SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG THPT CỔ LOA THI THỬ ĐẠI HỌC - NĂM 2013 MÔN: TOÁN; KHỐI: A, A1, B, D Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 29-4-2013 I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2 điểm) Cho hàm số 1 ( ) 2 3 x y C x 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2. Biện luận số nghiệm của phương trình 1 2 3 x m x theo tham số m Câu II (1 điểm) Giải phương trình 2sin 7 2 sin 1 4 1 tan .tan 2 x x x x Câu III (1 điểm) Giải hệ phương trình 2 3 3 5 3 2 2 2 9 9 2 4 x y y x x x y y x x ,x y Câu IV (1 điểm) Tính tích phân 2 2 1 1 4 cos cos x x x x I dx x Câu V (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, 120 o BAD , tam giác SAB cân tại S nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 45 o . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD Câu VI (1 điểm) Cho các số thực ; ; x y z thỏa mãn điều kiện 1 x y z . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 2 2 2 P x xy y y yz z z zx x II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần A. Theo chương trình Chuẩn Câu VII.a (2 điểm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba đường thẳng 1 : 2 0 d x y , 2 : 1 0 d x y , 3 : 1 0 d x y . Lập phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng d 1 , tiếp xúc đường thẳng d 2 và cắt đường thẳng d 3 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho đoạn thẳng AB bằng 4 2 . 2. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai điểm 1;0;0 , 0; 1; 1 A B , mặt phẳng : 2 3 0 P x y z , đường thẳng 1 1 : 2 1 1 x y z d . Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho góc giữa hai mặt phẳng (ABM) và (P) bằng thỏa mãn 1 os 6 c CâuVIIIa (1 điểm) Cho n là số nguyên dương và 3 2 1 3 3( 1) n n C A n .Tìm phần ảo của số phức 1 . 1 n i z i i B. Theo chương trình Nâng cao Câu VII.b (2 điểm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tam giác ABC vuông tại A. Đỉnh A thuộc tia đối của tia Oy, cạnh 2 2 AB , B(2;1). Tìm tọa độ đỉnh C biết đường cao kẻ từ đỉnh A có độ dài bằng 6 26 13 2. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 012 zyx và hai điểm A(8;-7;4), B(-1;2;-2). Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho 2 2 2 MA MB nhỏ nhất Câu VIII.b (1 điểm) Giải bất phương trình: 2 2 2 .9 8 .3 18 9 16.3 8 .3 9 .9 2.9 x x x x x x x x x x x x Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: Số báo danh SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG THPT CỔ LOA THI THỬ ĐẠI HỌC - NĂM 2013 MÔN: TOÁN; KHỐI: A, A1, B, D Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 29-4-2013 Câu Đáp án Điểm I) PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH 1. (1 điểm) TXĐ : 3 \ 2 D . 