Bài giảng LOGIC TOÁN

[Type text] Bài ging LOGIC TOÁN (tóm tắt) Tác gi :  Ch (Ging viên khoa toán-i Hm tp HCM) “Đối với con người, kiến thức không quan trọng lắm. Để có kiến thức con người không cần đến trường đại học. Cái đó người ta có thể học từ sách. Giá trị của giáo dục đại học không nằm ở chỗ học thuộc lòng thật nhiều kiến thức mà ở chỗ tập luyện tư duy, cái mà người ta không bao giờ học được từ sách giáo khoa” An-be Anhxtanh ( Anbe Einstein) 1879-1955 Đề cương chi tiết 1. Thông tin chung v hc phn 1.1. Tên hc phn: Lô-gic Toán 1.2. Tên hc phn bng ting Anh: Mathematical Logic 1.3. Mã hc phn: (3) 1.4. Hc phn tiên quyt: - Các hc phn phc: Hình hc gii s tuyn tính 1, gii tích các hàm mt bin - Các hc phn phi h o: Giáo di hc m Toán hc , m tin hc và CNTT 1.7. S tín ch: 2 ; S tit 45 ( Lý thuyt : 30 , bài tp ; 15 ): [Type text] 1.8. Yêu cu phc v cho hc phn: máy chiu (Projector) 2. Tóm tt ni dung hc phn Cung cp cho sinh viên nhng kin thn, v logic , các qui tc suy lun, cu trúc logic ca các m toán hc ng minh  cn quan h và ánh x  th hc các môn hc khác . 3. Mc tiêu hc phn (10) 2.1. Mc tiêu kin thc: Sau khi hc xong hc phn này, sinh viên s: - Bit tìm cu trúc logic ca mt m - Bit s d m rng kin thc - Hiu rõ bn cht ca mt phép chng minh và nm vng nhng ng minh n . - Bit vn dng nhng quy tc suy lun trong chng minh - Ngoài ra : rèn luyn mt s  2.2. Mc xong hc phn này, sinh viên có kh  - Vn dc nhng kin thc    hc  tt c các môn hc và gii quyt nhng v ,nht ra trong sui hc và ging dy sau này . - Xây dc k hoch ng dng logic vào tt c các môn hc khác - Thc hic k hoch trên và  làm sáng t vic cn thit phn yu t logic trong quá trình son bài ging . Rc h hc tp , nghiên cu sau này . - ng xuyên rèn luyc sinh thông qua ging dy môn toán 4. Ni dung chi tit hc phn (11)  Logic 1.1. M và phép toán logic 1.2. Tp hp và phép toán tp hp 1.3. Hàm m [Type text] 1.4. Biu thc logic 1.5. Cu trúc logic 1.6. Chân lý và mâu thun 1.7. Suy lun h 1.8. Các quy tc suy lun (các lut logic mt chiu và 2 chiu ) 1.9. Các hình vuông logic 1.10. m 1.11. Chng minh 1.12. H logic  1.13. H  1.14. Bài toán chng minh, Bài toán kho sát, Bài toán tìm kim 1.15.   Quan h 1.1. Quan h 2 ngôi 1.2. Quan h th t 1.3. Quan h   Ánh x 2.1. Khái nim 2.2. Tích các ánh x 2.3. Các ánh x c bit 2.4. nh và to nh 2.5.  2.6. Tp ch s 2.7. H-các vô hn 2.8. Ánh x c 2.9. M rng và thu hp ánh x (sinh viên t c)  Lng ca tp hp 3.1. S a các tp hp 3.2. Khái niêm lng ca mt tp hp [Type text] 3.3. Phân loi tp hp theo lng 3.4. H  v Lý thuyt tp hp 3.5. Gii thiu H  v Lý thuyt các lp 3.6. Gii thiu Lý thuyt  6. Hc liu (13) 6.1. Giáo trình môn hc. Logic Toán- (2011), Tài lii b 6.2. Danh mc tài liu tham kho. [1]. Nhp môn Lý thuyt tp hp và logic-Phan Hu Chân & Trn Lâm Hách NXBGD-1977 [2].  Toán hc-u-Vin Toán-2006 [3].  Toán hc hu hn-Hoàng Chúng-NXBGD-1999 [4]. i s -Hoàng Xuân Sính-NXBGD-1997 [5]. Toán ri rc-Nguyn Hu Anh(GS-ph-D)-NXB-1999 [6]. Toán ri rc-Nguyn Dn Tô Thành-NXBGD-1997 [7]. Logic m và ng dng-B.Bouchon,Meunier,H Thung Thanh Hà [8].  