bài toán biên của phương trình truyền nhiệt

chương 1 báo cáo bài toán biên của phương trình truyền nhiệt. Phương trình truyền nhiệt dasjlaksjgapghawkljdwiofhogewhaaw;lkgjawoiehtawklngas,.gnwaoiwutawegahsldkgnalsdgnaodgjwaiwa;gknamsdna;vbahnowiewgawgas;lkdgasgnw,and;ghươawiouioaghadlkgnawoegawgwal;keghawlekghawoieuwaetoiwahgds;lkgha;dhgoiwaeghadklghadlkghaskjghwiaugdklhhhhhhhhaa;doghs;g

 I)Giới thiệu  !!"# !$%&'(!)&*+,&-(,./012 !!"#!$3456(2!&-7'& (#!$%89: 3006 ;<$;=>?@(3>%6AB30060 C ;<$D/E0(/FE9&0G$ %,. /&-HD)IJ"!!!!"8 K L(0M&()I=@!N!;O/E()ICP )+!D,Q&-RC0 M,./(,&-/EBJ  7!!"#!$0 9:)& *+!:2(& 7!!"#!$ "-%2+-%8(S%2+-%2+-%? -3)+)&?6%)+%,8J-%9-% -%,*/9$,8%!)%&HA(,8%-JT0 )I!:U2(D&9:(V)I J!"8(W!$ 0/!X7 F0 W0Y+8 ;<$;=>"9+!0MQJ (9&)+D2R'!"T0Z;9[( 0\R)+9[#)+'R!$T"/& H2QR2!$TJD)&!$T$UH0 MQJJ9[)+,9[!"T,X9 D,D0M&(2!"T9&29D#]() ],%H)IQJR!"T"/UH0Y+ /J-(0GD;<$C 7@ %)I^ 7_J!9[(HH$ -U)+0)` 7R)+9[U<% a9]/RK)+&3A( ,8)6()+9[0  .2)Sự truyền nhiệt trên thanh đồng chất Mật độ năng lương nhiệt%;<$>N2H98;a< ,&ObHU`&>3#>cd>ce6 0F00&QJ  V?D8(2;T;(-H(/2QJ 0 e(x,t) = thermal energy density f)T=QJ2?D8(,XOg(2 0)J+D&(&(98;aR 0Y+!:2(&>(7U_J!,XJ(H 2Sg/2QJO`&!=0 Z0F0hU)+(&( 2<A Năng lượng nhiệt0>N2<A #?8>?8 >ij> 0F00M/2QJ (,XO  &(;2%OJ ;a;=8R/2Q( ,J0+%/2J(O0 j>(RA `3>%6HDk&(,XO &(9&H Heat energy = e(x,t)A∆x, &H,JRa<(bj> Sự bảo toàn năng lượng. MQJ&&'>>ij> O`&_^9&)+`&; Ra<3>(j>6(Q J'&; &a<0lQJ ;a; (,XO 9&H)T;a; J0mJX;K ! Tốc độ thay đổi nhiệt lượng theo thời gian = nhiệt lượng chạy qua biên mỗi đơn vị thời gian + nhiệt lượng được tạo ra bên trong trên một đơn vị thời gian G"J-(sự bảo toàn nhiệt lượng. GUa<A%2 OJ`&_;= &H!"J9]>(?0 Thông lượng nhiệt0M J& -H(XJ  Φ(x,t) = thông lượng nhiệt(Nhiệt lượng mỗi đơn vị thời gian chảy trên một đơn vị thể tích) Mn3>%6od*(J;?0MJ;  2 ?_Ra<(n3>%6bpn3>i%6b%XJ;= J 2?D8"U98a<0Mn3>%6qd( n3>i%6qd 0F0%J 2?_'>( QJ a<%&,J'>i0 Nhiệt năng.-OJ; & Q(x,t) = nhiệt lượng chảy trên một đơn vị thể tích trong một đơn vị thời gian m3>%6,XO<RA(OJ)&2? _(2,&;=m3>%6b0 Sự bảo toàn nhiệt lượng( trong lát cắt mỏng).2;  Q(9&QU(S2;2 0F0(,X8>;K?; &, ??,XO<RA0U,8'&(%C)I 8@EK;&'&(%0M/% &j>US)H8U',J \98a<;R;A0CX&=,((8 >3,XH2VA(&6(9&Hk&(k9&X7r30F06 ;=9c&X730F0F60\8U'(%%(?04&H# ?*R!"#!$ Sự bảo toàn nhiệt lượng( chính xác)0Y+;='&(R! ;&&(J,X^>U_J!<A0>`>N 2)@'&' 3#>c>c;60C)I`7 )+;&&(J&&'(0OJ;=%(H^ O9&J'; 3>c(>c;6(QJ) &(9&H3),>H;A=)b6  la,./>&X730F0s6,^!:2(&( ,X!(&>0  ,(;(=)3(` :60G(C,&8!"'&( _J@,>?%(9&HHJ;=2!"#!$0 1-U'&X730F0s6(28!"X_H 4&H 8!"(;=dU-(;]Eg/9UR_&!Kd0 G(C^,!&98!";=d04&HH 30F0s6%`&?