2 1 ' 0, (2 3) y x D x Hàm số đồng biến trên các khoảng 3 3 ( ; ) và ( ; ) 2 2 , Hàm số không có cực trị. 0,25 Tiệm cận. 1 lim 2 x y tiệm cận ngang 1 2 y 3 3 2 2 lim ; lim x x y y Tiệm cận đứng 3 2 x 0,25 Bảng biến thiên: x 3 2 y’ + + y 1 2 1 2 0,25 Đồ thị: 0,25 2. (1 điểm) 1 1 2 3 * 2 3 x x m x m x (vì 3 2 x ) Gọi 1 ( ) 2 3 x f x P x 1 1 2 3 1 1 2 3 x khi x x f x x khi x x 0,25 Phần đồ thị (C) ứng với 1 x ta giữ nguyên. Phần đồ thị (C) ứng với 1 x lấy đối xứng qua trục Ox, gộp hai phần đồ thị trên ta được đồ thị (P) Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của đồ thị (P) và đường thẳng y m 0,25 I (2 điểm) Đồ thị Từ đồ thị ta có: +) 1 ;0 2 m : Phương trình vô nghiệm 0,5 +) 1 1 ; 0 ; 2 2 m : Phương trình có một nghiệm +) 1 0; 2 m : Phương trình có 2 nghiệm Điều kiện: cos 0, cos 0,tan .tan 1 2 2 x x x x 2sin 7 2 sin 1 4 1 tan .tan 2 x x x x 2sin sin cos 1 sin .sin 2 1 cos .cos 2 x x x x x x x 0,25 2sin .cos .cos 2sin .cos .cos 2 2 sin cos 1 sin cos 1 cos .cos sin .sin cos 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x 2 2sin cos sin cos 1 sin cos sin cos 2 x x x x x x x x 0,25 sin cos 1 sin cos 2 x x x x 1 sin sin 4 4 2 sin 2 4 x x VN 2 2 2 x k x k 0,25 II (1 điểm) Kết hợp với điều kiện phương trình đã cho vô nghiệm. 0,25 2 3 3 5 3 2 2 2 9 9 2 4 x y y x x x y y x x 3 3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 9 1 ( 1 0 ) 1 1 9 1 2 4 2 2 4 y x x x y x x x x y y x x y y x x 0,25 Từ (1) và (2) 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 4 9 3 6 12 8 3 3 1 y y y x x x y y y x x x 3 3 2 1 2 1 3 (*) y x y x y x 0,25 III (1 điểm) Thay (*) vào PT(2) ta có: 2 2 2 1 2 2 3 4 3 3 9 6 0 2 1 x y x x x x x x x y Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm 1; 2 và 2; 1 0,5 1 1 3 2 2 1 1 4 cos x x I dx x dx x . Tính 1 3 2 1 1 2 1 3 3 x A x dx 0,25 Tính 1 3 2 1 4 cos x x B dx x Đặt t x dt dx Đổi cận 1 1 x t ; 1 1 x t 0,25 3 2 1 1 1 3 2 3 2 1 1 1 4 4 4 os cos cos t t t t x x B dt dt dx B c t t x 0 B 0,25 IV (1 điểm) Vậy 2 3 I A B 0,25 Gọi H là trung điểm của AB SH AB mà SAB ABCD SH ABCD Có 0 0 120 60 BAD ABC ABC đều cạnh a. / / , CD CH CD AB AB CH CD SH CD SHC CD SC Có 0 , 45 SCD ABCD SCH SHC vuông cân tại C 3 2 a SH CH 0,25 3 . 1 1 3 3 . . . . . 3 3 2 2 4 S ABCD ABCD a a a V SH S a (đvdt) 0,25 CB CA CD a nên C là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD. Kẻ d đi qua C và song song với SH, SH ABCD nên d ABCD d là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD. 0,25 V (1 điểm) 2 2 3 4 4 a a SA SB a SAB đều Gọi O là tâm tam giác SAB. Kẻ đi qua O và song song với HC, HC SAB nên SAB là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB. d I I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABD Bán kính mặt cầu 2 2 2 2 2 2 4 4 3 3 13 IS . . 