Đề thi học sinh giỏi môn Toán 8 ( Thời gian làm bài : 150 phút ) A. Phần trắc nghiệm Khoanh tròn vào đáp án mà em cho là đúng nhất: Câu 1: ( 1 điểm) Cho x y = 1. Giá trị của biểu thức x 3 y 3 3xy là: A. 1 B. 2 C. 2 1 D. 4 Câu 2: ( 1điểm) Phơng trình x 3 3x 2 + 3x + 7 = 0 có nghiệm là: A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 B. Phần tự luận Câu 1: ( 2 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: n 3 + 3n 2 + 2n , tứ đó suy ra rằng, với mọi số nguyên n thì: 3 n + 2 2 n + 6 3 n cũng là 1 số nguyên Câu 2: ( 3 điểm) Cho a, b, c là 3 số khác ) thoả mãn điều kiện: c cba + = b c a a + = a c b b + Tìm giá trị của biểu thức: P = ( 1 + a b )( 1 + b c )( 1 + c a ) Câu 3: ( 2 điểm) Tìm x biết: 3 x + 3 x+1 + 3 x+2 = 117 Câu 4: ( 2 điểm) Cho phơng trình: ( x 1)m 2 + x m = 0 a. Giải phơng trình khi m = 1 b. Giải phơng trình theo m Câu 5: ( 2 điểm) Tính tổng sau: A = 65 1 2 ++ xx + 127 1 2 ++ xx + 209 1 2 ++ xx Câu 6: ( 2 điểm): Dựng ABC biết A= 50 0 , tỉ số AC AB = 3 4 và đờng cao AH = 6 cm C©u 7:( 4 ®iÓm): Cho h×nh vu«ng ABCD, lÊy E thuéc BC. KÎ Ax AE,± Ax c¾t CD t¹i F. AI lµ trung tuyÕn cña AEF. AI c¾t CD t¹i K. §êng th¼ng qua E vµ song song víi AB c¾t AI t¹i G. Chøng minh: a. AE = AF vµ tø gi¸c EGFK lµ h×nh thoi b. AKE ~ ∆ CAF vµ AF 2 = FK. FC Đáp án thi học sinh giỏi môn Toán lớp 8 A. Phần trắc nghiệm: Câu 1: Chọn A. 1 Câu 2: Chọn B. -1 B. Phần tự luận: Câu 1: Ta có n 3 + 3n 2 + 2n = n( n 2 + 3n + 2) = n[( n 2 +n) + (2n+2)] = n[n(n+1) + 2(n+2)] = n(n+1)(n+2) Ta có: 3 n + 2 2 n + 6 3 n = 6 23 23 nnn ++ = 6 2)1)(nn(n ++ Do n(n+1)(n+2) là 3 ssố nguyên liên tiếp nên n(n+1)(n+2) chia hết cho 6. Do đó 6 2)1)(nn(n ++ là số nguyên. Câu 2: Ta có c cba + = a acb = = b bca = => c cba + + 2 = a acb = + 2 = b bca = +2 => a = b = c. Xảy ra 2 khả năng 1. Nếu a + b + c = 0 Thì P = -1 . Nếu a = b = c khác 0 Thì P = 8 Câu 3: 3 x + 3 x+1 + 3 x+2 = 117 Giải ra ta đợc x = 2 Câu 4 : a. Với m = 1 ta có PT : 2x 2 = 0 => x = 1 Vậy tập nghiệm của PT là S = { 1 } Câu 5: A = 65 1 2 ++ xx + 127 1 2 ++ xx + 209 1 2 ++ xx A = ++ )5)(2( 3 xx Câu 6: + Dựng góc xAy = 50 0 + Chứng minh + Biện luận : Luôn dựng đợc 1 tam giác thoã mãn yêu cầu đề bài Câu 7: GT-KL: HS tự ghi Vẽ hình: HS vẽ theo yêu cầu bài toán Chứng minh: AE = AF Tø gi¸c EGFK lµ h×nh thoi AKE ~ CAF vµ AF 2 = FK . FC