6.3. Trang web có th s dng. [1]. http://www.scribd.com/doc/6687989/tu-duy-sang-tao [2]. (http://www.math.psu.edu/simpson/courses/math557/logic.pdf)\ [3]. http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_logic [4]. http://books.google.com.vn/books?id=GTr1aHN17EUC&printsec=frontcover&dq=Mathema tical+logic&source=bl&ots=zCt7u4_QYe&sig=5Tex8NZJjI_5xCZH-2T5NuI- l1U&hl=vi&ei=mEZQTN_HBZC9ccWStLcB&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=3 &ved=0CC4Q6AEwAg#v=onepage&q&f=false [5]. http://euclid.trentu.ca/math/sb/pcml/ [6]. http://www.math.umn.edu/~jodeit/course/ACaRA01.pdf [7]. Mathematical Logic-Stephen G.Simption-The Pennsylvania State University-2008 [Type text] [8]. http://www.scribd.com/doc/6687989/tu-duy-sang-tao [9]. Francis D. Reynolds, "Crackpot or Genius - A complet Guide to the Uncommon Art of Inventing". Barn&Noble 1993. ISBN 0760715963 [10]. Richard Platt, "Eureka! Great Inventions and How They Happened" Kingfisher Boston. 2003. ISBN 0753455803 [11]. Creativity is more than a trait: It's a relation [12]. Creativity Techniques [13]. A wiki for Creativity Techniques [14]. MindTools Essential skill for an exellent career [15]. VirtualSalt Creative Thinking Techniques Robert Harris [16]. Creative Thinking and Lateral Thinking techniques [17]. Thinking Ceatively [18]. EDWARD DE BONO - LATERAL THINKING & PARALLEL THINKING (TM) [19]. http://www.360-books.com/ebooks/book-store/ky-nang/lap-ban-do-tu-duy.html Mt s th thut tìm kim trên Internet  ng dn và tìm kim hãy vào trang : http://vi.wikipedia.org/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s% C3%A1ch/0760733074 ISBN 0753455803 t qu hc tp (14) Kim tra gia k : 30% Thi cui k : 70% ====================================  Mt s ký hiu : - m dt mt phép chng minh -  : Sao cho [Type text]   I. m 1. Khái nim c ht ta nhc li khái niêm m và các phép toán logic . Mt câu khnh có tính ch-sai c coi là mt m . Tính ch-sai  n tính cha mt câu nói . Nhng câu sai s c coi là m còn nh ràng hoc không có tính ch-sai s c coi là m . Ta s ký hiu các m là Nu A là mt m t : A = 0 . Hai s c gi là các giá tr chân lý ca m . 2. Phép toán logic Nu ta ni 2 m ( tc là 2 câu ) bi t  có mt câu ghép , t mc gi là m h tuy   a 2 m và ký hiu A  B ( A  B , A  B , A  ng thi ta bo c hin mt phép toán logic t 2 m  c mt m c mt m mi gi là m ph nh ca nó . Ngoài ra ta còn mt phép toán logic gi là tuyn loi ( hay tuyn chc A hoc c ký hiu là A  B , hay A+B Cho 2 m m A,B ta có bng giá tr chân lý ca các m : A  B , A  B , A  B , A  B , A   II. Hàm m 1. Tp hp Ký hiu A B          Tên gi M Ph nh M Hi M Tuyn M Kéo theo M  M Tuyn loi Cu to Không phi A A và B A hoc B A thì B  i B Hoc A hoc B Giá 1 1 0 1 1 1 1 0 tr 1 0 0 0 1 0 0 1 chân 0 1 1 0 1 1 0 1 lý 0 0 1 0 0 1 1 0 [Type text] i sng hàng ta hay dùng các t , bó , nhóm , tp th i ta s dng mt t mi là tp h có th thay th cho các t trên . Chng h p hp nh hiu : mi khi góp nht mt s  c mt tp hp . Mc gi là mt phn t ca tp hp . (*) Cho A là mt tp hp . Nu x là mt phn t ca tp hp A thì ta vit : x  c là x thuc A ) . Nu x không phi là mt phn t ca tp hp A thì ta vit : x  c là x không thuc A) . Các tp hc ký hiu bi các ch cái vin t cng