9 9 4 4 12 a a R SO OI SH HC a 0,25 Có: 2 2 2 2 2 3 3 , 4 4 x y x y x xy y x y x y 2 2 3 3 2 2 x xy y x y x y 0,25 Tương tự: 2 2 3 2 y yz z y z và 2 2 3 2 z zx x z x 0,25 VI (1 điểm) Ta có 3 3 P x y z . Vậy 1 3 3 Min P khi x y z 0,5 II) PHẦN RIÊNG (Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần) A) Theo chương trình chuẩn 1. (1 điểm) Gọi I là tâm đường tròn 1 ;2 I d I a a Kẻ IH AB H là trung điểm của AB Ta có: 2 , I d R d mà 3 2 2 2 2 , 4 I d AB R IH AH d 0,25 VII.a (2 điểm) 2 3 2 2 2 , , 4 I d I d AB d d 2 2 3 1 1 8 2 2 a a 2 2 9 6 1 2 1 16 a a a a 2 1 8 8 16 0 2 a a a a 0,25 Với 2 , 4 1 1; 2 , 2 I d a I R d . Phương trình đường tròn: 2 2 1 2 8 x y 0,25 Với 2 , 5 2 2;4 , 2 I d a I R d . Phương trình đường tròn: 2 2 25 2 4 2 x y 0,25 2. (1 điểm) 1 2 ;1 ; M d M t t t có 2 2 ;1 ; , 1; 1; 1 AM t t t AB Véctơ pháp tuyến mặt phẳng (ABM) là: 1 , 1; 2;3 n AM AB t t 0,25 Véctơ pháp tuyến mặt phẳng (P) là: 2 1;2;1 n Theo giả thiết ta có: 1 2 1 2 2 2 1 2 . 1 2 4 3 1 cos os , 6 . 1 4 1. 1 2 3 n n t t c n n n n t t 0,25 2 2 10 14 6. 2 t t t 2 2 2 10 14 6. 2 t t t 2 4 14 10 0 t t 1 5 2 t t 0,25 +) Với 1 1;2;1 t M +) Với 5 7 5 4; ; 2 2 2 t M 0,25 ĐK: , 2 n n Ta có: 3 2 1 3 3 1 n n C A n 1 ! ! 3 3 1 3! 2 ! 2 ! n n n n n 0,25 1 1 3 1 3 1 6 n n n n n n 2 18 18 n n n (vì 1 0 n ) 2 1 ( ) 17 18 0 18 ( / ) n l n n n t m 0,25 Ta có: 18 9 18 2 1 . . . 1 i z i i i i i i i 0,25 VIII.a (1 điểm) Vậy phần ảo của số phức z là -1 0,25 A) Theo chương trình Nâng cao 1. (1 điểm) Gọi 0; , 0 A a a . Có 2 3 ( ) 2 2 4 1 8 0; 1 1 ( / ) a l AB a A a t m 0,25 Đường thẳng AC đi qua 0; 1 A có véctơ pháp tuyến 2;2 : 1 0 AB AC x y ; 1 C t t , kẻ 6 26 , 13 AH BC AH 0,25 Ta có: 2 2 2 1 1 1 3 2 AC AH AB AC 2 2 18 3 t t t 0,25 +) Với 3 3; 4 t C +) Với 3 3;2 t C 0,25 2. (1 điểm) VII.b (2 điểm) Gọi I là điểm thỏa mãn: 2 0 2; 1;0 IA IB I 0,25 Có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 MA MB MI IA MI IB MI IA IB Vì IA, IB không đổi nên 2 2 2 MA MB nhỏ nhất MI nhỏ nhất M là hình chiếu vuông góc của I trên mặt phẳng (P). 0,25 Đường thẳng d đi qua I và vuông góc với mặt phẳng (P) phương trình 2 2 : 1 x t d y t z t 0,25 0;0; 1 d P M . Vậy 0;0; 1 M là điểm cần tìm. 0,25 2 2 2 2 3 2 8.3 2 9 2 0 x x x x x x x x 2 2 2 3 8.3 9 2 0 3 1 3 9 2 0 x x x x x x x x 0,25 2 3 9 2 0 x x x (vì 3 1 0 x x ) 2 2 3 9 0 (1) 2 0 3 9 0 (2) 2 0 x x x x x x 0,25 Giải (1): 2 (1) 2; ; 1 2; x x x Giải (2): 2 (2) 1;2 1;2 x x x 0,25 VIII.b (1 điểm) Từ (1) và (2) ta có tập nghiệm của phương trình đã cho là: 1;S 0,25 . & ĐÀO TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG THPT CỔ LOA THI THỬ ĐẠI HỌC - NĂM 2013 MÔN: TOÁN; KHỐI: A, A1, B, D Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 29-4-2013 I. PHẦN CHUNG. x Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: Số báo danh SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG THPT CỔ LOA THI THỬ ĐẠI HỌC - NĂM 2013 MÔN: TOÁN;. Tiệm cận đứng 3 2 x 0,25 Bảng biến thi n: x 3 2 y’ + + y 1 2 1 2 0,25 Đồ thị: 0,25 2.