2014 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1: (3điểm) 1. Giải phương trình và hệ phương trình sau: a) 2 3 2 1 2 3 x x− + − = b) x 2 – 20x + 96 = 0 c) 2 3 3 2 8 x y x y − = + = 2. Xác định hàm số y = ax + b, biết đồ thị của hàm số là đường thẳng song song với đường thẳng y = – 2x + 1 và đi qua điểm M(1 ; – 3). Câu 2: (2 điểm) Cho biểu thức A = ( ) 2 1 1 1 : 1 1 x x x x x + + ÷ − − − ( với x > 0, x ≠ 1 ) a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị của A khi x = 4 - 2 3 c) Tìm giá trị của x để A < 1 2 Câu 3: (1 điểm) Hai người cùng làm chung một công việc thì sau 4 giờ 30 phút họ làm xong. Nếu một mình người thứ nhất làm trong 4 giờ, sau đó một mình người thứ hai làm trong 3 giờ thì cả hai người làm được 75% công việc. Hỏi nếu mỗi người làm một mình thì sau bao lâu sẽ xong công việc? (Biết rằng năng suất làm việc của mỗi người là không thay đổi). Câu 4: (3 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên đường tròn lấy điểm C sao cho AC < BC (C ≠ A). Tiếp tuyến Bx của đường tròn (O) cắt đường trung trực của BC tại D. Gọi F là giao điểm của DO và BC. a) Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn (O). b) Gọi E là giao điểm của AD với đường tròn (O) (với E ≠ A). Chứng minh DE.DA = DC 2 = DF.DO c) Gọi H là hình chiếu của C trên AB, I là giao điểm của AD và CH. Chứng minh I là trung điểm của CH. Câu 5: (1 điểm) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. Chứng minh rằng: P = ab bc ca 3 c ab a bc b ca 2 + + ≤ + + + . …………… Hết ……………… HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Ý Nội dung Điểm Câu 1 (3đ) 1) (2đ) a) 2 3 2 1 2 3 x x− + − = 3(2 3) 2( 2) 6 6 9 2 4 6 19 4 19 4 x x x x x x ⇔ − − + = ⇔ − − − = ⇔ = ⇔ = Vậy phương trình có nghiệm là 19 4 x = b) 2 20 96 0x x− + = có: 2 ' 10 1.96 100 96 4 0; ' 4 2∆ = + = − = > ∆ = = Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: 1 10 2 12 1 x + = = ; 2 10 2 8 1 x − = = Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x 1 = 12; x 2 = 8. c) 2 3 4 2 6 2 3 1 3 2 8 3 2 8 7 14 2 x y x y x y y x y x y x x − = − = − = = ⇔ ⇔ ⇔ + = + = = = Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y)= (2; 1) 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25 0,25 2) (1đ) + Vì đường thẳng y = ax + b song song với đường thẳng y = – 2x + 1 nên a = – 2 và b ≠ 1 + Vì đường thẳng đi qua điểm M nên thay tọa độ điểm M (1 ; – 3) và a = – 2 vào y = ax + b + Tìm được: b = – 1 ( thỏa mãn) Vậy hàm số cần tìm là y = -2x -1 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 2 (2đ) a) (0,75đ) b) (0,75đ) a) Với x > 0, x ≠ 1, ta có: A = ( ) 2 1 1 1 : 1 1 x x x x x + + ÷ − − − = 2 1 ( 1) . ( 1) ( 1) 1 x x x x x x x − + ÷ ÷ − − + = 2 1 ( 1) 1 . ( 1) 1 x x x x x x x + − − = ÷ ÷ − + Vậy A = 1x x − b) Với x = 4 - 2 3 (thỏa mãn đk x > 0, x ≠ 1) thay vào biểu thức A= 1x x − ta được A= 4 2 3 1 3 2 1 3 2 3 1 4 2 3 − − − − = = − − 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Vậy khi x = 4 - 2 3 thì 1- 3 A= 2 0,25đ c) (0,5đ) c) Để A 1 2 < 1 1 2 x x − ⇔ < 2 0 4 2 x x x − ⇔ < ⇒ < (vì 2 0x > ) Kết hợp với điều kiện x > 0, x ≠ 1 Vậy 0 < x < 1 và 1 < x < 4 thì A 1 2 < 0,25đ 0,25đ Câu 3 (1đ) Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc là x (h) . Gọi thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc là y (h) . ( Đk: x > 9 2 , y > 9 2 ) Trong 1 gìờ người thứ nhất làm được 1 x (công việc); người thứ hai làm được 1 y (công việc) ; cả hai người làm được 2 9 (công việc) nên ta có phương trình 1 1 2 9x y + = (1) Vì nếu một mình người thứ nhất làm trong 4 giờ,sau đó một mình người thứ hai làm trong 3 giờ thì cả hai người làm được 75% công việc nên 4 3 3 4x y + = (2) Từ (1) và (2) ta có hpt: 1 1 2 1 1 9 12 1 5 4 3 3 36 4 x y x y x y + = = ⇔ = + = 12 36 5 x y = ⇔ = (thoả mãn điều kiện ) Vậy người thứ nhất một mình làm xong công việc trong 12 giờ Người thứ hai một mình làm xong công việc trong 7giờ 12 phút. 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Câu 4 (3đ) Hình 0.25đ - Vẽ hình đúng, ghi GT, KL 0,25đ a) (0,75đ) a) Xét ΔBCD có DF là đường trung trực của BC nên CD = BD - c/m ΔOBD=ΔOCD(c.c.c) => · · OCD OBD= Mà · 0 OBD 90= · 0 OCD 90⇒ = mà C thuộc (O) Suy ra CD là tiếp tuyến của đường tròn (O) 0,25đ 0,25đ 0,25đ b) (1đ) b) - Vì BD là tiếp tuyến của (O) nên BD ⊥ OB => ΔABD vuông tại B Vì AB là đường kính của (O) nên AE ⊥ BE Áp dụng hệ thức lượng trong ΔABD ( · 0 ABD=90 ;BE ⊥ AD) ta có BD 2 = DE.DA Mà DB = CD nên CD 2 = DE.DA (1) - Áp dụng hệ thức lượng trong ΔOCD (có · 0 OCD=90 ; CF ⊥ OD) ta có CD 2 = DF.DO (2) Từ (1) và (2) suy ra DE.DA = DC 2 = DF.DO (Đpcm) 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ c) (1đ) c) Có CH //BD ( cùng vuông góc AB) => · · HCB=CBD (hai góc ở vị trí so le trong) mà ΔBCD cân tại D => · · CBD DCB= nên CB là tia phân giác của · HCD Do CA ⊥ CB => CA là tia phân giác góc ngoài đỉnh C của ΔICD AI CI = AD CD ⇒ (1) Trong ΔABD có HI // BD => AI HI = AD BD (2) Từ (1) và (2) => CI HI = CD BD mà CD=BD CI=HI⇒ ⇒ I là trung điểm của CH (ĐPCM) 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Câu 5 (1đ) Có: ( ) 2 1 .a b c c a b c c ac bc c + + = ⇒ = + + = + + ⇒ 2 ( ) ( )c ab ac bc c ab a c b c b c+ = + + + = + + + = ( )( )c a c b + + ⇒ ( )( ) 2 a b ab ab c a c b c ab c a c b + + + = ≤ + + + Tương tự: ( )( ); ( )( )a bc a b a c b ca b c b a + = + + + = + + ( )( ) 2 ( )( ) 2 b c bc bc a b a c a bc a b a c c a ca ca b c b a b ca b c b a + + + ⇒ = ≤ + + + + + + = ≤ + + + ⇒ P ≤ 2 a b b c c a c a c b a b a c b c b a + + + + + + + + + + + 0,25đ 0,25đ = 2 a c c b b a a c c b b a + + + + + + + + = 3 2 Dấu “=” xảy ra khi 1 3 a b c = = = Vậy P ≤ 1 3 (Đpcm) 0,25đ 0,25đ ( Chú ý: Nếu HS làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa) . TRƯỜNG THCS th¹ch kh«i THÀNH PHỐ THỪA THI N HUẾ THI THỬ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2013- 2014 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1: (3điểm) 1. Giải. = b) 2 20 96 0x x− + = có: 2 ' 10 1.96 100 96 4 0; ' 4 2∆ = + = − = > ∆ = = Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: 1 10 2 12 1 x + = = ; 2 10 2 8 1 x − = = Vậy phương trình có 2. nên a = – 2 và b ≠ 1 + Vì đường thẳng đi qua điểm M nên thay tọa độ điểm M (1 ; – 3) và a = – 2 vào y = ax + b + Tìm được: b = – 1 ( thỏa mãn) Vậy hàm số cần tìm là y = -2x -1 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 2 (2đ) a) (0,75đ) b) (0,75đ) a)