c ký hiu bi các ch cái vi Ví d : khi góp nht 3 ch u tiên a,b,c (trong bng ch c mt tp hp mà ta có th gi là tp hp ba ch u tiên và ta có th ký hiu tp hp này là E . Ta có a  E và d  E , e   ng có 2 cách cho mt tp hp : Cách th nht là lit kê : tp E  trên có th n t c lit kê trong du { } , 2 phn t c vit cách nhau bi du phy ) Cách th hai là cho tính cha các phn t ca tp hp . Chng hn tp hp E  trên có th t trong 3 ch u tiên } . Chú ý rng trong c u s dng du ngoc nh biu th tp hp . Tp hp không có phn t c gi là tp rc ký hiu là Ø . Tp hc gi là mt tp hp con ca tp hp B nu và ch nu mi phn t ca tâp hu thuc tp h ch rng A là tp hp con ca B ta s ký hiu A  B . Tp hc gi là bng tp hp B nu và ch nu A  B và B  A , ta vit A=B . Nu A  B và A  B thì ta s dng ký hiu A  B . Rõ ràng ta có Ø  A vi mi vi mi tp hp A . 2. -các ca các tp hp Cho 2 tp hp A và B . Tp hp các cp có th t (a,b) vi a  A và b  B và ch các c c gi là tp h-các ca 2 tp hp A và B, ký hiu AxB. Có th mô t tp h-các AxB bng cách cho tính ch AxB={ x=(a,b) | a  A và b  B } (ch  c thay bng du phy cho gn ) -các nhiu tp h . Chng h-các 3 tp h  A , b  B,c Ví d : Vi E={ a,b,c} và F={ c,d} ta s có : [Type text] ExF={ (a,c) , (a,d) , (b,c) , (b,d) , (c,c) , (c,d) } 3. Khái nim hàm m m tp hp , m hàm m là mt khái nic hình thành mt cách t nhiên mà trong toán hi ta gi là khái nim nguyên thu mt hàm m n bin ( n là mt s t c) là mt câu có tính cht -sai ph thuc vào n ch i là bin ( nói chung : ch dùng thay cho phn t ca tp hc gi là bii bin thuc mt tp h gi là minh ca bi -các ca các minh ca các bic gi là minh ca hàm m . Mt hàm mnh  ch  rõ minh cnh thì hàm m nh . Ví d 1 : vi tp hp E  ví d t phn t ca tp h n ) là hàm m mt binh trên tp hp E . Khi thay x bi ch cái a thì ta có mt m  con nu thay x bi ch c mt m sai . Ví d t hàm m mt bin . Hàm m này có th c cho trên tp hp các s nguyên Z hoc tp hp các s t nhiên N Ví d 3 : Có th  2 bin . Minh ca hàm m này có th chn là NxN .  cho gn có th ký hiu p(a) là hàm m i minh là N . Chú ý : Mt hàm m có th c cho trên nhng minh là các tp hp khác nhau . Chng hn hàm m  c cho vi mi tr chân lý ca mt hàm m có th i tùy cách chn minh . 4. ng t Trong lý thuyt tp hi ta s dng t sau : -  i mt k -  n tt m -  n ti duy nh có m Khi cho mt hàm m mt bin nu ta b c mng t ta s c mt m . Ví d : Cho hàm m t cho 6 thì x chia hi minh là N . Ta thy  t m u bng li ca m t k s t nhiên Nt m và m  [Type text] u bng li ca m n ti mt s t nhiên x mà khi x chia h chia ht mt s t nhiên tha mãn tính cht xi là mt m và là m c phát biu bng li  duy nhât mt s t nhiên tha mãn tính ch phi ch có mt s ) . Mt cách tng quát ta có : Nu p(x) là mt hàm m mt binh trên tp h vit gn u không mun k ra minh ) là mt m c gi là m ph dc gi là m tn txc gi là m tn ti duy nht . M ph dng s là m u và ch nu khi thay bin bi bt k phn t nào trong mic mt m  M tn ti s là m u và ch nu có ít nht mt phn t thuc minh mà khi thay nó vào v trí ca bin ta s c mt m  M tn ti duy nht s là m u và ch nu trong minh ca nó ch có g mt phn t mà khi thay nó vào v trí ca bic mt m  Các m ph dng, tn ti , tn ti duy nhi vi các hàm m nhiu bic  . Trong toán hc các m tn