/;&&(8!"%(9';R9' !"&X730F0t6030F0t6J!&_J! X_,H;( :0 l89:%qdUu>u;%XJn(2(QR>0 f?RH';U'3U,;q604&HJ;K @&'>c(>c;%R9#&!30F0t6 M2(9 0X/;=2RH7,& !;=/2QJ0ZB!";,2 iG"(2?E;R80 iZ$;=7R,(,X:D0f)T=v3>6(  :(cdU%]E0$7v3>6cdU->0HD7 ;=!7S'2D)&&v3Mv3d(v3>6( : S'@D"/)&&v3>6]90-(;&,& ((9&Hwd,v3>6(0G("[Ucd(9& HH(,XDUv3wd0l(&@@Qxdd(/EBH ;?T8>&!N!&)J,9]DQ JRF/,#2! &0G(yA)+_ R,9 3y-(X)6 c9 3J$D!&2?& JH6 O%#+3(?*69 R2/!: 2(&20l89:%JDQ2?,J# )I ,)&UJDQ#&]20l& H9 !:2(&2R/(2;(&!7'!0 3;(/!0F0)IDL(60X_U,&2;? '9 ,X!:2(&20 %T '&U@/,$?J, D(H 0l>"9+2X78>&- &H(!$RHDO#?8(?8 ,%9 )I!2(&>%c3>60&R S%&(_J!)I&9(=)0 +%$ $J/!&)(3z) ,6]2?=)>!>^0 Nhiệt năng0MQ&2a<A;=`3>%6bj>0 % HzJk&(JQJ$DQ2R[/#  2+3>%60\9 ,X!:2(&2% QJ 2?,J;=3>63>%60$U, /2,!3>6 !3>6c/2,3,J 2?D86 &?>O%HD(9&S(,XS9'0O ,JRa<A(!bj>0OQ V<A;= 3>63>%6!bj>%9&H `3>%6bj>c3>63>%6!bj>0 {=(CB8)+ ,;@Q(2 `3>%6c3>6!3>63>%630F0|6 Q 2?,J;=Q 2?,J (2?2_ 2/2,J3 ,  J    2?D86\/2Q;?&';A;=)T9:X7 30F0|6%?/;&SQJ%30F0W630F0t6%K( Định luật fourier 30F0x6(2!HF;%2 3>%6(XJ3J 2?98 2? _6n3>%60')&((&DJ}MH, $>"9+2;D7;D9~)+!:2R9yJ(& _20G$ CH<2(8R9y (CB; 1. M2(=)&2(&H,XH9y 0 2. MS')+ 2J#]H2 &>]H2! 3. Y+ (U3&]2/6H(  4. Y+)IOU@/,%,D,CH ])+ 20 •&`3x|€•€Wd6B#/s8 (H<';=X7 3HJ_+6 GJ;/v&`)+9[0K"()+; R 2g(2OR23(2(R>&_ ?6g30F0€6&XJ‚/U)+   23 2?29(60M2>z% (JC#30F0€60 >?)70Z)(&,Q9[R/ (J-()9[0+&=/, ,Q9[RCz,g!:2(&#&' /0+'(%9yURJ,K]2, 20M@/H)!9[,N0lU2J (#&'/)I((R>0Z@+&=, Q9[R$/,,K2,0  U9 )+!:2(&2_,X -&04&H&!$()9[^!: 2(&>0+_)T9:H(=)0 Phương trình nhiệt0`&?Ev&`30F0€6%(&! ;&&(J30F0x6%J!!") _*=SmBJ&U(!$,&;^( 23>%60l()%!%!:2(&/((R>0& _J!a;%%!% là hằng số, phương trình vi phân từng phần trở thành: f)TS;=d),&=)!!!"_ ( &H,(=)J-(29[(;= 30F0d6_J-(!%&HS ;=d(8(,XO0MJ;$/!(&2 V%30F0d6)IX7J&(%/8( J-()+,0M'J/E,&()+ &(zJ&7+0l/30F0d6zJ ;U !ƒ&,0l89:S2H3>%638 9:U&"X~6AB!,30F0€6 &2)_J!0 Điều kiện ban đầu0!"#!$X)+, RJ%30F0„630F0d6%('&(`&_0\! !"H'&('2D%?$ ;&S !!"U,;$0G/M`ƒ&)+O?8 R>R2''2!!";/F%c+0MH  '&(!F0l?;$;&S! !"#!$UF,;$%?8;$>(/;$0# @,H%!!"U,;$%HD& JD2R'`&U`&>0(JHU !!"R%&J2&0#! '&(2;%)I&H2,;$3…63_'cd6% 2;$0f?(,X!(=)%H!:2(&>04& HB()2R?2;$0 3>%d6cv3>6 M(BRD9+;&2)2,&_}; =)+!"!2;$()+O2`&! 30F0„630F0d60 %$;?'F_D>cd(>ce0M ,X;JH(,XD&J0,($!:2 (&'&(;/J &30F0„6(30F0d60)I 7 ,((&!$)0 1.3 Điều kiện biên \!%30F0„630F0d6%2,; 3{6($ 0G,8J!!:2(&/E'_D0_ ,?!:2(&/; &(; &(0GD &-!7'!%)#=B;X_;  &(%(,XO,D0 Quy định về nhiệt độ0&2)_J!2R%8 9:'>cd%&D>!>^2? 3d%6c3630W06 &H36(2R/7 UV0 fU'0&_J!,%HD?9y 7,X!2 \n36&U0G(U2,&'& ($ %%'>cd0G29J&'>cd030W0F6,XD 8!"'>U^;29'2?R>0l89: &?,; (&(&(3X,C;A †)+&(&‡60&_J!(,XH)+'; 0M '>cd G?/('R`ƒ&0\2!>CUA 203`0ˆ%,X,86%)H,X/(&9yy8J!0 l89:BKJ2!>CU,X,8'0M)I& ,A((H,X,80\X,8)IJ0Y+ `&(J-()+04&H,X,8)IH,K$ 0Z@"(2!7'!g2,X,8)IO`& ,&)&U08&%',8J!% J&(^/U)+ 2@(2 ; &(0G,; (J-(?/`ƒ&('0MH AB'>cd &H=)ZJ-()3-()60G ,;  )+,J!8R0MH; ‰3d%6q%(J_&('>cd04&H) ; (&_J!(("0GH(89&')&&9" &X730W0s63UZqd60\?3d%6o)IJ@ ,/0,D;9&!30W0s6(? 3d%6q0'>cd2; !)IH(,Š-=2;  !)I!:Q04&H!9'>cd030W0s6,X" [UE/(0&;(/!0W0;'!X7%&]2 ,%&?/('R`ƒ&'D>ce( &H(2; &('>ce0C/!7@9 )+,9@; ; 30W0s6(; ; !30W0t60 [...]... T(x,y,z,t) ở mọi chỗ trên biên, khi đó T là một hàm đã biết theo biến t tại mỗi điểm o biên Điều đó có thể là sự truyền dọc theo biên được quy định Thông thường, ta có biên ( hay một phần của biên) được cách nhiệt nó có nghĩa là không có dòng nhiệt tại phần này của biên Khi vecto thông lượng nhiệt là -∇u, nhiệt lượng truyền ra ngoài là đơn vị hướng ngoại của vecto thành phần của vecto truyền nhiệt, -∇u · , trong... suy ra vecto thông lượng nhiệt Φ tỉ lệ với độ dốc của nhiệt độ (∇u ): Biết như Định luật Fourier về truyền nhiệt, trong đó là tính dẫn nhiệt Do đó trong 3 chiều ∇u thay cho Phương trình nhiệt khi vecto thông lượng nhiệt ,(1.5.7), thay thế trong phương trình bảo toàn nhiệt năng,(1.5.6), vi phân từng phần của nhiệt độ bằng Trong trường hợp không có nguồn nhiệt (Q = 0) và hệ số nhiệt là hằng số, (1.5.8)... điều kiện biên xảy ra ở mỗi biên Điều này là không quan trọng nếu cả hai điều kiện đáp ứng được những điều kiện biên giống nhau Ví dụ, điều này hợp lí khi x = 0 tồn tại sự dao động của nhiệt độ u(0,t) = 100 – 25cost và với x = L, trở thành cách nhiệt 1.4 Trạng thái cân bằng nhiệt 1.4.1 Quy định về nhiệt độ Bây giờ chúng ta xây dựng một phương trình truyền nhiệt đơn giản,nhưng tiêu biểu Nếu hệ số nhiệt. .. thái cân bằng thỏa mãn Được gọi là phương trình Poisson Nếu,trong phép cộng, không có nguồn nhiệt ( Q=0) thì Phép biến đổi laplace của phân phối nhiệt độ bằng 0 Phương trình (1.5.14) được gọi là phương trình laplace Nó còn được gọi là phương trình thế, khi lực hút và lực tĩnh điện thế thỏa mãn (1.5.14) nếu không có nguồn nhiệt ta sẽ làm sang tỏ một số vấn đề về Phuong trình la place ở chương sau Vấn... nhiệt độ tăng nhanh nhất theo chiều của gradient Khi sự truyền nhiệt theo chiều giảm của nhiệt độ, vecto truyền nhiệt sẽ ngươc chiều với gradient nhiệt. Theo đó Khi | | bằng độ lớn của tỷ lệ thay đổi của u ( chiều của gradient) Hay nó còn gọi là định luật của Fourier về dẫn nhiệt Như vậy, trong ba chiều, gradient thay cho Một tính chất cơ bản khác của gradient là pháp tuyến ( vuông góc ) với mặt