ti và ph dng còn có th lng ghép vào nhau to nên nhng m rt phc tp . Mt hàm m c gi là mt hu và ch nu m ph dng ca nó là m  Mt hàm m c gi là mt hng sai nu và ch nu m tn ti ca nó là m sai . Mt hàm m c gi là thc hic nu và ch nu m tn ti ca nó là m  Cho hàm m 2 bin p(x,y) vi minh là AxB . T hàm m này ta có th to nên các m : a) ] ( dng lng ghép) b)  c)      d)      ( Trong các m c b mi vit  A ta chi vit   cho gn) ng t khác loi giá tr chân lý có th i ! [Type text] Ví d : cho hàm m  i mi         i là m sai III. Biu thc logic 1. Khái nim : Mt s hu hn các m hoc các bin m ( các ch thay cho các m ) hoc các biu thc m liên kt vi nhau bi các phép toán m theo mt th t nhc coi là mt biu thc logic . Ngoài ra mi m hay mi bin m c coi là mt biu thc logic . ta s s dng các ch  ký hiu các biu thc logic . c, th t thc hin các phép tính trong mt biu thc m là : Ph nh, hi , tuyn , kéo theo ,  c 2 : Ta s s dng du = mi khi mun ký hiu mt biu thc logic phc tp bi mt ch cái duy nht . Chng hn biu thc logic : A  B  A c ký hiu bi ch E ta s vit : E = A  B  A B . Chú ý rng  u thc logic bt s tài liu khác ! u = ta phi hip hp t  2. i ngu ca mt biu thc logic Nu biu thc logic ch cha 3 phép toán logic : ph nh , tuyn ,hi , thì khi thay phép hi bi phép tuyn và c lng thi thay S bi S ( nu có ) ta s c mt biu thc mi , biu thc mc gi là biu thi ngu ca biu th Ví d i ngu ca biu thc       là         3. Giá tr chân lý ca biu thc m Khi thay các bin m bi các giá tr chân lý và thc hin tt c các phép toán logic ta s c 0 hoc 1 . Xét tt c p ta s có bng giá tr chân lý ca mt biu thc m . Ví d 1: Hãy lp bng giá tr chân lý ca biu thc m sau : A  B  B Ta có : [...]... phép toán trên tập hợp 1) ( 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) VIII Hệ đầy đủ các phép toán logic 1 Định nghĩa Một tập hợp H các phép toán logic được gọi là một hệ đầy đủ nếu và chỉ nếu bất kỳ một biểu thức logic nào cũng tương đương với một biểu thức logic chỉ bao gồm các phép toán trong H [Type text] 2 Các hệ đầy đủ a H = { } ( Dấu – chỉ phép toán phủ định) b H = { } c H = { } d H = { , ,Đ} e H = { , , } Bài tập... hợp logic V Cấu trúc logic 1 Khái niệm Cho một mệnh đề thể hiện bởi một câu phức Nếu ký hiệu mỗi câu đơn (một mệnh đề hay hàm mệnh đề đơn giản) bởi một chữ cái , nhóm từ phủ định bởi phép toán phủ định , liên từ ( và ,hoặc ,thì …) nối 2 câu đơn bởi một phép toán logic tương ứng và các lượng từ (nếu có) bởi các ký hiệu … ta sẽ được một biểu thức logic , biểu thức logic này được gọi là cấu trúc logic. .. một biểu thức logic mới tương đương logic với biểu thức ban đầu Ta gọi việc làm như thế là “đã biến đ i tương đương” biểu thức logic ban đầu thành một biểu thức logic khác Biến đ i tương đương một biểu thức logic thành một biểu thức logic đon giản hơn và cứ làm như thế cho đến khi được một biểu thức logic “kh ng đơn giản hơn được nữa” , việc làm như thế được gọi là “rút gọn một biểu thức logic ” Ví... biểu thức logic nếu ta thay một “biểu thức con” bởi một biểu thức khác tương đương logic với nó thì ta sẽ được một biểu thức logic mới tương đương logic với biểu thức ban đầu ” Ví dụ : A E⟺ A E’ (với E’là một biểu thức mệnh đề tương đương logic với E) ̅ ̅ , E ⟺ E’ nên ta có ̅̅̅̅̅ ⟺ ̅ ̅ Luật này Cụ thể với E là ̅̅̅̅̅ giúp ta có thể rút gọn một biểu thức logic , có nghĩa là tìm một biểu thức logic tương... hệ H = { , } là một hệ đầy đủ các phép toán logic Bài tập THỰC HÀNH 1) Rút gọn biểu thức logic : a , b c 2) Chứng minh các tương đương logic sau a b ̅ ̅ ̅̅̅ ⟺ ⟺ ̅̅ c Hãy tìm một biểu thức logic sao cho kết quả rút gọn của nó là mệnh đề A∨B 3) Chứng minh rằng :1+1/2+1/3+…+1/n ≤ (2n-1)/2 , n ≥ 2 4) Chứng minh rằng :1+1/4+1/9+…+1/n.n < 2 - 1/n , n≥2 5) Tìm cấu trúc logic của mệnh đề sau : “ Với mỗi số nguyên... mệnh đề là một biểu thức logic với phép toán logic cuối cùng (theo thứ tự thực hiện ) là phép kéo theo thì ta bảo mệnh đề đã cho ở “dạng kéo theo” Để tìm hình vuông logic của một mệnh đề nào đó ta phải biến đ i tương đương nó về dạng kéo theo Chẳng hạn cấu trúc logic của mệnh đề trong ví dụ 4 là A B , biểu thức logic tương đương với nó mà ở dạng kéo theo là ̅ Bài tập : Tìm dạng kéo theo của các mệnh... logic B và viết A ⟺ B Như vậy : Có A ⟺ B khi và chỉ khi A hi đó ta nói A tương đương ( logic ) với B là hằng đúng Mỗi phép suy luận hợp logic c n được gọi là một quy tắc suy luận hay luật logic một chiều còn một tương đương logic được gọi là một quy tắc suy luận hai chiều hay luật logic hai chiều 2 Các luật logic cơ bản A) Các luật một chiều (S ký hiệu cho một hằng sai,Đ ký hiệu cho một hằng đúng,... sau A B 1 1 1 0 0 1 0 0 thì ta có thêm một số luật logic 2 chiều như sau 1) 2) ⟺̅ ⟺ 3) ( ) 4) ( với bảng giá trị A B 0 1 1 0 ̅ ⟺ )⟺ 5) ̅ ⟺ 6) ⟺ Bạn đọc có thể chứng minh những luật này bằng cách lập bảng giá trị chân lý hoặc biến đ i tương đương bằng cách sử dụng các luật logic 2 chiều có trước 3 Bài toán rút gọn một biểu thức logic Từ một biểu thức logic nếu ta dùng luật thay thế 2 và các luật 2 chiều... luật bài trung và luật thay thế 2) ⟺ Vậy : Ta hãy ký hiệu biểu thức logic này là E ( luật bài trung và luật thay thế 2 ) ̅ ⟺ ̅ ( luật trung hòa và luật thay thế 2 ) ̅ ⟺ Hóa ra câu “ Có ít nhất một sinh viên đạt gi i ” , nghe có vẻ khó hiểu lại cùng nghĩa với câu “ X hoặc Y đạt gi i ” , ngắn gọn và dễ hiểu hơn ! 3 Dạng kéo theo [Type text] Nếu cấu trúc logic của một mệnh đề là một biểu thức logic. .. phép suy luận hợp logic hi đó ta nói B là một hệ quả logic của A hay A suy được ra B một cách hợp logic , ta cũng nói B là một điều kiện cần của A (hay để có A) , còn A là một điều kiện đủ của B ( hay để có B) Để chỉ một phép suy luận hợp logic ta sử dụng ký hiệu : A ⟹ B Như vậy ta có : A ⟹ B khi và chỉ khi A [Type text] B=1 Một chân lý có dạng A B được gọi là một tương đương logic B và viết A . 1.11. Chng minh 1.12. H logic  1.13. H  1.14. Bài toán chng minh, Bài toán kho sát, Bài toán tìm kim 1.15.  . dy môn toán 4. Ni dung chi tit hc phn (11)  Logic 1.1. M và phép toán logic 1.2. Tp hp và phép toán tp hp 1.3. Hàm m [Type text] 1.4. Biu thc logic 1.5 logic 2 chic . 3. Bài toán rút gn mt biu thc logic T mt biu thc logic nu ta dùng lut thay th 2 và các lut 2 chi bita s c mt biu thc logic