phẳng... lượng nhiệt và vecto bình thường Ta cần một sự diễn tả cho sự truyền nhiệt Trong vấn đề một chiều thông lượng nhiệt Φ hướng sang bên phải (Φ < 0 nghĩa là hướng sang bên trái ) Trong vấn đề 3D nhiệt truyền theo nhiều hướng và do đó thông lượng nhiệt là một vecto Φ Độ lớn của Φ số lượng nhiệt lượng truyền ra một đơn vị diện tích trong một đơn vị thời gian Tuy nhiên khi xét sự bảo tồn nhiệt lượng chỉ có nhiệt. .. thái ổn định) nhiệt độ và sự truyền nhiệt tại x = 0 1.4.6 Hai đầu thanh có độ dai L được cách nhiệt Được mắc vào một nguồn nhiệt ≠ 0 không đổi có nhiệt độ ban đầu u(x,0) = f(x) (a) Bằng toán học hãy chỉ ra không tồn tại sự phân phối nhiệt độ tại trạng thái cân bằng Giải thích ngắn gọn bằng vật lý (b) Tính tổng nhiệt năng trong thanh 1.4.7 Với vần đề truyền nhiệt, xác định sự phân phối nhiệt độ tại trạng... được gọi là độ khuếch tán nhiệt Từ định nghĩa , ta tính sự chênh lệnh độ dốc của u Biểu thức được định nghĩa là toán tử laplace của u Do đó trong trường hợp này Phương trình (1.5.11) thường được gọi là phương trình nhiệt hay phương trình khuếch tán trong không gian ba chiều Ký hiệu thường được dùng để nhấn mạnh ∇: Lưu ý rằng ∇u là ∇ hoạt động tại u, khi là một vecto chấm sản phẩm của ∇ với A Hơn nữa là... toàn nhiệt năng Tại mỗi điểm số lượng nhiệt năng truyền ra ngoài khoảng R trên một đơn vị diện tích trong một đơn vị thời gian là thành phần bên ngoài bình thường của vecto thong lượng nhiệt Tại điểm B trong hình 1.5.2 thành phần hướng ngoại của vecto thông lượng nhiệt là |Φ|cosθ = Φ· = Φ · Nếu vecto thông lượng hướng vào trong thì Φ · < 0 và nhiệt lượng truyền ra ngoài là âm Để tính tổng nhiệt lượng truyền. .. điều kiện biên và bất kì nguồn nhiệt nào phụ thuộc vào thời gian, điều này đúng rằng tồn tại cách giải trạng thái cân bằng cho phương trình nhiệt thỏa mãn điều kiện biên ổn định đã cho: Lưu ý rằng sự phân phối nhiệt độ ở trạng thái cân bằng u(x,y,z) thỏa mãn một phương trình vi phân từng phần khi nhiều hơn khoảng một chiều tham gia Trong trường hợp tính chất nhiệt không đổi, sự phân phối nhiệt độ ở . độ thay đổi nhiệt lượng theo thời gian = nhiệt lượng chạy qua biên mỗi đơn vị thời gian + nhiệt lượng được tạo ra bên trong trên một đơn vị thời gian G"J-(sự bảo toàn nhiệt lượng 7R)+9[U<% a9]/RK)+&3A( ,8)6()+9[0  .2)Sự truyền nhiệt trên thanh đồng chất Mật độ năng lương nhiệt% ;<$>N2H98;a< ,&ObHU`&>3#>cd>ce6. GUa<A%2 OJ`&_;= &H!"J9]>(?0 Thông lượng nhiệt0 M J& -H(XJ  Φ(x,t) = thông lượng nhiệt( Nhiệt lượng mỗi đơn vị thời gian chảy trên một